【数学】2020届一轮复习（理，鲁津京琼）人教B版1-2常用逻辑用语学案 15页

第2节　常用逻辑用语 考试要求　1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.‎ 知 识 梳 理 ‎1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p ‎2.全称量词与存在量词 ‎(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.‎ ‎(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.‎ ‎3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为綈p，读作“非p”)‎ ‎　名称 形式　　‎ 全称命题 存在性命题 结构 对M中的所有x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ 否定 ‎∃x0∈M，綈p(x0)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.‎ ‎2.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.‎ ‎3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　)‎ ‎(2)“长方形的对角线相等”是存在性命题.(　　)‎ ‎(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)‎ ‎(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(　　)‎ 解析　(2)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(选修2－1P15例2（1）改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)‎ A.∃x0∈R，x＋x0≤0 B.∃x0∈R，x＋x0<0‎ C.∀x∈R，x2＋x≤0 D.∀x∈R，x2＋x<0‎ 解析　由全称命题的否定是存在性命题知命题B正确.‎ 答案　B ‎3.(选修2－1P20讲解引申改编)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点的一个充要条件是________________.‎ 解析　若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点，等价于原点坐标适合圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的方程，‎ ‎∴(0－a)2＋(0－b)2＝r2，∴a2＋b2＝r2，反之亦然.‎ 答案　a2＋b2＝r2‎ ‎4.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)‎ A.∀n∈N，n2>2n B.∃n∈N，n2≤2n C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n 解析　命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴綈p：∀n∈N，n2≤2n.‎ 答案　C ‎5.(2018·天津卷)设x∈R，则“<”是“x3<1”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由<，得01是 ‎[f(－1)]>4”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析　(1)|a－3b|＝|3a＋b|⇔(a－3b)2＝(3a＋b)2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，‎ ‎∴a·b＝0⇔a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.‎ ‎(2)当m>1时，f [f(－1)]＝f ＝f(2)＝22m＋1>4，‎ 当f [f(－1)]>4时，‎ f [f(－1)]＝f ＝f(2)＝22m＋1>4＝22，‎ ‎∴2m＋1>2，解得m>.‎ 故“m>1”是“f [f(－1)]>4”的充分不必要条件.‎ 答案　(1)C　(2)A 规律方法　充要条件的两种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.‎ ‎(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.‎ ‎【训练1】 (2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.‎ 答案　A 考点二　充分条件、必要条件的应用典例迁移 ‎【例2】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.‎ 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}.‎ ‎∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.‎ ‎∴解得m≤3.‎ 又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.‎ 综上，m的取值范围是[0，3].‎ ‎【迁移探究1】 本例条件不变，若x∈P是x∈S的必要不充分条件，求m的取值范围.‎ 解　由例知，SP，‎ ‎∴或 解得0≤m≤3或0≤m<3，∴0≤m≤3，‎ 故m的取值范围是[0，3].‎ ‎【迁移探究2】 本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围.‎ 解　由例知P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 若x∈P的必要条件是x∈S，即x∈S是x∈P的必要条件，‎ ‎∴P⊆S，‎ ‎∴解得m≥9.‎ 故m的取值范围是[9，＋∞).‎ ‎【迁移探究3】 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.‎ 解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.‎ 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴∴ 这样的m不存在.‎ 规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.‎ ‎(3)数学定义都是充要条件.‎ ‎【训练2】 (2019·临沂月考)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.‎ 解　由p得(x－3a)(x－a)<0，当a<0时，3a0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，则x<－4或x≥－2.‎ 设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，‎ 又p是q的充分不必要条件.‎ 可知AB，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－.‎ 又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，‎ 即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.‎ 考点三　全称量词与存在量词　多维探究 角度1　全称（存在性）命题的否定 ‎【例3－1】 (1)命题“∀n∈N+，f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A.∀n∈N+，f(n)∉N+且f(n)＞n B.∀n∈N+，f(n)∉N+或f(n)＞n C.∃n0∈N+，f(n0)∉N+且f(n0)＞n0‎ D.∃n0∈N+，f(n0)∉N+或f(n0)＞n0‎ ‎(2)(2019·德州调研)命题“∃x0∈R，12‎ D.∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2‎ 解析　(1)全称命题的否定为存在性命题，‎ ‎∴命题的否定是：∃n0∈N+，f(n0)∉N+或f(n0)>n0.‎ ‎(2)存在性命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”.‎ 答案　(1)D　(2)D 角度2　含有量词(∀、∃)的参数取值问题　典例迁移 ‎【例3－2】 (经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.‎ 解析　当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.‎ 答案　 ‎【迁移探究】 若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________.‎ 解析　当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，对∀x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.‎ 答案　 规律方法　1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.‎ ‎2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.‎ ‎【训练3】 (2019·衡水调研)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，命题q：∃x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为________.‎ 解析　当命题p成立时，x2＋x＋a>1恒成立，‎ 即x2＋x＋a－1>0恒成立，‎ ‎∴Δ＝1－4(a－1)<0，解得a>.‎ 当命题q成立时，2a≤(2x0)max，x0∈[－2，2]，‎ ‎∴a≤2.‎ 故0，‎ 所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.‎ 又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是[－2，0].‎ 评析　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.‎ 类型2　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”‎ ‎【例2】 已知函数f(x)＝函数g(x)＝ksin－2k＋2(k>0)，若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围.‎ 解　由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分.‎ 先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.‎ 评析　本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.‎ 类型3　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)0‎ B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0‎ C.∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0‎ D.∀x∈Z，使x2＋2x＋m>0‎ 解析　存在性命题的否定为全称命题.故选D.‎ 答案　D ‎2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是(　　)‎ A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 解析　因为“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”.‎ 答案　D ‎3.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.‎ 当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，‎ ‎∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.‎ 答案　B ‎4.(2019·焦作模拟)命题p：cos θ＝，命题q：tan θ＝1，则p是q的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由cos θ＝，得θ＝±＋2kπ，k∈Z，则tan θ＝±1，‎ 故p⇒q，p是q的不充分条件；‎ 由tan θ＝1，得θ＝＋kπ，k∈Z，则cos θ＝±，‎ 故q⇒p，p是q的不必要条件；‎ 所以p是q的既不充分也不必要条件.‎ 答案　D ‎5.(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5等价d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.‎ 答案　C ‎6.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0”.若命题p和q都成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(4，＋∞) B.[1，4] C.[e，4] D.(－∞，－1)‎ 解析　对于p成立，a≥(ex)max，∴a≥e.‎ 对于q成立，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.‎ 综上可知e≤a≤4.‎ 答案　C ‎7.(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇒cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.‎ 答案　A ‎8.命题“∀x∈[1，2)，x2－a≤0”成立的一个充分不必要条件可以是(　　)‎ A.a≥1 B.a>1 C.a≥4 D.a>4‎ 解析　命题成立的充要条件是∀x∈[1，2)，a≥x2恒成立，即a≥4.∴命题成立的一个充分不必要条件可以是a>4.‎ 答案　D 二、填空题 ‎9.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.‎ 解析　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解之得－13(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.‎ 解析　p：x>m＋3或xb”是“f(a)>f(b)”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为f(x)＝3x－3－x，‎ 所以f′(x)＝3xln 3－3－xln 3×(－1)＝3xln 3＋3－xln 3，‎ 易知f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)＝3x－3－x为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可得“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件.‎ 答案　C ‎15.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　因为p是q的必要不充分条件，即q⇒p但p⇒ q，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则BA，又B＝(2，3]，当a>0时，A＝(a，3a)；当a<0时，A＝(3a，a)，所以当a>0时，有解得11，a1>0或00，‎ 所以数列{an}为递增数列.‎ 必要性：若数列{an}是递增数列，‎ 则必有a1b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________(填写一个正确的即可).‎ 解析　由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，－1(答案不唯一，满足a>0，b<0即可).‎ 答案　1，－1(答案不唯一)‎