广东广州市天河区普通高中2018届高考数学一轮复习精选试题：推理与证明（解答题） 4页

全*品*高*考*网， 用后离不了！推理与证明02‎ 解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ 1． 已知，用分析法证明：.‎ ‎【答案】要证，即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 因为，所以，‎ 所以，不等式得证．‎ 2． 求证：（是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与轴有两个交点．‎ ‎【答案】假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，则有 ‎　三式相加，得a2+b2+c2－ab－ac－bc≤0 ‎ ‎(a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0．‎ ‎∴a=b=c与已知a，b，c是互不相等的实数矛盾，‎ ‎∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．‎ ‎3．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.‎ 试用祖暅原理推导球的体积公式.‎ ‎【答案】我们先推导半球的体积. 为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察、、这三个量（等底等高）之间的不等关系，‎ 可以发现<<，即，根据这一不等关系，我们可以猜测，并且由猜测可发现. ‎ 下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想.‎ 证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面. 如果截平面与平面α的距离为，那么圆面半径，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为r.‎ 因此，， ∴ .‎ 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即，‎ 所以.‎ ‎4．求证：．‎ ‎【答案】由于，，‎ 故只需证明．‎ 只需证，即．‎ 只需证．‎ 因为显然成立，‎ 所以．‎ ‎5．已知函数,用反证法证明:方程没有负实数根.‎ ‎【答案】假设存在x0<0(x0≠-1),满足f(x0)=0,‎ 则=-,且0<<1,‎ 所以0<-<1,即