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- 2021-07-01 发布
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专题二 函数
狂刷08函数与方程
1.函数在区间(0,1)内的零点个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
【答案】B
【解析】由,,且函数在区间(0,1)内单调递增,故函数在区间(0,1)内的零点个数是1.故选B.
2.函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
−2
0.625
−0.984
−0.260
0.165
那么方程的一个近似根(精确度0.1)为
A.1.2 B.1.3
C.1.4 D.1.5
【答案】C
3.若函数有两个零点,则实数的取值范围是
A.(-∞,2) B.(1,2)
C.(2,+∞) D.(0,2)
【答案】D
【解析】由函数有两个零点,可得有两个不等的根,从而可得函数与函数的图象有两个交点,结合函数的图象可得,故选D.xk*w
4.已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为,,所以由根的存在性定理可知选C.
5.函数的零点个数为
A.4 B.3
C.2 D.1
【答案】C
6.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是
A.y=ln x B.
C.y=sin x D.y=cos x
【答案】D
【解析】选项A:的定义域为(0,+∞),故不具备奇偶性,故A错误;
选项B:是偶函数,但无解,即不存在零点,故B错误;
选项C:是奇函数,故C错;
选项D:是偶函数,且,,故D项正确.
7.方程的根所在的区间是
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
【答案】C
8.函数的零点个数为
A.0 B.1
C.2 D.3
【答案】C
【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数,即函数与的图象交点个数.于是,分别画出其函数图象如下图所示,由图可知,函数与的图象有2个交点.故选C.
9.方程的实根有_______________个.
【答案】2
【解析】画出函数,的图象,如图所示,图象有2个交点,可知方程有2个实根.
10.已知为方程的解,若所在的区间是(n,n+1)(nZ),则n的值为_______________.
【答案】1
【解析】画出函数和的图象,如图所示.由函数图象,知1<x0<2,所以n=1.
11.函数的零点的个数为_______________.
【答案】2
12.已知函数f(x)=,若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是_______________.
【答案】(−∞,0)∪(1,+∞)
【解析】令,,函数g(x)=f(x)−b有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点,结合图象可得a<0或φ(a)>h(a),即a<0或,解得a<0或a>1,故a(−∞,0)∪(1,+∞).
13.已知函数满足,,且当时,,则方程的所有实数根之和为
A.2 B.3
C.4 D.1
【答案】B
14.已知函数的两个零点是,则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,作出函数,的图象如下图所示,
不妨设,则,从而,,因此,.故,所以.故选A.
15.已知定义在R上的函数的对称轴为直线,且当时,.若函数在区间(,)()上有零点,则的值为
A.1或−8 B.2或−8
C.1或−7 D.2或−7
【答案】D
16.若函数,且函数有3个不同的零点,则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数有3个不同的零点,等价于与的图象有3个不同的交点,作出函数的图象,如图,由二次函数的知识可知,当时,取得最小值为,函数的图象为平行于x轴的直线,由图象可知当时,两函数的图象有3个不同的交点,即函数有3个不同的零点,故选C.
17.已知函数,若关于x的方程有4个不同的实数解,则实数k的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,即,当时,成立,则当时,可化为,且有3个不同的实数解;画出的图象,如图所示,由题意得,解得.故选A.
【解题技巧】对于已知函数零点的个数求参数的取值范围的问题,通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决.对于此类问题的求解,一般是先分解为两个简单函数,在同一坐标系内作出这两个函数的图象,依交点个数寻找关于参数的不等式,求解即可得结论.
18.若函数满足,当x[−1,0]时,,若在区间[−1,1)上,有两个零点,则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
19.若偶函数的图象关于直线对称,且当时,,则函数的零点个数为
A.14 B.16
C.18 D.20
【答案】C
20.设函数,若,,则关于x的方程的解的个数为_______________.
【答案】3
【解析】由题意得,解得,即.若,当时,;当时,或,所以的解的个数为3.
21.函数的零点个数为_______________.
【答案】2
【解析】因为
,所以函数f(x)的零点个数为函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数.函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|的图象如图所示,由图知,两函数图象有2个交点,所以函数f(x)有2个零点.
22.若函数在区间[1,]内有唯一的零点,则实数m的取值范围为_____________.
【答案】
23.(2017山东)已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时,在上单调递减,且,在上单调递增,且,此时有且仅有一个交点;
当时,,在上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需.故选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围;
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
24.(2017天津文)已知函数设,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当,且时,即,即,显然上式不成立,由此可排除选项B、C、D,故选A.
【考点】分段函数、不等式恒成立问题
【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则,分别对的两种不同情况进行讨论,针对每种情况根据的范围,利用极端原理,求出对应的的取值范围.本题具有较好的区分度,所给解析采用了排除法,解题步骤比较简捷,口算即可得出答案,解题时能够节省不少时间.当然,本题也可画出函数图象,采用数形结合的方法进行求解.
25.(2015天津文)已知函数,函数,则函数的零点个数为
A.2 B.3
C.4 D.5
【答案】A
【解析】方法一:分别画出函数的草图,观察发现有2个交点.
方法二:当时,,所以,,此时函数
的小于零的零点为;
综上可得函数的零点的个数为2.故选A.
26.(2016山东文)已知函数,其中.若存在实数b,使得关于x的方程有三个不同的根,则m的取值范围是_______________.
【答案】(3,+∞)
【解析】函数的大致图象如图所示,根据题意知只要即可,又m>0,解得m>3,故实数m的取值范围是(3,+∞).