高中数学选修2-2教案第一章 3 9页

明目标、知重点 ‎1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．‎ ‎2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．‎ ‎1．反证法 在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．‎ ‎2．反证法的证题步骤 ‎(1)作出否定结论的假设；‎ ‎(2)进行推理，导出矛盾；‎ ‎(3)否定假设，肯定结论．‎ ‎3．反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：‎ 结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 反设词 一个也没有 ‎(不存在)‎ 至少有两个 至多有 ‎(n－1)个 至少有 ‎(n＋1)个 结论词 只有一个 对所有x成立 对任意x不成立 反设词 没有或至 少有两个 存在某个x不成立 存在某个x成立 结论词 都是 一定是 p或q p且q 反设词 不都是 不一定是 綈p且綈q 綈p或綈q ‎[情境导学]‎ 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”‎ 这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．‎ 探究点一　反证法的概念 思考1　结合情境导学描述反证法的一般模式．‎ 答　(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．‎ 思考2　反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？‎ 答　(1)与原题中的条件矛盾；‎ ‎(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；‎ ‎(3)与假设矛盾．‎ 思考3　反证法主要适用于什么情形？‎ 答　①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；‎ ‎②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．‎ 探究点二　用反证法证明几何问题 例1　已知直线a，b和平面α，如果a⃘α，bα，且a∥b，求证：a∥α.‎ 证明　因为a∥b，‎ 所以经过直线a，b确定一个平面β.‎ 因为a⃘α，而aβ，所以α与β是两个不同的平面．‎ 因为bα，且bβ，所以α∩β＝b.‎ 下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．‎ 假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，‎ 则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，‎ 这与a∥b矛盾．所以a∥α.‎ 反思与感悟　数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．‎ 跟踪训练1　如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.‎ 求证：直线b与平面α必相交．‎ 证明　假设b与平面α不相交，即bα或b∥α.‎ ‎①若bα，因为b∥a，a⃘α，所以a∥α，‎ 这与a∩α＝A相矛盾；‎ ‎②如图所示，如果b∥α，‎ 则a，b确定平面β.‎ 显然α与β相交，‎ 设α∩β＝c，因为b∥α，‎ 所以b∥c.又a∥b，‎ 从而a∥c，且a⃘α，cα，‎ 则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾．‎ 由①②知，假设不成立，‎ 故直线b与平面α必相交．‎ 探究点三　用反证法证明否定性命题 例2　求证：不是有理数．‎ 证明　假设是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，‎ 使得＝，从而有m＝n，因此m2＝2n2，‎ 所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有 ‎4k2＝2n2，即n2＝2k2，‎ 所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．‎ 由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数．‎ 反思与感悟　当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．‎ 跟踪训练2　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．‎ 证明　假设，，成等差数列，则 ＋＝2，即a＋c＋2＝4b，‎ 而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，‎ ‎∴(－)2＝0.即＝，‎ 从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，‎ 故，，不成等差数列．‎ 探究点四　含至多、至少、唯一型命题的证明 例3　若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]‎ 上至多有一个实根．‎ 证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)0，这与a＋b＋c≤0矛盾，‎ 故a、b、c中至少有一个大于0.‎ ‎1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)‎ A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角 C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角 答案　B ‎2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(　　)‎ A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°‎ C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°‎ 答案　B ‎3．“ab C．a＝b D．a＝b或a>b 答案　D ‎4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)‎ A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交 答案　D ‎5．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．‎ 证明　由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.‎ 如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，　①‎ ax2＝b. ②‎ ‎①－②，得a(x1－x2)＝0.‎ 因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．‎ 所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．反证法证明的基本步骤 ‎(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)‎ ‎(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)‎ ‎(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)‎ ‎2．反证法证题与“逆否命题法”的异同 反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，还可以与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．‎ 一、基础过关 ‎1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(　　)‎ ‎①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾 A．①② B．①③‎ C．①③④ D．①②③④‎ 答案　D ‎2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(　　)‎ A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 答案　D 解析　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2‎ 个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．‎ ‎3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为(　　)‎ A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1‎ B．存在正整数n，使xn＝xn＋1‎ C．存在正整数n，使xn≥xn＋1‎ D．存在正整数n，使xn≤xn＋1‎ 答案　D 解析　“任意”的反面是“存在一个”．‎ ‎9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都大于2 B．至少有一个大于2‎ C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2‎ 答案　C 解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，‎ 则(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.‎ 又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.‎ ‎10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________________．‎ 答案　a≤－2或a≥－1‎ 解析　若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0.‎ 求证：a>0，b>0，c>0.‎ 证明　用反证法：‎ 假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，‎ 不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，‎ 可得c>－(a＋b)，‎ 又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)，‎ ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab，‎ 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2，‎ ‎∵a2>0，ab>0，b2>0，‎ ‎∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，‎ 即ab＋bc＋ca<0，‎ 这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．‎ 因此a>0，b>0，c>0成立．‎ ‎12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.‎ 证明　假设三个式子同时大于，‎ 即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，‎ 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①‎ 又因为0