数学卷·2018届河北省衡水市冀州中学高二上学期第三次月考数学试卷（文科）（解析版） 24页

‎2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁UM）∪N=（　　）‎ A．{1} B．[1，5} C．{4，5} D．{1，4，5}‎ ‎2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=（　　）‎ A． B．9 C． D．‎ ‎3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（　　）‎ A．35 B．25 C．15 D．7‎ ‎4．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（　　）‎ A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2=r1‎ ‎5．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎6．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．设向量满足，，|，|，则|=（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．1‎ ‎8．已知在函数f（x）图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=R2上，则f（x）的最小正周期为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．（5+）π B．（20+2）π C．（10+）π D．（5+2）π ‎10．右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．i＞5 B．i＜5 C．i＞10 D．i＜10‎ ‎11．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎12．已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（　　）‎ A．4 B．16 C．9 D．3‎ ‎13．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）‎ A．（1，10） B．（10，12） C．（5，6） D．（20，24）‎ ‎　‎ 二、填空题若不等式2x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a=　　．‎ ‎15．已知锐角α终边上一点，则α的值为　　．‎ ‎16．已知点P（x，y）在直线2x+y+5=0上，那么x2+y2的最小值为　　．‎ ‎17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，A1C1=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（10分）从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n件，测得其产品尺寸后，画出其频率分布直方图如图，已知尺寸在[15，45）内的频数为92．‎ ‎（Ⅰ）求n的值；‎ ‎（Ⅱ）求尺寸在[20，25]内产品的个数；‎ ‎（Ⅲ）估计尺寸大于25的概率．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=．‎ ‎（1）当时，求函数f（x）的取值范围；‎ ‎（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．‎ ‎20．（12分）设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a22﹣10．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an﹣bn}的前n项和Sn．‎ ‎21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若a+c=1，求b的取值范围．‎ ‎22．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞2，且an2+4n=4Sn+1．‎ ‎（1）求证：{an}为等差数列；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎23．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；‎ ‎（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．‎ ‎24．（12分）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+‎ ‎6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．‎ ‎（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁UM）∪N=（　　）‎ A．{1} B．[1，5} C．{4，5} D．{1，4，5}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】根据补集与并集的定义，进行运算即可．‎ ‎【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，‎ ‎∴∁UM={1，5}；‎ 又N={4，5}，‎ ‎∴（∁UM）∪N={1，4，5}．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=（　　）‎ A． B．9 C． D．‎ ‎【考点】分段函数的应用；函数的值．‎ ‎【分析】由已知中f（x）=，将x=﹣2代入可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ ‎∴f（﹣2）=，‎ ‎∴f（f（﹣2））=f（）=9，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（　　）‎ A．35 B．25 C．15 D．7‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．‎ ‎【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，‎ 所以样本容量为=15．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．‎ ‎　‎ ‎4．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（　　）‎ A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2=r1‎ ‎【考点】相关系数．‎ ‎【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．‎ ‎【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），‎ ‎（11.8，3），（12.5，4），（13，5），‎ ‎=11.72‎ ‎∴这组数据的相关系数是r=，‎ 变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），‎ ‎（11.8，3），（12.5，2），（13，1）‎ ‎，‎ ‎∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，‎ ‎∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．‎ ‎　‎ ‎5．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．‎ ‎【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．‎ 再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．‎ 故 a12 =a1+11d=﹣+=15，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点 ‎【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，‎ 所以f（0）f（1）＜0，‎ 故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．设向量满足，，|，|，则|=（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．1‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据向量的模和向量的数量积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵，|，|，‎ ‎∴=0，‎ ‎∵，‎ ‎∴=﹣，‎ ‎∴||2=（﹣）2=++2=5‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积和向量的模长公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．已知在函数f（x）图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=R2上，则f（x）的最小正周期为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】先用R表示出周期，得到最大值点和最小值点的坐标后，代入到圆的方程可求出R的值，最后可得答案．‎ ‎【解答】解：∵x2+y2=R2，∴x∈[﹣R，R]．‎ ‎∵函数f（x）的最小正周期为2R，‎ ‎∴最大值点为（），相邻的最小值点为（），‎ 代入圆方程，得R=2，∴T=4．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的性质﹣﹣周期性．属基础题．三角函数两相邻的最大值与最小值正好等于半个周期．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．（5+）π B．（20+2）π C．（10+）π D．（5+2）π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，由图中所提供的数据进行计算即可得到所求的表面积选出正确选项 ‎【解答】解：由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，圆柱的底面积为π，圆柱的侧面积为2π×2=4π，圆锥的母线长为，侧面积为，所以总的侧面积为，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查简单几何体的三视图，此类题的关键是能由实物图得到正确的三视图或者由三视图可准确还原实物图 ‎　‎ ‎10．右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．i＞5 B．i＜5 C．i＞10 D．i＜10‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】框图给出的是计算的值的一个程序框图，由已知中程序功能分析程序运行过程中循环变量的初值，步长，循环次数，进而求出终值，由此可以得到正确答案．‎ ‎【解答】解：计算的值需要循环5次 而循环变量i的初值为1，步长为1‎ 根据循环次数=‎ 可得终值为：5﹣1+1=5‎ 故5不满足条件，6满足条件 分析四个答案，可得A满足要求 故选A ‎【点评】本题考查的知识点是循环结构，熟练掌握循环次数=，是解答此类问题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．‎ ‎【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，‎ 由图可知，‎ 当直线l经过点A（1，﹣1）时，‎ z最大，且最大值为zmax=1﹣2×（﹣1）=3．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知a＞0，b＞0，若不等式﹣﹣≤0恒成立，则m的最大值为（　　）‎ A．4 B．16 C．9 D．3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】不等式恒成立⇒的最小值，利用不等式的基本性质求出即可．‎ ‎【解答】解：不等式恒成立⇒的最小值，‎ ‎∵a＞0，b＞0， =10+≥10+=16，当且仅当，即a=b时取等号．‎ ‎∴m≤16，即m的最大值为16．‎ 故选B．‎ ‎【点评】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）‎ A．（1，10） B．（10，12） C．（5，6） D．（20，24）‎ ‎【考点】有理数指数幂的运算性质．‎ ‎【分析】不妨设a＜b＜c，作出f（x）的图象，根据图象可得a，b，c的范围，根据f（a）=f（b）可得ab=1，进而可求得答案．‎ ‎【解答】解：不妨设a＜b＜c，‎ 作出f（x）的图象，如图所示：‎ 由图象可知0＜a＜1＜b＜10＜c＜12，‎ 由f（a）=f（b）得|lga|=|lgb|，即﹣lga=lgb，‎ ‎∴lgab=0，则ab=1，‎ ‎∴abc=c，‎ ‎∴abc的取值范围是（10，12），‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查对数函数的图象和性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查学生分析解决问题的能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（2015秋•揭阳校级期末）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a=　2　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据不等式2x2+ax+b＜0的解集得出对应方程2x2+ax+‎ b=0的两个实数根，由根与系数的关系求出a的值．‎ ‎【解答】解：由题意不等式2x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣3＜x＜2}，‎ 所以﹣3和2是方程2x2+ax+b=0的两个根，‎ 所以﹣3+2=﹣，‎ 解得a=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系与应用问题，解题的关键是根据不等式的解集得出对应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．已知锐角α终边上一点，则α的值为　　．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】由题意，tanα=cot=tan，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，tanα=cot=tan，‎ ‎∴α=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，比较基础．‎ ‎　‎ ‎16．已知点P（x，y）在直线2x+y+5=0上，那么x2+y2的最小值为　5　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得 ‎【解答】解：解：x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值，‎ 即为原点到该直线的距离平方d2，‎ 由点到直线的距离公式易得d==．‎ ‎∴x2+y2的最小值为5；‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查点到直线的距离公式，转化是解决问题的关键；另外还可以利用二次函数来解答．‎ ‎　‎ ‎17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，A1C1=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是　　．‎ ‎【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．‎ ‎【分析】沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线．‎ ‎【解答】解：由题意，△A1C1B是直角三角形，沿BC1展开，△CC1B是等腰直角三角形，‎ 作CE⊥A1C1，CE=C1E=1，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查棱柱的结构特征及两点之间的距离，其中将△CBC1沿BC1展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间距离问题是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（10分）（2015秋•昆明校级期中）从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n件，测得其产品尺寸后，画出其频率分布直方图如图，已知尺寸在[15，45）内的频数为92．‎ ‎（Ⅰ）求n的值；‎ ‎（Ⅱ）求尺寸在[20，25]内产品的个数；‎ ‎（Ⅲ）估计尺寸大于25的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ由频率分布直方图中概率和为1，由此能求出n．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图，先求出尺寸在[20，25]内产品的频率，再计算尺寸在[20，25]内产品的个数．‎ ‎（Ⅲ）根据频率分布直方图，利用对立事件概率公式能估计尺寸大于25的概率．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵尺寸在[15，45）内的频数为92，‎ ‎∴由频率分布直方图，得（1﹣0.016×5）n=92，‎ 解得n=100．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图，得尺寸在[20，25]内产品的频率为0.04×5=0.2，‎ ‎∴尺寸在[20，25]内产品的个数为0.2×100=20．‎ ‎（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计尺寸大于25的概率为：‎ p=1﹣（0.016+0.020+0.040）×5=1﹣0.076×5=0.62．‎ ‎【点评】本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意频率直方图的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•荆州一模）已知函数f（x）=．‎ ‎（1）当时，求函数f（x）的取值范围；‎ ‎（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣），由，可求2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的图象和性质可求f（x）的取值范围．‎ ‎（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=f（x+）=sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）===sin（2x﹣），‎ ‎∵时，2x﹣∈[﹣，]，‎ ‎∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]．‎ ‎∴函数f（x）的取值范围为：[﹣，1]…6分 ‎（2）∵g（x）=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），‎ ‎∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间为：[k，kπ+]，k∈Z…12分 ‎【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•遵义校级模拟）设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1‎ ‎=2，a3=a22﹣10．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an﹣bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）等差数列中，由a1=2，，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出公差，由此能求出{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由y=4sin2πx=4×=﹣2cos2πx+2，其最小正周期为=1，故首项为1，由公比q=3，知，由此能求出数列{an﹣bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，‎ 则，‎ 解得d=2或d=﹣4（舍），‎ ‎∴an=2+（n﹣1）×2=2n．‎ ‎（Ⅱ）∵y=4sin2πx=4×=﹣2cos2πx+2，‎ 其最小正周期为=1，‎ 故首项为1，‎ ‎∵公比q=3，∴，‎ ‎∴an﹣bn=2n﹣3n﹣1，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=n2+n+﹣•3n．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•江西）在△‎ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若a+c=1，求b的取值范围．‎ ‎【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；‎ ‎（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，‎ 即sinAsinB﹣sinAcosB=0，‎ ‎∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，‎ 又B为三角形的内角，‎ 则B=；‎ ‎（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，‎ ‎∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，‎ 则≤b＜1．‎ ‎【点评】此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015秋•汕头校级期中）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞2，且an2+4n=4Sn+1．‎ ‎（1）求证：{an}为等差数列；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用递推关系可得，又an＞2，即可证明．‎ ‎（2）利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：由，①‎ 可得，②‎ ‎②﹣①得，‎ 即，‎ ‎∵an＞2，∴an+1﹣2=an，‎ 即an+1﹣an=2，‎ ‎∴{an}为等差数列．‎ ‎（2）解：由已知得a12+4=4a1+1，‎ 即，‎ 解得a1=1（舍）或a1=3，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，‎ ‎∴bn===，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2015•沈阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；‎ ‎（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．‎ ‎（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，‎ 又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．‎ 而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．‎ ‎（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，‎ ‎∴PD∥OE，‎ ‎∵O是BD中点，∴E是PB中点．‎ 取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，‎ ‎∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．‎ ‎∴‎ ‎==．‎ ‎【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2009•东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．‎ ‎（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．‎ ‎（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为．‎ ‎（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，故kl=3，‎ 所以直线l的方程为y=3（x+1）．‎ 将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．‎ ‎（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；‎ 当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，‎ 所以|CM|=1．由，解得．‎ 故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（8分）‎ ‎（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，‎ 又A（﹣1，0）则，，故．即t=﹣5．（10分）‎ 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．‎ 则，，‎ 即， =．‎ 又由得，‎ 则．‎ 故t=．‎ 综上，t的值为定值，且t=﹣5．（14分）‎ 另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，‎ 故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．‎ 由，得|AM|•|AN|=5．‎ 故．（14分）‎ 另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，‎ 所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，‎ 由相交弦定理得．（14分）‎ ‎【点评】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般．‎ ‎（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．‎ ‎（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”．‎ ‎　‎