专题12-4 离散型随机变量及其分布列（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 9页

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【讲】第十二章 概率与统计 第04节 离散型随机变量及其分布 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 离散型随机变量及其分布 ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．‎ ‎2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用．‎ ‎　．‎ ‎2015课标2‎ ‎2016课标1‎ ‎2017课标2‎ 离散型随机变量的分布列仍旧是2018年考试重点．‎ 备考重点：‎ 以生产、采购，销售，利润等为背景的分布列问题 ‎【知识清单】‎ ‎1.离散型随机变量的概念和性质 ‎（1）离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．‎ ‎（2）离散型随机变量的分布列及性质 ‎(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列．‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列的性质：‎ ‎①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.‎ 对点练习 ‎1．袋中有大小相同的3只钢球，分别标有1、2、3三个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能值的个数是( )‎ A. 9 B. 8 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，分析可得，这是有放回抽样，号码之和可能的情况为： ，共5种，故选D.‎ ‎2．若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为( )‎ ‎1‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎2.常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率．‎ ‎(2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ 对点练习 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．‎ ‎(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；‎ ‎(2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；‎ ‎(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．‎ ‎ (3)ξ可能的取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.‎ ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【考点深度剖析】‎ 离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式，是高考必考考点．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点: 离散型随机变量及其分布列 ‎【1-1】已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 若P(ξ2 >x)= ，则实数x的取值范围是 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【1-2】设随机变量X的分布列为P（X=i）=（i=1,2,3,4）,则P（）= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： P（X=i）=（i=1,2,3,4）,得a=10,所以，P（）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）=‎ ‎【1-3】口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝，则n的值为( )‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，当时，即第一次取到红球，其概率为 ‎，且不放回；第二次取到白球，其概率为，则，可解得或（舍），即.故选C.‎ ‎【1-4】【2018陕西西安市长安模拟】某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.‎ ‎（1）现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄第组人数分别是多少？‎ ‎ （2）在（1）的条件下，从这6中随机抽取2参加社区宣传交流活动，X表示第3组中抽取的人数，求X的分布列和期望值 ‎【解析】（1）由频率分布表和频率分布直方图知：‎ 第1组[25，30）的频率为0.02×5=0.1，‎ 第2组[30，35）的频率为0.02×5=0.1，‎ 第3组[35，40）的频率为0.08×5=0.4，‎ 第1，2，3组的人数比为0.1：0.1：0.4=1：1：4，‎ 要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，‎ 则年龄第1，2，3组人数分别是1人，1人，4人．‎ ‎（2）X可以取0，1，2，‎ P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，‎ 其分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E（X）=0×+1×+2×=．‎ ‎【1-5】已知随机变量X的概率分布列如下表：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P m 则P(X＝10)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]C ‎【领悟技法】‎ ‎1. 求分布列的三种方法 ‎(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．‎ ‎(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．‎ ‎(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．‎ ‎2. 求离散型随机变量分布列的步骤 ‎(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；‎ ‎(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；‎ ‎(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．‎ ‎3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 ‎(1)明确随机变量可能取哪些值．‎ ‎(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．‎ ‎(3)根据分布列和期望、方差公式求解．‎ 注意　解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]B ‎[解析]X服从超几何分布，P(X＝2)＝.‎ ‎【变式二】酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车.如图为某市交管部门在一次夜间行动中依法查出的60名饮酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图（其中人数包含）.‎ ‎（I）求查获的醉酒驾车的人数；‎ ‎（II）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和数学期望.‎ ‎【解析】（I），，‎ 故醉酒驾驶的人数为15（人）.................................................4分 ‎（II）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；......................6分 所以的所有可能取值为0,1,2；.............................................8分 ‎，，..........10分 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 三、易错试题常警惕 易错典例：某种食品是经过、、三道工序加工而成的，、、工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．‎ ‎（Ⅰ）正式生产前先试生产袋食品，求这２袋食品都为废品的概率；‎ ‎（Ⅱ）设为加工工序中产品合格的次数，求的分布列和数学期望．‎ 易错分析：随机变量的取值错误导致出错，计算概率出错．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ 温馨提醒： 1．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．‎ ‎ ‎