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- 2021-07-01 发布
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必修二 2.2.4平面与平面平行的性质
一、选择题
1、已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线M与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为( )
A.16 B.24或
C.14 D.20
2、设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在平面α、β内运动时,那么所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C.当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D.不论A、B如何移动,都共面
3、α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是( )
①⇒a∥b; ②⇒a∥b;
③⇒α∥β; ④⇒α∥β;
⑤⇒α∥a; ⑥⇒a∥α.
A.④⑥ B.②③⑥
C.②③⑤⑥ D.②③
4、如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A.2∶25 B.4∶25
C.2∶5 D.4∶5
5、设平面α∥平面β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在惟一一条与a平行的直线
6、下列说法正确的是( )
A.如果两个平面有三个公共点,那么它们重合
B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C.在两个平行平面中,一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D.如果两个平面平行,那么分别在两个平面中的两条直线平行
二、填空题
7、已知平面α∥β∥γ,两条直线l、M分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB=6,=,则AC=________.
8、过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.
9、分别在两个平行平面的两个三角形,
(1)若对应顶点的连线共点,那么这两个三角形具有______关系;
(2)若对应顶点的连线互相平行,那么这两个三角形具有________关系.
三、解答题
10、如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,能否确定截面的形状?如果能,求出截面的面积.
11、如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?并证明你的结论.
12、如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.
求证:N为AC的中点.
13、如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD.
以下是答案
一、选择题
1、B [当P点在平面α和平面β之间时,由三角形相似可求得BD=24,当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD=.]
2、D [
如图所示,A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点,此时AB中点变成A′B′中点C′,连接A′B,取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.
则CE∥AA′,∴CE∥α.
C′E∥BB′,∴C′E∥β.
又∵α∥β,∴C′E∥α.
∵C′E∩CE=E.
∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动,所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上.]
3、C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a,b可以相交,还可以异面;③中α,β可以相交;⑤中a可以在α内;⑥中a可以在α内.]
4、B [面α∥面ABC,面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴AB∥A′B′,
同理B′C′∥BC,
易得△ABC∽△A′B′C′,
S△A′B′C′∶S△ABC=()2=()2=.]
5、D [直线a与B可确定一个平面γ,
∵B∈β∩γ,∴β与γ有一条公共直线b.
由线面平行的性质定理知b∥a,所以存在性成立.
因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行,
所以b惟一.]
6、C [由两平面平行的定义知:一平面内的任何直线与另一平面均无交点,所以选C.]
二、填空题
7、15 [由题可知=⇒AC=·AB=×6=15.]
8、平行 [由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的.]
9、(1)相似 (2)全等
三、解答题
10、解 能.取AB,C1D1的中点M,N,连接A1M,MC,CN,NA1,
∵A1N∥PC1且A1N=PC1,
PC1∥MC,PC1=MC,
∴四边形A1MCN是平行四边形,
又∵A1N∥PC1,A1M∥BP,
A1N∩A1M=A1,C1P∩PB=P,
∴平面A1MCN∥平面PBC1,
因此,过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形.
连接MN,作A1H⊥MN于点H,
∵A1M=A1N=,MN=2,
∴A1H=.
∴S△A1MN=×2×=.
故S▱A1MCN=2S△A1MN=2.
11、解
当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC,证明如下:
取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE, ①
由EM=PE=ED,知E是MD的中点,设BD∩AC=O,则O为BD的中点,连接OE,则BM∥OE, ②
由①②可知,平面BFM∥平面AEC,又BF⊂平面BFM,
∴BF∥平面AEC.
12、证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N,
平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,
平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,
∴C1N∥AM,又AC∥A1C1,
∴四边形ANC1M为平行四边形,
∴AN綊C1M=A1C1=AC,
∴N为AC的中点.
13、证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线,EM、FN分别交AB、BC于M、N,连接MN.
∵BB1⊥平面ABCD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,
∴EM∥BB1,FN∥BB1,
∴EM∥FN,
∵AB1=BC1,B1E=C1F,
∴AE=BF,又∠B1AB=∠C1BC=45°,
∴Rt△AME≌Rt△BNF,
∴EM=FN.
∴四边形MNFE是平行四边形,
∴EF∥MN.
又MN⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
方法二
过E作EG∥AB交BB1于G,连接GF,
∴=,B1E=C1F,B1A=C1B,∴=,
∴FG∥B1C1∥BC.
又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD.
又EF⊂平面EFG,
∴EF∥平面ABCD.