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  • 2021-07-01 发布

高中数学必修2同步练习:平面与平面平行的性质

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必修二 2.2.4平面与平面平行的性质 一、选择题 ‎1、已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线M与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为(  )‎ A.16 B.24或 C.14 D.20‎ ‎2、设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在平面α、β内运动时,那么所有的动点C(  )‎ A.不共面 B.当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.不论A、B如何移动,都共面 ‎3、α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是(  )‎ ‎①⇒a∥b; ②⇒a∥b;‎ ‎③⇒α∥β; ④⇒α∥β;‎ ‎⑤⇒α∥a; ⑥⇒a∥α.‎ A.④⑥ B.②③⑥‎ C.②③⑤⑥ D.②③‎ ‎4、如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于(  )‎ A.2∶25 B.4∶25‎ C.2∶5 D.4∶5‎ ‎5、设平面α∥平面β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中(  )‎ A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在惟一一条与a平行的直线 ‎6、下列说法正确的是(  )‎ A.如果两个平面有三个公共点,那么它们重合 B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C.在两个平行平面中,一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D.如果两个平面平行,那么分别在两个平面中的两条直线平行 二、填空题 ‎7、已知平面α∥β∥γ,两条直线l、M分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB=6,=,则AC=________.‎ ‎8、过正方体ABCD-A1B‎1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A‎1C1的位置关系是________.‎ ‎9、分别在两个平行平面的两个三角形,‎ ‎(1)若对应顶点的连线共点,那么这两个三角形具有______关系;‎ ‎(2)若对应顶点的连线互相平行,那么这两个三角形具有________关系.‎ 三、解答题 ‎10、如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,能否确定截面的形状?如果能,求出截面的面积.‎ ‎11、如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?并证明你的结论.‎ ‎12、如图,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,M是A‎1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.‎ 求证:N为AC的中点.‎ ‎13、如图所示,已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C‎1F.求证:EF∥平面ABCD.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B [当P点在平面α和平面β之间时,由三角形相似可求得BD=24,当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD=.]‎ ‎2、D [‎ 如图所示,A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点,此时AB中点变成A′B′中点C′,连接A′B,取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.‎ 则CE∥AA′,∴CE∥α.‎ C′E∥BB′,∴C′E∥β.‎ 又∵α∥β,∴C′E∥α.‎ ‎∵C′E∩CE=E.‎ ‎∴平面CC′E∥平面α.‎ ‎∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动,所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上.]‎ ‎3、C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a,b可以相交,还可以异面;③中α,β可以相交;⑤中a可以在α内;⑥中a可以在α内.]‎ ‎4、B [面α∥面ABC,面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴AB∥A′B′,‎ 同理B′C′∥BC,‎ 易得△ABC∽△A′B′C′,‎ S△A′B′C′∶S△ABC=()2=()2=.]‎ ‎5、D [直线a与B可确定一个平面γ,‎ ‎∵B∈β∩γ,∴β与γ有一条公共直线b.‎ 由线面平行的性质定理知b∥a,所以存在性成立.‎ 因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行,‎ 所以b惟一.]‎ ‎6、C [由两平面平行的定义知:一平面内的任何直线与另一平面均无交点,所以选C.]‎ 二、填空题 ‎7、15 [由题可知=⇒AC=·AB=×6=15.]‎ ‎8、平行 [由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的.]‎ ‎9、(1)相似 (2)全等 三、解答题 ‎10、解 能.取AB,C1D1的中点M,N,连接A1M,MC,CN,NA1,‎ ‎∵A1N∥PC1且A1N=PC1,‎ PC1∥MC,PC1=MC,‎ ‎∴四边形A1MCN是平行四边形,‎ 又∵A1N∥PC1,A1M∥BP,‎ A1N∩A1M=A1,C1P∩PB=P,‎ ‎∴平面A1MCN∥平面PBC1,‎ 因此,过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形.‎ 连接MN,作A1H⊥MN于点H,‎ ‎∵A1M=A1N=,MN=2,‎ ‎∴A1H=.‎ ‎∴S△A1MN=×2×=.‎ 故S▱A1MCN=2S△A1MN=2.‎ ‎11、解 ‎ 当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC,证明如下:‎ 取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE, ①‎ 由EM=PE=ED,知E是MD的中点,设BD∩AC=O,则O为BD的中点,连接OE,则BM∥OE, ②‎ 由①②可知,平面BFM∥平面AEC,又BF⊂平面BFM,‎ ‎∴BF∥平面AEC.‎ ‎12、证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N,‎ 平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,‎ 平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,‎ ‎∴C1N∥AM,又AC∥A1C1,‎ ‎∴四边形ANC1M为平行四边形,‎ ‎∴AN綊C1M=A1C1=AC,‎ ‎∴N为AC的中点.‎ ‎13、证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线,EM、FN分别交AB、BC于M、N,连接MN.‎ ‎∵BB1⊥平面ABCD,‎ ‎∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,‎ ‎∴EM∥BB1,FN∥BB1,‎ ‎∴EM∥FN,‎ ‎∵AB1=BC1,B1E=C1F,‎ ‎∴AE=BF,又∠B1AB=∠C1BC=45°,‎ ‎∴Rt△AME≌Rt△BNF,‎ ‎∴EM=FN.‎ ‎∴四边形MNFE是平行四边形,‎ ‎∴EF∥MN.‎ 又MN⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,‎ ‎∴EF∥平面ABCD.‎ 方法二 ‎ 过E作EG∥AB交BB1于G,连接GF,‎ ‎∴=,B1E=C1F,B1A=C1B,∴=,‎ ‎∴FG∥B1C1∥BC.‎ 又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,‎ ‎∴平面EFG∥平面ABCD.‎ 又EF⊂平面EFG,‎ ‎∴EF∥平面ABCD.‎

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