数学卷·2018届广东省清远市清城三中高二上学期第二次月考数学试卷（理科） （解析版） 21页

2016-2017 学年广东省清远市清城三中高二（上）第二次月考数 学试卷（理科） 　 一、选择题（60 分，每题 5 分） 1．已知等差数列{an}中，若 a3+3a6+a9=120，则 2a7﹣a8 的值为（　　） A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣20 2．等比数列 中, 对任意 ,则 （ ） A． B． C． D． 3．在等差数列{an}中，若 a2=4，a4=2，则 a6=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．6 4．数列{an}中，对任意 n∈N*，a1+a2+…+an=2n﹣1，则 a12+a22+…+an2 等于（　　） A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D． 5．若不等式 ax2+2ax﹣4＜2x2+4x 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是 （　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞） D．（∞，2] 6．已知点 A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 7．用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是（　　） A．3 B．9 C．17 D．51 8．如图给出的是计算 … 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填 入的条件是（　　） { }na 1 2, ... 2 1n nn N a a a∗∈ + + + = − 2 2 2 1 2 ... na a a+ + + = ( )2 2 1n − ( )2 2 1 3 n − 4 1 3 n − 4 1n − A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11 9．用秦九韶算法计算多项式 f（x）=x6+x5+x4+x3+x2+x+1，当 x=2 时的值时，需要 做乘法和加法的次数分别是（　　） A．6，5 B．5，6 C．5，5 D．6，6 10．运行如图所示的程序框图，如果在区间[0，e]内任意输入一个 x 的值，则输 出的 f（x）值不小于常数 e 的概率是（　　） A． B．1﹣ C．1+ D． 11．用秦九韶算法计算多项式 f（x）=12+35x﹣8x2+6x4+5x5+3x6 在 X=﹣4 时的值 时，V3 的值为（　　） A．﹣144 B．﹣136 C．﹣57 D．34 12．459 和 357 的最大公约数（　　） A．3 B．9 C．17 D．51 　 二、填空题（20 分，每题 5 分） 13．运行如图所示的伪代码，则输出的结果 S 为　　． 14．根据如图所示的伪代码，最后输出的值为　　． 15．已知多项式函数 f（x）=2x5﹣5x4﹣4x3+3x2﹣6x+7，当 x=5 时由秦九韶算法 v0=2 v1=2×5﹣5=5 则 v3=　　． 16．用秦九韶算法求多项式 f（x）=3x5﹣2x4+3x3﹣6x2+7x﹣8 当 x=2 时的值的过 程中 v3=　　． 　 三、解答题（70 分） 17．（12 分）已知数列{an}满足 a1=3，an+1﹣3an=3n（n∈N*），数列{bn}满足 bn= ． （Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 18．（10 分）已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列，其前 n 项和为 Sn（n∈ N*），且 S3+a3，S5+a5，S4+a4 成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 Tn=Sn﹣ （n∈N*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． 19．（12 分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表 队人数分别为 120 人、120 人、n 人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中 穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 20 人在前排就坐， 其中高二代表队有 6 人． （1）求 n 的值； （2）把在前排就坐的高二代表队 6 人分别记为 a，b，c，d，e，f，现随机从中 抽取 2 人上台抽奖．求 a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率． （3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的 均匀随机数 x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表 中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率． 20．（12 分）已知一个 5 次多项式为 f（x）=4x5﹣3x3+2x2+5x+1，用秦九韶算法 求这个多项式当 x=2 时的值． 21．（12 分）在△ABC 中，∠A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，面积为 S． （1）若 ≤2 S，求 A 的取值范围； （2）若 tanA：tanB：tanC=1：2：3，且 c=1，求 b． 22．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S ，数列{bn}满足 ，Tn 为数列{bn}的前 n 项和． （I）求数列{an}的通项公式 an 和 Tn； （II）若对任意的 n∈N*不等式 恒成立，求实数 λ 的取值范围． 　 2016-2017 学年广东省清远市清城三中高二（上）第二次 月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（60 分，每题 5 分） 1．已知等差数列{an}中，若 a3+3a6+a9=120，则 2a7﹣a8 的值为（　　） A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣20 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出 2a7﹣a8 的值． 【解答】解：∵等差数列{an}中， a3+3a6+a9=120， ∴5（a1+5d）=120， ∴a1+5d=24， ∴2a7﹣a8=a1+5d=24． 故选：A． 【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题， 注意等差数列的性质的合理运用． 2．等比数列 中, 对任意 ,则 （ ） A． B． C． D． 解答：选 C 3．在等差数列{an}中，若 a2=4，a4=2，则 a6=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．6 【考点】等差数列的性质． 【分析】直接利用等差中项求解即可． 【解答】解：在等差数列{an}中，若 a2=4，a4=2，则 a4= （a2+a6）= =2， { }na 1 2, ... 2 1n nn N a a a∗∈ + + + = − 2 2 2 1 2 ... na a a+ + + = ( )2 2 1n − ( )2 2 1 3 n − 4 1 3 n − 4 1n − 解得 a6=0． 故选：B． 【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力． 　 4．数列{an}中，对任意 n∈N*，a1+a2+…+an=2n﹣1，则 a12+a22+…+an2 等于（　　） A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D． 【考点】数列的求和． 【分析】当 n≥2 时，由 a1+a2+…+an=2n﹣1 可得 a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，因此 an=2n﹣1 ， 当 n=1 时 也 成 立 ． 再 利 用 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 可 得 a12+a22+…+an2． 【解答】解：当 n≥2 时，由 a1+a2+…+an=2n﹣1 可得 a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1， ∴an=2n﹣1，当 n=1 时也成立． ∴ =4n﹣1． ∴a12+a22+…+an2= = ． 故选：D． 【点评】本题考查了递推式的意义、等比数列的前n 项和公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题． 　 5．若不等式 ax2+2ax﹣4＜2x2+4x 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是 （　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞） D．（∞，2] 【考点】函数恒成立问题． 【分析】将原不等式整理成关于x 的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解 决即可，注意对二次项系数分类讨论 【解答】解：不等式 ax2+2ax﹣4＜2x2+4x，可化为（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜ 0， 当 a﹣2=0，即 a=2 时，恒成立，合题意． 当 a﹣2≠0 时，要使不等式恒成立，需 ，解得﹣2＜a＜2． 所以 a 的取值范围为（﹣2，2]． 故选 B． 【点评】本题考查求不等式恒成立的参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想， 属于中档题． 　 6．已知点 A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量 在 方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 【考点】平面向量数量积的含义与物理意义． 【分析】先求出向量 、 ，根据投影定义即可求得答案． 【解答】解： ， ， 则向量 方向上的投影为： •cos＜ ＞= • = = = ， 故选 A． 【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基 础题，正确理解相关概念是解决问题的关键． 　 7．用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是（　　） A．3 B．9 C．17 D．51 【考点】用辗转相除计算最大公约数． 【分析】用 459 除以 357，得到商是 1，余数是 102，用 357 除以 102，得到商 是 3，余数是 51，用 102 除以 51 得到商是 2，没有余数，得到两个数字的最大 公约数是 51． 【解答】解：∵459÷357=1…102， 357÷102=3…51， 102÷51=2， ∴459 和 357 的最大公约数是 51， 故选 D． 【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例 中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会 得分． 　 8．如图给出的是计算 … 的值的一个框图，其中菱 形判断框内应填入的条件是（　　） A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11 【考点】循环结构． 【分析】要计算 的值，由S=S ，推出最 后一次进行循环时的条件为 i=10，当 i＞10 应退出循环输出 S 的值，由此不难得 到判断框中的条件． 【解答】解：∵S= ，并由流程图中 S=S 循环的初值为 1， 终值为 10，步长为 1， 所以经过 10 次循环就能算出 S= 的值， 故 i≤10，应不满足条件，继续循环 所以 i＞10，应满足条件，退出循环 判断框中为：“i＞10？”． 故选 A． 【点评】本题考查直到型程序框图的应用，是高考常考题型，易错点是不能准确 理解流程图的含义而导致错误． 　 9．用秦九韶算法计算多项式 f（x）=x6+x5+x4+x3+x2+x+1，当 x=2 时的值时，需要 做乘法和加法的次数分别是（　　） A．6，5 B．5，6 C．5，5 D．6，6 【考点】秦九韶算法． 【分析】用秦九韶算法计算多项式 f（x）=x6+x5+x4+x3+x2+x+1=（（（（（（x+1） x+1）x+1）x+1）x+1）x+1．查一下即可得出． 【 解 答 】 解 ： 用 秦 九 韶 算 法 计 算 多 项 式 f （ x ） =x6+x5+x4+x3+x2+x+1= （（（（（（x+1）x+1）x+1）x+1）x+1）x+1． 由上面可知：在计算当 x=2 时的值时，需要做 5 次乘法和 6 次加法． 故选 B． 【点评】熟练掌握秦九韶算法是解题的关键． 　 10．运行如图所示的程序框图，如果在区间[0，e]内任意输入一个 x 的值，则输 出的 f（x）值不小于常数 e 的概率是（　　） A． B．1﹣ C．1+ D． 【考点】程序框图． 【分析】由题意得 ，当1≤x ≤e 时，f（x）≥e，利用几何概型的概率公式求出输出的 f（x）值不小于常数 e 的概率． 【解答】解：由题意得 如图所示，当 1≤x≤e 时，f（x）≥e， 故 f（x）值不小于常数 e 的概率是 ， 故选：B． 【点评】本题考查程序框图，考查概率的计算，属于基础题． 　 11．用秦九韶算法计算多项式 f（x）=12+35x﹣8x2+6x4+5x5+3x6 在 X=﹣4 时的值 时，V3 的值为（　　） A．﹣144 B．﹣136 C．﹣57 D．34 【考点】秦九韶算法． 【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+0） x﹣8）x+35）x+12，可得当 x=﹣4 时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3 即可 得出． 【解答】解：∵多项式 f（x）=12+35x﹣8x2+6x4+5x5+3x6 =（（（（（3x+5）x+6）x+0）x﹣8）x+35）x+12， 当 x=﹣4 时， ∴v0=3，v1=3× （﹣4） +5=﹣7，v2=﹣7× （﹣4） +6=34，v3=34× （﹣4） +0=﹣136． 故选：B． 【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础 题． 　 12．459 和 357 的最大公约数（　　） A．3 B．9 C．17 D．51 【考点】辗转相除法；最大公因数． 【分析】用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，有得到商 和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数． 【解答】解：∵459÷357=1…102， 357÷102=3…51， 102÷51=2， ∴459 和 357 的最大公约数是 51， 故选：D． 【点评】本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方 法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．本题也可以 验证得到结果． 　 二、填空题（20 分，每题 5 分） 13．运行如图所示的伪代码，则输出的结果 S 为　9　． 【考点】伪代码． 【分析】模拟程序运行，依次写出每次循环得到的S，I 的值，当 I=5 时，不满足 条件 I＜5，退出循环，输出 S 的值为 9． 【解答】解：模拟程序运行，可得 S=1，I=1 满足条件 I＜5，S=3，I=2 满足条件 I＜5，S=5，I=3 满足条件 I＜5，S=7，I=4 满足条件 I＜5，S=9，I=5 不满足条件 I＜5，退出循环，输出 S 的值为 9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出每次循环得到的 S，I 的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 　 14．根据如图所示的伪代码，最后输出的值为　205　． 【考点】伪代码． 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的I，S 的值，当 I=101 时，不满 足条件 I＜100，退出循环，输出 S 的值为 205． 【解答】解：模拟执行程序，可得 I=1 满足条件 I＜100，I=3，S=9 满足条件 I＜100，I=5，S=13 … 满足条件 I＜100，I=99，S=201 满足条件 I＜100，I=101，S=205 不满足条件 I＜100，退出循环，输出 S 的值为 205． 故答案为：205． 【点评】本题考查伪代码，考查学生的读图能力，考查学生的理解能力，属于基 础题． 　 15．已知多项式函数 f（x）=2x5﹣5x4﹣4x3+3x2﹣6x+7，当 x=5 时由秦九韶算法 v0=2 v1=2×5﹣5=5 则 v3=　108　． 【考点】秦九韶算法． 【分析】按照秦九韶算法先将多项式函数 f（x）进行分解，进而根据 vk=vk﹣1× x+an﹣k，依次可求出 v3 的值． 【解答】解：根据秦九韶算法我们可将多项式函数 f（x）分解为： f（x）=（（（（2x﹣5）x﹣4）x+3）x﹣6）x+7， 当 x=5 时， v0=2； v1=2×5﹣5=5 v2=5×5﹣4=21 v3=21×5+3=108 故答案为：108 【点评】本题考查的知识点是秦九韶算法，其中理解并掌握vk=vk﹣1×x+an﹣k，是 解答本题的关键 　 16．用秦九韶算法求多项式 f（x）=3x5﹣2x4+3x3﹣6x2+7x﹣8 当 x=2 时的值的过 程中 v3=　16　． 【考点】秦九韶算法． 【分析】先将多项式改写成如下形式：f（x）=（（（（3x﹣2）x+3）x﹣6）x+7） x﹣8，将 x=2 代入并依次计算 v0，v1，v2，v3 的值，即可得到答案． 【解答】解：多项式 f（x）=3x5﹣2x4+3x3﹣6x2+7x﹣8=（（（（3x﹣2）x+3） x﹣6）x+7）x﹣8， 当 x=2 时， v0=3， v1=8， v2=11， v3=16， 故答案为：16 【点评】本题考查的知识点是秦九韶算法，其中熟练掌握秦九韶算法的运算法则， 是解答本题的关键． 　 三、解答题（70 分） 17．（12 分）（2014•丹东一模）已知数列{an}满足 a1=3，an+1﹣3an=3n（n∈ N*），数列{bn}满足 bn= ． （Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 【考点】数列递推式． 【分析】（Ⅰ）利用条件，结合等差数列的定义，即可证明数列{bn}是等差数列， 从而求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）利用错位相减法求数列{an}的前 n 项和 Sn． 【 解 答 】 （ I ） 证 明 ： ∵ ， ， ， ∴bn+1﹣bn= ，…（2 分） ∴数列{bn}是等差数列，… ∵ ，∴ ， ∴数列{an}的通项公式 ；… （ II ） 解 ： ∵ ， ∴ ， 当 n ≥ 2 时 ， 相 减 得 ： ∴ ， … （8 分） 整理得 ， 当 n=1 时， ，…（11 分） 综上，数列{an}的前 n 项和 ．…（12 分） 【点评】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查错位相减法， 确定数列的通项是关键． 　 18．（10 分）（2013•天津）已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列，其 前 n 项和为 Sn（n∈N*），且 S3+a3，S5+a5，S4+a4 成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 Tn=Sn﹣ （n∈N*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． 【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为 q，由 S3+a3，S5+a5，S4+a4 成等差数列，可 构造关于 q 的方程，结合首项为 的等比数列{an}不是递减数列，求出 q 值， 可得答案． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 Sn 的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出 在 n 为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为 q， ∵S3+a3，S5+a5，S4+a4 成等差数列． ∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5） 即 4a5=a3， 故 q2= = 又∵数列{an}不是递减数列，且等比数列的首项为 ∴q=﹣ ∴数列{an}的通项公式 an= ×（﹣ ）n﹣1=（﹣1）n﹣1• （Ⅱ）由（Ⅰ）得 Sn=1﹣（﹣ ）n= 当 n 为奇数时，Sn 随 n 的增大而减小，所以 1＜Sn≤S1= 故 0＜ ≤ = ﹣ = 当 n 为偶数时，Sn 随 n 的增大而增大，所以 1＞Sn≥S2= 故 0＞ ≥ = ﹣ = 综上，对于 n∈N*，总有 ≤ ≤ 故数列{Tn}的最大项的值为 ，最小项的值为 【点评】本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n 项 和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析 问题和解析问题的能力． 　 19．（12 分）（2012•莆田二模）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、 高二、高三各代表队人数分别为 120 人、120 人、n 人．为了活跃气氛，大会组 委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 20 人在前排就坐，其中高二代表队有 6 人． （1）求 n 的值； （2）把在前排就坐的高二代表队 6 人分别记为 a，b，c，d，e，f，现随机从中 抽取 2 人上台抽奖．求 a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率． （3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的 均匀随机数 x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表 中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率． 【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型． 【分析】（1）根据分层抽样可得 ，故可求 n 的 值； （2）求出高二代表队 6 人，从中抽取 2 人上台抽奖的基本事件，确定 a 和 b 至 少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得 a 和 b 至少有一 人上台抽奖的概率； （3）确定满足 0≤x≤1，0≤y≤1 点的区域，由条件 得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率． 【解答】解：（1）由题意可得 ，∴n=160； （2）高二代表队 6 人，从中抽取 2 人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a， c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e）， （b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共 15 种，其中 a 和 b 至少有一人上台抽奖的基本事件有 9 种， ∴a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率为 = ； （3）由已知 0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形 OABC 内， 由条件 得到的区域为图中的阴影部分 由 2x﹣y﹣1=0，令 y=0 可得 x= ，令 y=1 可得 x=1 ∴在 x，y∈[0，1]时满足 2x﹣y﹣1≤0 的区域的面积为 = ∴该代表中奖的概率为 = ． 【点评】本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率 的类型是关键． 　 20．（12 分）（2016 春•潜江校级期中）已知一个 5 次多项式为 f（x） =4x5﹣3x3+2x2+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当 x=2 时的值． 【考点】排序问题与算法的多样性． 【分析】把所给的多项式写成关于x 的一次函数的形式，依次写出，得到最后结 果，从里到外进行运算，得到要求的值． 【解答】解：由 f（x）=（（（（4x+0）x﹣3）x+2）x+5）x+1 ∴v0=4 v1=4×2+0=8 v2=8×2﹣3=13 v3=13×2+2=28 v4=28×2+5=61 v5=61×2+1=123 故这个多项式当 x=2 时的值为 123． 【点评】本题考查排序问题与算法的多样性，解答本题，关键是了解秦九韶算法 的规则，求出多项式当 x=2 时的值． 　 21．（12 分）（2015•石家庄校级模拟）在△ABC 中，∠A，B，C 所对应的边分 别为 a，b，c，面积为 S． （1）若 ≤2 S，求 A 的取值范围； （2）若 tanA：tanB：tanC=1：2：3，且 c=1，求 b． 【考点】余弦定理；向量在几何中的应用；同角三角函数间的基本关系． 【分析】（1）已知不等式左边利用平面向量的数量积运算法则变形，右边利用 三角形面积公式化简，整理求出 tanA 的范围，即可确定出 A 的范围； （2）由已知的比例式，设一份为 x，表示出 tanA，tanB，tanC，由 A=π﹣ （B+C），利用诱导公式得到 tanA=﹣tan（B+C），再利用两角和与差的正切函 数公式将等式右边进行变形，将表示出 tanA，tanB，tanC 代入，列出关于 x 的方 程，求出方程的解得到 x 的值，即为 tanA 的值，确定出 tanB 与 tanC 的值，进而 求出 sinB 与 sinC 的值，由 c 的值，利用正弦定理即可求出 b 的值． 【解答】解：（1）∵ • =cbcosA，S= bcsinA， ∴cbcosA≤ ×2 bcsinA， 若 A 为钝角或直角，显然成立； 若 A 为锐角，即 tanA≥ ， ∵A 为三角形内角， ∴ ≤A＜π； （2）由 tanA：tanB：tanC=1：2：3，设 tanA=x，tanB=2x，tanC=3x， ∴ tanA=tan[π﹣ （ B+C ） ]=﹣tan （ B+C ） =﹣ =﹣ =x， 整理得：x2=1，解得：x=1 或 x=﹣1， ∴tanA=1 或 tanA=﹣1（不合题意，舍去）， ∴tanA=1，tanB=2，tanC=3，三个角为锐角， ∴cosB= = ，cosC= = ， ∴sinB= ，sinC= ， ∵c=1， ∴由正弦定理 = 得：b= = = ． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函 数间的基本关系，熟练掌握定理及运算法则是解本题的关键． 　 22．（12 分）（2012•德州二模）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S ，数列{bn}满足 ，Tn 为数列{bn}的前 n 项和． （I）求数列{an}的通项公式 an 和 Tn； （II）若对任意的 n∈N*不等式 恒成立，求实数 λ 的取值范围． 【考点】数列与函数的综合；数列与不等式的综合． 【分析】（ I）当 n=1 时，a1=S1=1，当 n≥2 时，an= =2n﹣1 ， 由 此 推 导 出 an=2n﹣1 ， 从 而 得 到 bn= = （ ），由此能求出数列{an}的通项公式 an 和 Tn． （II）由（I）得：λ＜ ，由此进行分类讨 论，能推导出对于任意的正整数 n，原不等式恒成立，λ 的取值范围． 【解答】解：（I）当 n=1 时，a1=S1=1， 当 n≥2 时，an= =2n﹣1，验证当 n=1 时，也成立； 所以，an=2n﹣1， bn= = = （ ） 所 以 ， Tn= = ． （II）由（I）得：λ＜ ， 当 n 为奇数时，λ＜ =2n﹣ 恒成立， 因为当 n 为奇数时，2n﹣ 单调递增， 所以当 n=1 时，2n﹣ ﹣1 取得最小值为 0， 此时，λ＜0． 当 n 为偶数时， =2n+ +3 恒成立， 因为当 n 为偶数时，2n+ +3 单调递增，所以当 n=2 时，2n+ +3 取得最小值 为 ， 此时，λ＜