【数学】2019届一轮复习人教A版一道让五万考生得零分的解析几何题的深入探究学案 7页

‎　 　 一道让五万考生得零分的解析几何题的深入探究 ‎2011年山东省高考理科解析几何压轴题集定值、最值问题于一体，让五万考生得零分，得知此情我对此题做了深入探究．这么多的考生得零分，原因是此题起点较高，第一问就是定值问题，第二问是最值问题，第三问是探索性问题，下面我们研究其多种解题思路．‎ 原题：已知直线与椭圆交于，两不同点，且的面积，其中为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）证明：和均为定值．‎ ‎（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值．‎ ‎（Ⅲ）椭圆上是否存在三点，，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，说明理由．‎ 这个题目关键是做好第（Ⅰ）问，由于第（Ⅰ）问作为起点比前几年第（Ⅰ）问高了些（前几年第（Ⅰ）问多数为求曲线方程，比较简单），所以考生普遍感到较难．事实上，第（Ⅰ）问完全可以通过特殊情况的研究获得正确的结果，做第（Ⅱ），（Ⅲ）问时只要充分利用第（Ⅰ）问的结果，是不难做好的．‎ ‎１．探究第（Ⅰ）问的三种解法：‎ 解法１：从直线方程入手，注意讨论　‎ ‎（1）当斜率不存在时，、关于轴对称，，，因为 在椭圆上，所以，又，所以，，此时，．‎ ‎（2）当斜率存在时，设，‎ 代入得，‎ 其中，‎ ‎，，‎ ‎，　‎ 又到直线的距离，‎ 所以，‎ 所以，满足，‎ 此时，．‎ 评注：（１）这是大多数学生熟悉的解法，特别是从特殊情况讨论的办法，值得同学们重视．一般地，定值问题都可以利用特殊情况确定这个定值，使对一般情况的研究有了方向．‎ ‎（２）若使用面积公式，其中，同样能得到，这个办法可以使运算量减小，应该适当考虑这个办法．一般地，用割补法求三角形的面积时，分割线段最好在坐标轴上．‎ 解法２：考虑利用三角形的面积公式，于是把点转化为向量，利用向量的夹角公式．‎ 证明：‎ ‎，，‎ 即，又，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，整理得，，‎ 又，．‎ 评注：（１）解法２中还可以使用割补法（就是解法１评注中提到的方法）论证：‎ 先考虑，两点确定的直线与轴相交的情况，设交点为，则，解得，所以．‎ 显然，当平行于轴时，，仍然有．综上，．‎ 这个结论很好记忆．‎ ‎（２）解法２优点是不需要分类讨论，但是计算比较麻烦，变形技巧较高，不容易掌握，若是利用三角换元法对进行变形，可以避开较高的技巧，于是有下面的解法３．‎ 解法３：推导的过程同解法２．‎ 根据椭圆的标准方程，令，，，，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，．‎ 或者由得，，‎ ‎，‎ 又，．‎ ‎２．做第（Ⅱ）问应该充分利用第（Ⅰ）问的结论：‎ 解法１：直接坐标化可以顺利利用第（Ⅰ）问的结果，但是计算比较复杂：‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，结合第（Ⅰ）问可得，‎ 此时，，，，符合条件．‎ 因此，的最大值为．‎ 解法２：若能注意到的结果为定值，则有下面的更简单的解法：‎ ‎，‎ 所以，‎ 即，当且仅当时取等号，因此的最大值为．‎ 评注：上面的解法较好地利用了第（Ⅰ）问的结果，若是不注意这一点，则可能继续使用第（Ⅰ）问的第一种解法的分类讨论，于是有下面的解法：‎ 解法３：（1）当斜率不存在时，由（Ⅰ）知，，此时．‎ ‎（２）当斜率存在时，由（Ⅰ）知：‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 综合（１）（２）得的最大值为．‎ 评注：显然，这种解法事实上利用了第（Ⅰ）问的一些中间结果，而不是最终结果，过程麻烦一些是理所当然的了．‎ ‎3．探究第（Ⅱ）问的独立解法：‎ 假如第（Ⅱ）问是独立的一问，也就是如果没有第（Ⅰ）问作为铺垫，那么，我们发现这是一个弦中点问题，很容易用点差法求出直线、的斜率之间的关系，于是有下面的解法，这个解法不用第（Ⅰ）问的结论．‎ 由题意，，，‎ ‎．‎ （１） 当即当斜率不存在时，由（Ⅰ）知，，‎ ‎　　　此时．‎ ‎（２）当时，可得，‎ 设，，直线、夹角为，‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立．，‎ 又，，‎ 当时，的最大值为．‎ 综合（１）（２）得的最大值为．‎ 在上面的解法中使用了两条直线的夹角公式，由于现在有些版本的教材没有这个公式，所以我们再提供求的取值范围的向量解法： ‎ 设，，于是取的一个方向向量，‎ 取的一个方向向量，，‎ 则，‎ 当且仅当时，等号成立．　，．‎ ‎4．做第（Ⅲ）问也应该充分利用第（Ⅰ）问的结论：‎ 答案：椭圆上不存在三点，，，使得．‎ 证明：假设存在三点，，满足．‎ 由（Ⅰ）得：，‎ 解得，，因此，，只能在这四点中选取三个不同的点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，不可能有．所以椭圆上不存在三点，，，使得．‎ 评注：本小题很容易让人联想起2004年全国高考卷Ⅰ（当年山东省还没有自主命题，也是用的这套试题）第12题：已知则的最小值为（ ）．‎ A．　　　　B．　　　Ｃ．　　　Ｄ．‎ 这个题目也是要解出，，从而，，，于是当，时，取到最小值为，本题的思维误区是想利用基本不等式解决，而不去求出的值．‎ 总结：在这个高考题的探究中，涉及到利用四大数学思想方法即函数方程，数形结合，分类讨论，转化化归．从数学工具上看主要利用了直线斜率，向量，三角换元法，基本不等式．‎ ‎　　‎