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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版一道让五万考生得零分的解析几何题的深入探究学案

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‎    一道让五万考生得零分的解析几何题的深入探究 ‎2011年山东省高考理科解析几何压轴题集定值、最值问题于一体,让五万考生得零分,得知此情我对此题做了深入探究.这么多的考生得零分,原因是此题起点较高,第一问就是定值问题,第二问是最值问题,第三问是探索性问题,下面我们研究其多种解题思路.‎ 原题:已知直线与椭圆交于,两不同点,且的面积,其中为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)证明:和均为定值.‎ ‎(Ⅱ)设线段的中点为,求的最大值.‎ ‎(Ⅲ)椭圆上是否存在三点,,,使得?若存在,判断的形状;若不存在,说明理由.‎ 这个题目关键是做好第(Ⅰ)问,由于第(Ⅰ)问作为起点比前几年第(Ⅰ)问高了些(前几年第(Ⅰ)问多数为求曲线方程,比较简单),所以考生普遍感到较难.事实上,第(Ⅰ)问完全可以通过特殊情况的研究获得正确的结果,做第(Ⅱ),(Ⅲ)问时只要充分利用第(Ⅰ)问的结果,是不难做好的.‎ ‎1.探究第(Ⅰ)问的三种解法:‎ 解法1:从直线方程入手,注意讨论 ‎ ‎(1)当斜率不存在时,、关于轴对称,,,因为 在椭圆上,所以,又,所以,,此时,.‎ ‎(2)当斜率存在时,设,‎ 代入得,‎ 其中,‎ ‎,,‎ ‎, ‎ 又到直线的距离,‎ 所以,‎ 所以,满足,‎ 此时,.‎ 评注:(1)这是大多数学生熟悉的解法,特别是从特殊情况讨论的办法,值得同学们重视.一般地,定值问题都可以利用特殊情况确定这个定值,使对一般情况的研究有了方向.‎ ‎(2)若使用面积公式,其中,同样能得到,这个办法可以使运算量减小,应该适当考虑这个办法.一般地,用割补法求三角形的面积时,分割线段最好在坐标轴上.‎ 解法2:考虑利用三角形的面积公式,于是把点转化为向量,利用向量的夹角公式.‎ 证明:‎ ‎,,‎ 即,又,,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,整理得,,‎ 又,.‎ 评注:(1)解法2中还可以使用割补法(就是解法1评注中提到的方法)论证:‎ 先考虑,两点确定的直线与轴相交的情况,设交点为,则,解得,所以.‎ 显然,当平行于轴时,,仍然有.综上,.‎ 这个结论很好记忆.‎ ‎(2)解法2优点是不需要分类讨论,但是计算比较麻烦,变形技巧较高,不容易掌握,若是利用三角换元法对进行变形,可以避开较高的技巧,于是有下面的解法3.‎ 解法3:推导的过程同解法2.‎ 根据椭圆的标准方程,令,,,,‎ 则,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 又,.‎ 或者由得,,‎ ‎,‎ 又,.‎ ‎2.做第(Ⅱ)问应该充分利用第(Ⅰ)问的结论:‎ 解法1:直接坐标化可以顺利利用第(Ⅰ)问的结果,但是计算比较复杂:‎ ‎,‎ 当且仅当时取等号,结合第(Ⅰ)问可得,‎ 此时,,,,符合条件.‎ 因此,的最大值为.‎ 解法2:若能注意到的结果为定值,则有下面的更简单的解法:‎ ‎,‎ 所以,‎ 即,当且仅当时取等号,因此的最大值为.‎ 评注:上面的解法较好地利用了第(Ⅰ)问的结果,若是不注意这一点,则可能继续使用第(Ⅰ)问的第一种解法的分类讨论,于是有下面的解法:‎ 解法3:(1)当斜率不存在时,由(Ⅰ)知,,此时.‎ ‎(2)当斜率存在时,由(Ⅰ)知:‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ 综合(1)(2)得的最大值为.‎ 评注:显然,这种解法事实上利用了第(Ⅰ)问的一些中间结果,而不是最终结果,过程麻烦一些是理所当然的了.‎ ‎3.探究第(Ⅱ)问的独立解法:‎ 假如第(Ⅱ)问是独立的一问,也就是如果没有第(Ⅰ)问作为铺垫,那么,我们发现这是一个弦中点问题,很容易用点差法求出直线、的斜率之间的关系,于是有下面的解法,这个解法不用第(Ⅰ)问的结论.‎ 由题意,,,‎ ‎.‎ (1) 当即当斜率不存在时,由(Ⅰ)知,,‎ ‎   此时.‎ ‎(2)当时,可得,‎ 设,,直线、夹角为,‎ ‎,‎ 当且仅当时,等号成立.,‎ 又,,‎ 当时,的最大值为.‎ 综合(1)(2)得的最大值为.‎ 在上面的解法中使用了两条直线的夹角公式,由于现在有些版本的教材没有这个公式,所以我们再提供求的取值范围的向量解法: ‎ 设,,于是取的一个方向向量,‎ 取的一个方向向量,,‎ 则,‎ 当且仅当时,等号成立. ,.‎ ‎4.做第(Ⅲ)问也应该充分利用第(Ⅰ)问的结论:‎ 答案:椭圆上不存在三点,,,使得.‎ 证明:假设存在三点,,满足.‎ 由(Ⅰ)得:,‎ 解得,,因此,,只能在这四点中选取三个不同的点,而这三点的两两连线中必有一条过原点,不可能有.所以椭圆上不存在三点,,,使得.‎ 评注:本小题很容易让人联想起2004年全国高考卷Ⅰ(当年山东省还没有自主命题,也是用的这套试题)第12题:已知则的最小值为( ).‎ A.    B.   C.   D.‎ 这个题目也是要解出,,从而,,,于是当,时,取到最小值为,本题的思维误区是想利用基本不等式解决,而不去求出的值.‎ 总结:在这个高考题的探究中,涉及到利用四大数学思想方法即函数方程,数形结合,分类讨论,转化化归.从数学工具上看主要利用了直线斜率,向量,三角换元法,基本不等式.‎ ‎  ‎

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