上海市七宝中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 16页

www.ks5u.com 七宝中学高一期中数学卷 一、填空题 ‎1.已知集合,,且,则实数的取值范围是_______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数轴,根据集合并集的定义,结合已知,可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为集合,,且,所以,因此实数取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数问题,利用数轴、理解掌握集合并集的定义是解题的关键.‎ ‎2.若集合,,若,则实数_______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,可以确定,运用分类讨论方法进行求解,求解过程中要再计算一下.‎ ‎【详解】因为,所以.‎ 当时,解得,此时,因此,这与不符,故舍去；‎ 当时,解得,此时,所以符合题意；‎ 当时,方程无实根,综上所述实数.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了已知集合交集的结果求参数问题,分类讨论是解题的关键.‎ ‎3.命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是 。‎ ‎【答案】若至少有一个为零，则为零 ‎【解析】‎ 解：因为命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是就是将条件和结论同时否定，再作为新命题的结论和条件，即可。故为.若a ,b至少一个为0，则ab为0‎ ‎4.科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数：，如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照操作过程,得到一个方程,解方程即可.‎ ‎【详解】由题意得：.‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题考查了数学阅读理解的能力,考查了解方程的能力,属于基础题.‎ ‎5.设函数，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式,分类讨论即可求出的值.‎ ‎【详解】当时,因为,所以,而,‎ 所以；‎ 当时, 因为,所以,而,所以舍去,综上所述：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了已知分段函数的函数值求自变量取值问题,考查了分类思想,考查了数学运算能力.‎ ‎6.已知函数,，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域,再求出函数的定义域,然后进行运算即可.‎ ‎【详解】函数的定义域为：,而函数的定义域为：,因此函数 的定义域为,所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的定义域,考查了数学运算能力.‎ ‎7.已知不等式的解集中有且只有5个整数，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在直角坐标系内,画出函数图象,平移函数的图象,利用数形结合思想,结合已知,可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】在直角坐标系内,画出函数图象,如下图所示；‎ 平移函数的图象,可以发现： 当时, 不等式的解集中有且只有5个整数.‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数图象解决不等式整数解问题,考查了数形结合思想.‎ ‎8.若关于的不等式在上的解集为,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的解法可知：一元二次方程根的判别式小于零,因此可以通过解不等式可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为关于的不等式在上的解集为,所以一元二次方程 根的判别式小于零,即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题,掌握一元二次不等式的解法是解题的关键,考查了方程与不等式之间的联系.‎ ‎9.已知函数的定义域为,则函数的定义域为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的定义域,可以得出函数 中自变量的满足的不等式组,解这个不等式组即可.‎ ‎【详解】因为函数的定义域为,所以有,‎ 因此函数的定义域为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的定义域,掌握求复合函数的定义域的方法是解题的关键.‎ ‎10.已知，，则的最小值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据条件，解得 ‎，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3.‎ 考点：基本不等式 ‎11.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平面直角坐标系内,画出函数的图象,画出函数的图象的示意图,平移函数的图象,利用数形结合，可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】在平面直角坐标系内,画出函数的图象,画出函数图象的示意图,如下图所示：‎ 向右平移函数图象的过程中可以发现：当从左到右平移到与横轴的交点为时，要想不等式对任意恒成立,即满足 ‎；再继续往右平移时，当函数图象的左侧经过点时,此时 ‎,显然当时, 不等式对任意恒成立,综上所述：实数的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数图象求解不等式恒成立问题,考查了数形结合思想、平移思想.‎ ‎12.对于集合，定义函数，对于两个集合、，定义集合,用表示有限集合所含元素的个数,若,,则能使取最小值的集合的个数为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过定义可以用集合中的补集来解释，再根据取最小值时所满足的条件,最后可以求出集合的个数.‎ ‎【详解】因为,所以有,要想 最小,只需最大,且最小,要使 最小, 则有,‎ ‎,所以集合是集合和集合子集的并集,因此集合的个数为个.‎ 故答案：8‎ ‎【点睛】本题考查了新定义题,考查了集合与集合之间的关系,考查了数学阅读能力.‎ 二、选择题 ‎13.设命题甲“”,命题乙“”，那么甲是乙的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析成立的条件,根据充分性、必要性的概念即可选出正确答案.‎ ‎【详解】因为,所以由一定能推出,由,不一定能推出,所以甲是乙的充分非必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了充分非必要条件的判断,属于基础题.‎ ‎14.已知集合,，则与的关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法表示集合,这样就可以选出正确答案.‎ ‎【详解】或或或.‎ 因此,所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系,理解本题中集合元素的属性特征是解题的关键.‎ ‎15.若实数、、满足,则下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用取特殊值的方法和差比的比较法即可选出正确答案.‎ ‎【详解】选项A：当时,显然满足,但是,显然不成立；‎ 选项B：,因为,‎ 所以,故本结论成立；‎ 选项C：当时,显然不成立；‎ 选项D：当时,不等式能成立,但是此时不成立.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了利用已知不等式判断有关不等式是否成立问题,利用特殊值法、差比的比较法、不等式的性质是解决这类问题的常用方法.‎ ‎16.已知、、为实数，，，记集合，，则下列命题为真命题是（ ）‎ A. 若集合元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2‎ B. 若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2‎ C. 若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3‎ D. 若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况；再考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况,最后选出正确答案.‎ ‎【详解】选项A：当时，集合的元素个数为2，此时,集合的元素个数为1,故本选项说法错误；‎ 选项B：当时,集合的元素个数为2,此时，集合的元素个数为3，故本选项说法错误；‎ 选项C：当时，集合元素个数为3，此时,集合的元素个数为2,故本选项说法错误；‎ 选项D：若集合的元素个数为3，方程有三个不等实根,则有,在该条件下方程一定有这一个根，且不是的根，又，所以有两个不等于的根，即集合的元素个数也一定为3.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想.‎ 三、解答题 ‎17.已知集合,函数的定义域为集合,且,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域,结合已知,利用数轴,可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】,‎ 或,所以.‎ 因为,所以有：或,解得或,综上所述：实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了根据集合关系求参数问题,考查了解分式不等式,考查了求函数的定义域,利用数轴是解题的关键.‎ ‎18.若实数、、满足,则称比接近.‎ ‎(1)若比4接近1,求实数的取值集合；‎ ‎(2)若、均属于(1)中集合,求证：比接近0.‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题目已知给的信息,可以把比4接近1,转化成不等式,解这个不等式即可；‎ ‎(2)根据题意可以得到,想要证明比接近0,只需证明 即可,运用平方法、差比的比较法、因式分解法可以证明出结论.‎ ‎【详解】(1)因为比4接近1,所以有 ‎,所以实数的取值集合 ‎； ‎ ‎(2)由题意可知：‎ ‎,‎ 因为,所以,即 于是有,由题意可知：比接近0.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式,考查了证明绝对值不等式,考查了数学阅读能力.‎ ‎19.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．‎ ‎（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式；‎ ‎（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？‎ ‎【答案】（1）；（2）当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意知，将其代入为常数）即可求出参数，‎ 即可求出关于的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进 而求出函数的最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费.‎ 由,得 所以 ‎（2）因为 当且仅当,即时取等号 所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．‎ ‎（2）导数解法：，令得 当时，，当时，．‎ 所以当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．‎ 考点：导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．‎ ‎20.已知是满足下述条件的所有函数组成的集合：对于函数定义域内的任意两个自变量、,均有成立.‎ ‎(1)已知定义域为的函数,求实数、的取值范围；‎ ‎(2)设定义域为的函数,且,求正实数的取值范围；‎ ‎(3)已知函数的定义域为,求证：.‎ ‎【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意得到不等式,通过不等式可以求出实数、的取值范围；‎ ‎(2)求出时, 正实数的取值范围,然后根据补集思想,求出正实数的取值范围即可；‎ ‎(3)设,利用分子有理化,绝对值不等式的性质，可以证明出 ‎,这样就可以证明出.‎ ‎【详解】(1)因为定义域为的函数,所以均有 成立,即 ‎,显然,因此，‎ ‎；‎ ‎(2) 设定义域为的函数,且,所以均有 成立,即 ‎,‎ 设,即在上恒成立,‎ ‎,因此有：‎ ‎,因此当时, 正实数的取值范围为：；‎ ‎(3) 设 ‎,‎ 所以有,显然 也成立.‎ ‎【点睛】本题考查了数学阅读能力,考查了有关不等式恒成立问题,理解题意、运用绝对值的性质、分子有理化的方法是解题的关键.‎ ‎21.对于正整数集合（,）,如果去掉其中任意一个元素（）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.‎ ‎(1)判断集合是否为“和谐集”,并说明理由；‎ ‎(2)求证：集合是“和谐集”；‎ ‎(3)求证：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.‎ ‎【答案】(1)不是；理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；‎ ‎(2)集合去掉任意一个元素进行分类讨论,找到符合题意的两个集合即可证明集合是“和谐集”；‎ ‎(3)判断任意一个元素（）的奇偶性相同,分类讨论,可以证明出若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.‎ ‎【详解】(1)当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：‎ ‎,经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；‎ ‎(2)集合所有元素之和为49.‎ 当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；‎ 当去掉元素3时,剩下的元素之和为46,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；‎ 当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；‎ 当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；‎ 当去掉元素9时,剩下的元素之和为40,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；‎ 当去掉元素11时,剩下的元素之和为38,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；‎ 当去掉元素13时,剩下的元素之和为36,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；‎ ‎(3)设正整数集合（，）所有元素之和为,由题意可知 均为偶数,因此任意一个元素（）的奇偶性相同.‎ 若是奇数,所以（）也都是奇数,由于,显然为奇数；‎ 若是偶数, 所以（）也都是偶数.此时设（）显然也是“和谐集”,重复上述操作有限次,便可以使得各项都为奇数的“和谐集”,此时各项的和也是奇数,集合中元素的个数也是奇数,‎ 综上所述：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.‎ ‎【点睛】本题考查了新定义的理解与运用,正确理解题意,运用分类讨论的方法是解题的关键.‎ ‎ ‎