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- 2021-07-01 发布
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小题分层练(五) “985”跨栏练(1)
1.已知复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a=( )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2,则的值为( )
A. B.
C. D.
3.函数y=|log2(x-1)|的图象大致是( )
4.已知集合A={x|2x2-2x<8},B={x|x2+2mx-4<0},A∩B={x|-1<x<1},A∪B={x|-4<x<3},则实数m的值为( )
A. B.
C.2 D.3
5.过点P(-2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A到抛物线的焦点的距离为( )
A. B.
C. D.2
6.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形,若该“阳马”的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( )
A.π B.8π
C.π D.24π
7.设A,B,C为三角形的三个内角,且方程(sin B-sin A)·x2+(sin A-sin C)x+(sin
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C-sin B)=0有两个相等实根,那么( )
A.B>60° B.B≥60°
C.B<60° D.B≤60°
8.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,若点(Sn,)在曲线2y2=x+1上,则数列{}的前5项和T5=( )
A.log2 B.log2
C. D.
9.对于平面向量a,b,给出下列四个命题:
命题p1:若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;
命题p2:“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充要条件;
命题p3:当a,b为非零向量时,“a+b=0”是“|a+b|
=||a|-|b||”的充要条件;
命题p4:若|a+b|=|b|,则|2b|≥|a+2b|.
其中的真命题是( )
A.p1,p3 B.p2,p4 C.p1,p2 D.p3,p4
10.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x),当x≠0时,f′(x)+>0,若a=f,b=-2f(-2),c=f,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a<c<b B.b<c<a
C.a<b<c D.c<a<b
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=10,S4=50,则公差d=________,若Sn取到最大值,则n=________.
12.已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为2的正三角形,该三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球,则该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为________.
13.将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的最小正周期为________,初相为________.
14.若展开式中的常数项为5,则a=________;含x5的项的二次项系数等于
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________.
15.设函数f(x)=若f(a)=-,则a=________,若方程f(x)-b=0有三个不同的实数根,则实数b的取值范围是________.
16.已知直线2ax-by+14=0(a>0,b>0),且该直线上的点A(-1,2)始终落在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或圆上,则的取值范围是________.
17.已知正实数a,b,c满足2a+3b+4c=4,若对任意的a,b,c,不等式+≥x+对任意的x∈[1,2]恒成立,则实数t的最大值为________.
小题分层练(五)
1.解析:选A.=+i,由是纯虚数得=0,所以a=-2,故选A.
2.解析:选C.因为a2=b2+c2,所以由余弦定理,得=·===,故选C.
3.解析:选B.法一:由函数的定义域{x|x>1}知,只有B项正确,故选B.
法二:将y=log2x的图象向右平移一个单位长度得y=log2(x-1)的图象,再将y=log2(x-1)在x轴下方的图象关于x轴对称后即得B.
4.解析:选B.根据题意知,集合A={x|2x2-2x<8}={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},因为A∩B={x|-1<x<1},A∪B={x|-4<x<3},所以结合数轴可知集合B={x|-4<x<1},即-4,1是方程x2+2mx-4=0的两个根,所以-4+1=-2m,解得m=,故选B.
5.解析:选A.设A(x1,y1)、B(x2,y2),因为|PA|=|AB|,所以又得x1=,
则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=.
6.
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解析:选C.由题可知,该“阳马”为四棱锥,记为PABCD,将其放入长方体中如图所示,则该“阳马”的外接球直径为长方体的体对角线,易知AD=AP=1,AB=2,所以PC==,所以外接球的半径为=,故该球的体积为=××=π.故选C.
7.解析:选D.由已知,得Δ=0,即(sin A-sin C)2-4(sin B-sin A)(sin C-sin B)=0,由正弦定理,得(a-c)2-4(b-a)(c-b)=0,
展开,得a2+c2+2ac+4b2-4bc-4ab=0,
所以(a+c-2b)2=0,所以a+c=2b,所以b=,
所以cos B===-≥-=.
当且仅当a=c时,等号成立.因为cos B>0,所以0°<B<90°,
又y=cos B在(0°,90°)上为减函数,所以B≤60°(当且仅当a=c时取等号).
8.解析:选C.因为点(Sn,)在曲线2y2=x+1上,所以2an=Sn+1.当n≥2,n∈N*时,有2an-1=Sn-1+1,两式相减,得2an-2an-1=Sn-Sn-1=an,所以当n≥2,n∈N*时,有=2,当n=1时,有2a1=S1+1,解得a1=1,所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1,Sn=2n-1,所以===-,所以T5=1-=.故选C.
9.解析:选B.法一:对于命题p1,当向量a,b共线且同向时,它们的夹角不是锐角,但它们的数量积为正,所以命题p1是假命题.对于命题p2,因为a·b=|a||b|cos〈a,b〉,又|a·b|=|a|·|b|,所以|cos〈a,b〉|=1,所以〈a,b〉=0°或180°,即a∥b.反之,如果a∥b,容易得到|a·b|=|a|·|b|,因此“|a·b|=|a|·|b|”是“a∥b”的充要条件(这里包含a,b中有零向量的情况),所以命题p2是真命题.对于命题p3,|a+b|=||a|-|b||⇔a·b=-|a||b|⇔cos〈a,b〉=-1⇔a与b反向⇔a=λb(λ<0),所以“a+b=0”是“|a+b|=||a|-|b||”的充分不必要条件,所以命题p3是假命题.对于命题p4,由|a+b|=|b|得,a2+2a·b=0,即2a·b=-a2,故|a+2b|2=a2+4b2+4a·b=a2+4b2-2a2=4b2-a2≤4b2=|2b|2,即|2b|≥|a+2b|,所以命题p4是真命题.
法二:对于命题p1,当向量a,b共线且同向时,它们的夹角不是锐角,但它们的数量积为正,所以命题p1是假命题,排除A、C.根据B、D可知,命题p4是真命题,故只需要判断命题p2即可.对于命题p2,因为a·b=|a||b|·cos〈a,b〉,又|a·b|=|a||b|⇔|cos〈a,b〉|=1⇔〈a,b〉=0°或180°⇔a∥b,所以命题p2是真命题,故选B.
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10.解析:选A.设h(x)=xf(x),所以h′(x)=f(x)+xf′(x),因为y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,所以h(x)是定义在实数集R上的偶函数,
当x>0时,h′(x)=f(x)+xf′(x)>0,所以此时函数h(x)单调递增.
因为a=f=h,b=-2f(-2)=2f(2)=h(2),c=f=h=h(-ln 2)=h(ln 2),
又2>ln 2>,所以b>c>a.故应选A.
11.解析:由已知条件可得S4=a3-2d+a3-d+a3+a3+d=4a3-2d=50,又a3=10,
所以d=-5.可得a4=5,a5=0,a6=-5,…,故当n=4或5时,Sn取到最大值.
答案:-5 4或5
12.解析:由题意知,三棱柱的内切球的半径r等于底面内切圆的半径,即r=×2=1,此时三棱柱的高为2r=2,底面外接圆的半径为2×=2,所以三棱柱的外接球的半径R==.所以该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为=∶1.
答案:∶1
13.解析:函数g(x)=2sin,故最小正周期为π,初相为.
答案:π
14.解析:展开式的通项为Tk+1=a5-k·Cx10-k,当k=4时,其常数项为5a=5,所以a=1;又k=2时,含x5项的系数为C=10.
答案:1 10
15.解析:若-4a2=-,解得a=-,
若a2-a=-,解得a=,故a=-或.当x<0时,f(x)=-4x2<0,
当x≥0时,f(x)=-,f(x)的最小值是-,若方程f(x)-b=0有三个不同的实数根,则直线y=b与y=f(x)的图象有3个交点,故由图象可知b∈.
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答案:-或
16.解析:将点A(-1,2)代入2ax-by+14=0,可得a+b=7,由于A(-1,2)始终落在所给圆的内部或圆上,所以a2+b2≤25.由解得或这说明点(a,b)在以B(3,4)和C(4,3)为端点的线段上运动,所以的取值范围是.
答案:
17.解析:因为正实数a,b,c满足2a+3b+4c=4,所以+=+-2=(+)(2a+2b+b+4c)-2=[1+4++]-2≥(当且仅当=时取等号).要使不等式+≥x+对任意的x∈[1,2]恒成立,则只需≥x+对任意的x∈[1,2]恒成立,即解得t≤1.所以实数t的最大值为1.
答案:1
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