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- 2021-07-01 发布
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第六节 简单的三角恒等变换
A组 基础题组
1.若cos2αsinα+7π4=-22,则sin α+cos α的值为( )
A.-22 B.-12 C.12 D.72
2.已知sin 2α=35π2<2α<π,tan(α-β)=12,则tan(α+β)等于( )
A.-2 B.-1 C.-211 D.211
3.2cos10°-sin20°sin70°的值是( )
A.12 B.32 C.3 D.2
4.已知sin 2α=13,则cos2α-π4=( )
A.13 B.-13 C.23 D.-23
5.(2017安徽师大附中模拟)设当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cos θ=( )
A.255 B.55 C.-255 D.-55
6.已知tanα-π4=14,则tanα+π4= .
7.tanπ4+α·cos2α2cos2π4-α的值为 .
8.已知cos(α+β)=16,cos(α-β)=13,则tan αtan β的值为 .
9.已知tan α=-13,cos β=55,α∈π2,π,β∈0,π2,求tan(α+β)的值,并求出α+β的值.
10.已知函数f(x)=Acosx4+π6,x∈R,且fπ3=2.
(1)求A的值;
(2)设α,β∈0,π2, f4α+4π3=-3017, f4β-2π3=85,求cos(α+β)的值.
B组 提升题组
11.若锐角α,β满足(1+3tan α)(1+3tan β)=4,则α+β= .
12.3tan12°-3(4cos212°-2)sin12°= .
13.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,3).
(1)求sin 2α-tan α的值;
(2)若函数f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数g(x)=3fπ2-2x-2f2(x)在区间0,2π3上的值域.
14.已知函数f(x)=2sin ωx+mcos ωx(ω>0,m>0)的最小值为-2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和m的值;
(2)若fθ2=65,θ∈π4,3π4,求fθ+π8的值.
答案全解全析
A组 基础题组
1.C cos2αsinα+7π4=cos2α-sin2α22(sinα-cosα)=(cosα+sinα)(cosα-sinα)22(sinα-cosα)=-22,整理得sin α+cos α=12.
2.A 由题意,可得cos 2α=-45,则tan 2α=-34,
故tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]=tan2α-tan(α-β)1+tan2αtan(α-β)=-2.
3.C 原式=2cos(30°-20°)-sin20°sin70°=2(cos30°·cos20°+sin30°·sin20°)-sin20°sin70°
=3cos20°cos20°=3.
4.C cos2α-π4=1+cos2α-π22=1+sin2α2,
将sin 2α=13代入,得原式=1+132=23,故选C.
5.D 当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x=525sinx-15cosx=5sin(x+α)取得最大值其中cosα=25,sinα=-15,
∴θ+α=2kπ+π2,k∈Z,即 θ=2kπ+π2-α,k∈Z,
∴cos θ=cos2kπ+π2-α=cosπ2-α=sin α=-55.故选D.
6.答案 -4
解析 因为tanα-π4=tanα-11+tanα=14,
所以tanα+π4=tanα+11-tanα=1-tanα-π4=-4.
7.答案 1
解析 原式=sinπ4+α·cos2α2sin2π4+αcosπ4+α
=cos2α2sinπ4+αcosπ4+α
=cos2αsinπ2+2α=cos2αcos2α=1.
8.答案 13
解析 因为cos(α+β)=16,
所以cos αcos β-sin αsin β=16.①
因为cos(α-β)=13,
所以cos αcos β+sin αsin β=13.②
①+②得cos αcos β=14.
②-①得sin αsin β=112.
所以tan αtan β=sinαsinβcosαcosβ=13.
9.解析 由cos β=55,β∈0,π2,
得sin β=255,则tan β=2.
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13+21+23=1.
∵α∈π2,π,β∈0,π2,
∴π2<α+β<3π2,
∴α+β=5π4.
10.解析 (1)因为fπ3=Acosπ12+π6=Acosπ4=22A=2,所以A=2.
(2)由f4α+4π3=2cosα+π3+π6
=2cosα+π2=-2sin α=-3017,
得sin α=1517,又α∈0,π2,
所以cos α=817.
由f4β-2π3=2cosβ-π6+π6=2cos β=85,
得cos β=45,又β∈0,π2,
所以sin β=35,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=817×45-1517×35=-1385.
B组 提升题组
11.答案 π3
解析 因为(1+3tan α)(1+3tan β)=4,
所以1+3(tan α+tan β)+3tan αtan β=4,
即3(tan α+tan β)=3-3tan αtan β=3(1-tan αtan β),
即tan α+tan β=3(1-tan αtan β).
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=3.
又∵α,β为锐角,∴0<α+β<π,∴α+β=π3.
12.答案 -43
解析 原式=3·sin12°cos12°-32(2cos212°-1)sin12°
=2312sin12°-32cos12°cos12°2cos24°sin12°
=23sin(-48°)2cos24°sin12°cos12°
=-23sin48°sin24°cos24°=-23sin48°12sin48°=-43.
13.解析 (1)∵角α的终边经过点P(-3,3),
∴sin α=12,cos α=-32,tan α=-33,
∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-32+33=-36.
(2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,
∴g(x)=3cosπ2-2x-2cos2x=3sin 2x-1-cos 2x
=2sin2x-π6-1,
∵0≤x≤2π3,∴-π6≤2x-π6≤7π6.
∴-12≤sin2x-π6≤1,
∴-2≤2sin2x-π6-1≤1,
故函数g(x)=3fπ2-2x-2f2(x)在区间0,2π3上的值域是[-2,1].
14.解析 (1)易知f(x)=2+m2sin(ωx+φ)(φ为辅助角),
∴f(x)min=-2+m2=-2,又m>0,∴m=2.
由题意知函数f(x)的最小正周期为π,∴2πω=π,∴ω=2.
(2)由(1)得f(x)=2sin 2x+2cos 2x=2sin2x+π4,
∴fθ2=2sinθ+π4=65,
∴sinθ+π4=35,
∵θ∈π4,3π4,∴θ+π4∈π2,π,
∴cosθ+π4=-1-sin2θ+π4=-45,
∴sin θ=sinθ+π4-π4=sinθ+π4cosπ4-cosθ+π4·sinπ4=7210,
∴fθ+π8=2sin2θ+π8+π4
=2sin2θ+π2=2cos 2θ
=2(1-2sin2θ)=2×1-2×72102=-4825.