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- 2021-07-01 发布
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理科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A． B． C. D．
2.若，则（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.已知，为单位向量，且在上的投影为，则（ ）
A．1 B． C． D． 3
4.某算法的程序框图如图所示，执行该程序后输出的是（ ）
A． B． C. D．
5.玲玲到丽江旅游，打电话给大学同学珊珊，忘记了电话号码的最后两位，只记得最后一位是6,8,9中的一个数字，则玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是（ ）
A． B． C. D．
6.如图2，网格纸上小方格的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A．216 B．180 C.144 D．72
7.在中，，，则的值为（ ）
A． B． C. D．
8.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，四点不共面，若球的体积为，则三棱锥的最大值为（ ）
A．36 B．48 C. 64 D．144
9.设函数的导函数为，对任意，都有成立，则（ ）
A． B．
C. D．与的大小不确定
10.设双曲线右支上任意一点到其左、右两焦点的距离分别为，当取得最小值且最小值为时，双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
11.给出下列三个命题，其中真命题的个数是（ ）
①函数的单调递增区间是；
②将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称；
③样本的平均数为，样本的平均数为，若样本，的平均数，若，则.
A．0 B．1 C.2 D．3
12.设函数若对任意给定的，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.由直线，曲线以及轴围成的图形的面积为 ．
14.已知数列满足，，则的最小值为 ．
15.在中，已知，，且，则的面积 ．
16.直线与抛物线相交于两点，点关于轴的对称点为，抛物线焦点为，，则直线的斜率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，证明：.
18. （本小题满分12分）
如图3，在直三棱柱中，，是棱的中点，
.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
19. （本小题满分12分）
某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这一批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：
年份（年）
1
2
3
4
5
维护费（万元）
1.1
1.5
1.8
2.2
2.4
（1）求关于的线性回归方程；
（2）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，乙认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.
（附：线性回归方程中，，，其中为样本平均值）
20. （本小题满分12分）
已知椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程、焦点坐标和离心率；
（2）设椭圆的两焦点分别为，过焦点的直线与交于两点，当直线平分时，求的面积.
21. （本小题满分12分）
设函数，.
（1）讨论在上的单调性；
（2）当时，求函数在上的零点个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，动抛物线（其中）顶点的轨迹为曲线，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.
（1）写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；
（2）求直线被曲线截得的弦长.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集为，，求的最小值.
云南师大附中2017届高考适应性月考卷（四）
理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
B
D
C
A
A
A
D
C
D
【解析】
1．因为，，所以，故选B．
2．，故选A．
3．由题意，故，于是，所以，故
选C．
4．第一次循环：，，；第二次循环：，，；…，第十次循环：，，，结束循环，故选B．
5．拨打电话的所有可能结果共有种，所以玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是，故选D．
6．该多面体是棱长为的正方体，截去左前上角和右后上角两个体积相等的三棱锥得到的几何体，则该多面体的体积为，故选C．
7．，，，
，两式相减得，从而，即，又，∴，故选A．
图1
8．设球的半径为，则，．如图1，当点位于垂直于平面的直径的端点时，三棱锥的体积最大，，故选A．
9．令，则所以是增函数，从而有，即，故选A．
10．由双曲线定义可知，当且仅当时，取得最小值，此时．由题意，即，解得．又因为，故，故选D．
11．，由，得，令，得函数的增区间为，故①正确；的图象向左平移个单位得到函数的图象，显然为奇函数，其图象关于原点对称，故②正确；由统计学知识，可得，，则，故，所以，即，故③不正确，故选C．
12．当时，，值域为，所以；当时，，值域为，所以；当时，，值域为，则，故当时，
值域为；当时，值域为．因为，所以在上是增函数，则在上的值域为，由题意知，，解得，故的取值范围是，故选D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
9
【解析】
13．两曲线交点坐标为，作出它们的图象易知，所求面积分为两部分，一部分为三角形，另一部分为曲边三角形，所以面积．
14．，则
，当且仅当时取等号，所以的最小值为9．
15．设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得，从而，由余弦定理可知，，即，得，所以．
16．由得，令，得．设，，则，，，，于是由，解得（舍去），或，∴，，直线的斜率．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由，得，
两式相减整理得，
又，∴，
又由，，得，故，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．
∴． …………………………（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，故，
∵，∴，
∴． ………………………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图2，不妨设．
∵是棱中点，
∴.
在中，，
∴．
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，又，
∴平面，从而，
以为原点，直线，，分别为，，轴，
建立如图3所示空间直角坐标系，
则，，，
，．
设为平面的一个法向量，
则
取，得．
依题意，是平面的一个法向量，
从而，
∴二面角的余弦值为． ………………………（12分）
解法二：由（Ⅰ）知，又，
∴是二面角的平面角.
又，，，
∴平面，从而，且，，
于是，
∴二面角的余弦值为． …………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
，
所以回归方程为． ………………………………（6分）
（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：
（万元），
若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：
（万元），
因为，所以甲更有道理． …………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）把点代入，可得，
所以椭圆的方程为焦点坐标分别为，，离心率为．
…………………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）直线过焦点，由知轴，
记直线，的斜率分别为，，
当直线平分时，.
设，，
由消去y整理得，，
故，，
所以，
即，
故，解得，
从而，即，
∴的面积． ………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
当时，由知，所以，在上单调递增；
当时，由，令，得，令，得，
所以，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由知，所以，在上单调递减． ………（5分）
（Ⅱ）当时，由知，，故，
令，得．
由，得或，
由，得或，
所以在，上单调递减，在，上单调递增．
当时，在处取得极小值，
且当时，；当时，．
当时，在处取得极小值，
且当时，；当时，．
综上所述，结合的图形可得，
………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）动抛物线的顶点坐标为，
则曲线的参数方程为.
由直线的极坐标方程是，
得，
则直线的直角坐标方程为． …………………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，曲线的普通方程为，
曲线是以为圆心，2为半径的圆，
则圆心到直线：的距离为，
∴直线被曲线截得的弦长为． ………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）当时，不等式，可化为，
∴或
解得或，
∴不等式的解集为． ………………………………………（5分）
（Ⅱ）即，
而的解集为，
∴
解得，
∴=3()，
从而()，
∴（当且仅当，且，即，时等号成立），
∴的最小值为． ………………………………（10分）
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