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- 2021-07-01 发布
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2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二上学期第二次阶段性考试数学(文)试题(解析版)
一、单选题
1.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D. a|c|>b|c|
【答案】C
【解析】A.取a=1,b=﹣2,则不成立;
B.取a=1,b=﹣2,则a2>b2不成立;
C.∵a>b,c2+1>0,∴,成立.
D.取c=0时,a|c|>b|c|不成立..
故选:C.
2.已知“, ”的否定是( )
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
【答案】C
【解析】特称命题的否定是全称命题,则“, ”的否定是, .
本题选择C选项.
3.不等式的解集为( )
A. [-1,+ B. [-1,0) C. ( -,-1] D. (-,-1] (0 ,+
【答案】B
【解析】利用排除法:
当时, ,不合题意,排除AD选项,
当时, ,不合题意,排除C选项,
本题选择B选项.
4.下列说法正确的是( )
A. ,yR,若x+y0,则x且y
B. aR,“”是“a>1”的必要不充分条件
C. 命题“aR,使得”的否定是“R,都有”
D. “若,则a1则 的取值范围是( )
A. (-1,- ] B. (-2, -] C. (-2, -] D. (-2, -)
【答案】B
【解析】由题意结合二次方程根的分布理论,满足题意时应有:
,绘制不等式表示的平面区域如图所示,其中,
目标函数的几何意义为可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率,
且,注意到可行域不包括边界区域,结合目标函数的几何意义可得:
的取值范围是.
本题选择B选项.
点睛:(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法.
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几何意义.
12.若关于x的不等式至少有一个负数解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵关于x的不等式3−|x−a|>x2至少有一个负数解,
∴关于x的不等式3−x2>|x−a|至少有一个负数解,
作函数y=3−x2与y=|x−a|的图象如下,
结合图象可知,
关于x的不等式3−x2>|x−a|至少有一个负数解可化为:
在y轴左侧,函数y=|x−a|的图象有在函数y=3−x2的图象的下方的部分,
当y=|x−a|过点(0,3),即a=3时,是临界值,
当y=|x−a|在y轴左侧与y=3−x2的图象相切,
即y′=−2x=1,即过点,即时,是临界值,
结合图象可知,实数a的取值范围是.
本题选择D选项.
二、填空题
13.命题:“若ab=0,则a=0或b=0”的逆否命题是 ______.
【答案】若a≠0且b≠0,则ab≠0
【解析】“若ab=0,则a=0或b=0”的逆否命题是:若a≠0且b≠0,则ab≠0
14.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是 ______.
【答案】
【解析】整理所给的方程即: ,
方程表示焦点在y轴上的椭圆,则: ,
求解关于实数的不等式可得: .
15.设命题p:“已知函数对,f(x)恒成立”,命题q:“关于x的不等式有实数解”,若-p且q为真命题,则实数m的取值范围为 ______.
【答案】(-3,-2] [2,3)
【解析】若命题真: ,解得;
若命题真: ,解得;
∵且为真,则假真,
∴,解得,或;
∴实数m的取值范围为.
16.若两个正实数x,y满足,且恒成立,则实数m的最大值是 ______.
【答案】8
【解析】由题意可得:
当且仅当时等号成立。
要使恒成立,则16⩾m2−6m,解得−2⩽m⩽8,
则实数m的最大值是8.
故答案为:8.
点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.对于公式,要弄清它们的作用、使用条件及内在联系,两个公式也体现了ab和a+b的转化关系.
三、解答题
17.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在坐标轴上,且经过点A (,-2),B(-2,1);
(2)与椭圆有相同焦点且经过点M(,1).
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:
(1)由题意利用待定系数法设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1,结合题意列出方程组可得椭圆方程为: ;
(2)由题意可得:椭圆的焦点为,设椭圆C的方程为: ,利用待定系数法可得椭圆的标准方程为.
试题解析:
(1)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n
),根据题意可得:
,
解得,
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)由椭圆,可以知道焦点在x轴上,
,,,则
椭圆C的两焦点分别为:和,
设椭圆C的方程为:,
把代入方程,得,
即,
或(舍),
椭圆C的方程为:.
点睛:求椭圆的标准方程有两种方法
①定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.
②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
18.已知命题p:实数x满足,其中;和命题q:实数x满足.
(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若-p是-q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【答案】(1)2;(2).
【解析】试题分析:
(1)由题意求解对数不等式和二次不等式可得: ,
;结合题意可得2
(2)由题意可得, ,且q是p的充分不必要条件,利用子集关系得到关于实数a的不等式组,解不等式组可得实数a的取值范围是 .
试题解析:
(1)当时,命题即: ,求解一元二次不等式可得: ,
命题即: ,求对数不等式可得;
∵p∧q为真.∴2
(2),
∵-p是-q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件,
∴(2,3]⊊ (a,3a)
∴ 即 .
19.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,求△ABC的面积的最大值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】试题分析:
(1)利用正弦定理边化角结合三角函数的性质可得,则 .
(2)利用(1)的结论和余弦定理、均值不等式可得 ,结合面积公式可知的最大值为.
试题解析:
(1)∵,
由正弦定理得:
∵,
∴,
∴
∴ .
(2)由余弦定理得:
∵,
∴ 即 (当且仅当时取等号)
∴
的最大值为.
20.已知函数f(x)= .
(1)当a>0时,解关于x的不等式f(x)<0;
(2)若当a>0时,f(x)<0在x [1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)或.
【解析】试题分析:
(1)分解因式,原不等式即,分类讨论可得:
①当时,解集为{x| };
②当时,解集为;
③当时,解集为{ x| }.
(2)结合题意分类讨论, , 三种情况可得实数a的取值范围是或
试题解析:
(1)f(x)<0即即
①当时, ,不等式的解集为{x| };
②当时, ,不等式的解集为;
③当时, ,不等式的解集为{ x| }.
(2)①当时,[1,2]⊆ 即;
②当时,f(x) 在[1,2]上恒成立,舍去;
③当时,[1,2]⊆ 即,
综上: 或
21.设公差大于0的等差数列{}的前n项和为.已知,且, ,
成等比数列.记数列的前n项和为.
(1)求;
(2)若对于任意的n,k恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1);(2) .
【解析】试题分析:
(1)由题意可得数列的通项公式为,裂项求和可得
(2)结合(1)的结论有,利用均值不等式的结论可得,则实数k的取值范围是.
试题解析:
(1)设公差为d,即即①
∵,,成等比数列, ∴即即3d=2②
由①②得,d=2
∴,n
∴
∴
(2)k即
∵,当且仅当n=3时取等号
∴,当且仅当n=3时取等号
∴.
点睛:
使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
22.某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为x万元时,销售量t万件满足t=5-(其中0xa,a为正常数),现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为5+万元/万件.
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
【答案】(1)y=25-(+x),( , a为正常数);(2)当a≥3时,促销费用投入3万元时,厂家的利润最大;当O