2018届二轮复习不等式选讲课件文（全国通用） 31页

知识点一 解绝对值不等式 1.| ax ＋ b | ≤ c ， | ax ＋ b | ≥ c ( c >0) 型不等式的解法 2.| x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( c >0) ， | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ( c >0) 型不等式的 解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 . (1) 零点分区间法的一般步骤 ① 令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ② 将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ③ 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④ 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 . (2) 利用绝对值的几何意义 由于 | x － a | ＋ | x － b | 与 | x － a | － | x － b | 分别表示数轴上与 x 对应的点到 a ， b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如 | x － a | ＋ | x － b |< c ( c >0) 或 | x － a | － | x － b |> c ( c >0) 的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观 . 3.| f ( x )|> g ( x ) ， | f ( x )|< g ( x )( g ( x )>0) 型不等式的解法 (1)| f ( x )|> g ( x ) ⇔ f ( x )> g ( x ) 或 f ( x )< － g ( x ). (2)| f ( x )|< g ( x ) ⇔ － g ( x )< f ( x )< g ( x ). ► 一个关键：解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号 ， 可以用零点分区间法或绝对值的几何意义求解 . (1) 不等式 |2 x － 1| － | x － 2| ＜ 0 的解集为 ________. 解析　法一 　原不等式即为 |2 x － 1| ＜ | x － 2| ，∴ 4 x 2 － 4 x ＋ 1 ＜ x 2 － 4 x ＋ 4 ，∴ 3 x 2 ＜ 3 ，∴ － 1 ＜ x ＜ 1. 答案 　 { x | － 1 ＜ x ＜ 1} 1. 证明不等式的常用结论 (1) 绝对值的三角不等式 定理 1 ：若 a ， b 为实数，则 | a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b | ，当且仅当 ab ≥ 0 ，等号成立 . 定理 2 ：设 a ， b ， c 为实数，则 | a － c | ≤ | a － b | ＋ | b － c | ，当且仅当 ( a － b )( b － c ) ≥ 0 时，等号成立 . 推论 1 ： || a | － | b || ≤ | a ＋ b |. 推论 2 ： || a | － | b || ≤ | a － b |. 知识点二 不等式的证明 2. 证明不等式的常用方法 (1) 比较法 一般步骤：作差 — 变形 — 判断 — 结论 . 为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负 . (2) 综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法 . 即 “ 由因导果 ” 的方法 . (3) 分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法 . 即 “ 执果索因 ” 的方法 . (4) 反证法和放缩法 ① 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件 ( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法 . ② 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法 . ► 一组重要关系： | a ＋ b | 与 | a | － | b | ， | a － b | 与 | a | － | b | ， | a | ＋ | b | 之间的关系 . (2) [ ① | a ＋ b | ≥ | a | － | b | ， 当且仅当 a > － b >0 时 ， 等号成立 . ② | a | － | b | ≤ | a － b | ≤ | a | ＋ | b | ， 当且仅当 | a | ≥ | b | 且 ab ≥ 0 时 ， 左边等号成立 ， 当且仅当 ab ≤ 0 时 ， 右边等号成立 .] 已知 | a ＋ b | ＜ － c ( a 、 b 、 c ∈ R ) ，给出下列不等式： ① a ＜－ b － c ； ② a ＞－ b ＋ c ； ③ a ＜ b － c ； ④ | a | ＜ | b | － c ； ⑤ | a | ＜－ | b | － c . 其中一定成立的不等式是 ________( 把所有成立的不等式的序号都填上 ). 解析　 ∵ | a ＋ b | ＜－ c ，∴ c ＜ a ＋ b ＜－ c . ∴ － b ＋ c ＜ a ＜－ b － c . 故 ①② 成立 ，③ 不成立 . ∵ | a ＋ b | ＜－ c ， | a ＋ b | ≥ | a | － | b | ， ∴ | a | － | b | ＜－ c . ∴ | a | ＜ | b | － c . 故 ④ 成立 ，⑤ 不成立 . 答案 　 ①②④ ► 一个方法：利用柯西不等式求最值 . (3) [ 注意检验等号成立的条件 ， 特别是多次使用均值不等式时 ， 必须使等号同时成立 ] 若 a ， b ， c ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ，则＋＋的最大值为 ________. 含绝对值不等式的性质与解法突破方略 (1) 基本性质法：对 a ∈ R ＋ ， | x |< a ⇔ － a < x < a ， | x |> a ⇔ x < － a 或 x > a . (2) 平方法：两边平方去掉绝对值符号 . (3) 零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 ( 组 ) 求解 . (4) 几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解 . (5) 数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解 . 【例 1 】 不等式 |2 x ＋ 1| － 2| x － 1|>0 的解集为 ________. [ 解题指导 ] [ 点评 ] 　 解决本题的关键是去绝对值号 ， 转化为一元一次不等式求解 . 证明不等式的常用方法： (1) 比较法； (2) 综合法； (3) 分析法； (4) 反证法和放缩法； (5) 数学归纳法 . 不等式的证明与应用求解策略 [ 点评 ] 　 如果已知条件与待证结论直接联系不明显 ， 可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以 “ 至少 ”“ 至多 ” 等方式给出的 ， 则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关 ， 则考虑用数学归纳法等 . 在必要的情况下 ， 可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明 . 与绝对值不等式相关的最值问题求解策略 【例 3 】 (2016· 贵州 4 月模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x ＋ 1| ＋ |2 x － 3|. (1) 求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集； (2) 若关于 x 的不等式 f ( x ) ＜ | a － 1| 的解集非空，求实数 a 的取值范围 . [ 点评 ] 　 研究含有绝对值的函数问题时 ， 根据绝对值的定义 ， 分类讨论去掉绝对值符号 ， 转化为分段函数 ， 然后利用数形结合解决 ， 是常用的思想方法 . 解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀 “ 找零点 ， 分区间 ， 逐个解 ， 并起来 ” . 【示例】 (2015· 陕西西安二模 ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x － 2| ， g ( x ) ＝－ | x ＋ 3| ＋ m . (1) 解关于 x 的不等式 f ( x ) ＋ a － 1 ＞ 0( a ∈ R) ； (2) 若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x ) 的图象的上方，求 m 的取值范围 . [ 方法 总结 ] 　 | x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( c ＞ 0) 和 | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ( c ＞ 0) 型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解 ， 体现了数形结合的思想； 法二：利用 “ 零点分段法 ” 求解 ， 体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数 ， 利用函数的图象求解 ， 体现了函数与方程的思想 .