四川省绵阳市南山中学双语学校2019-2020学年高二6月月考数学（文）试卷 7页

数学试卷（文科）‎ ‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．若集合A＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{x|0＜x＜4}，则图中阴影部分表示（）‎ A．{1.2，3，4} B．{1，2，3} C．{4，5} D．{1，4}‎ ‎2．已知集合，则（）‎ A．∁RQ＝{x|x＞1} B．P∩Q＝∅ C．P∪Q＝R D．P∩Q＝{x|x≥1}‎ ‎3．已知集合，Q＝{y|y＝x2}，则P∩Q＝（）‎ A． B． C．{1} D．{﹣1，1}‎ ‎4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）单调递增，则（）‎ A．f（log94）＞f（1）＞f（log34） B．f（log94）＜f（1）＜f（log34） ‎ C．f（1）＞f（log94）＞f（log34） D．f（1）＜f（log94）＜f（log34）‎ ‎5．复数的共轭复数是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列求导数运算正确的是（）‎ A．（cosx）′＝sinx B．（3x）′＝3xln3 ‎ C．（xlnx）′＝lnx﹣1 D．‎ ‎7. 下列说法正确的是（）‎ A．“若a＞2，则‎2a＞‎4”‎的否命题为“若a＞2，则‎2a≤‎4”‎ ‎ B．命题p∨q与￢（p∨q）至少有一个为真命题 ‎ C．“∀x＞0，x2﹣2x+2≥‎0”‎的否定为“∀x＞0，x2﹣2x+2＜‎0”‎ ‎ D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题 ‎8．下列命题中的真命题是（）‎ A．∀x∈N，x2≥1 ‎ B．命题“∃a，b∈R，”的否定 ‎ C．“直线l1与直线l2垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于﹣‎1”‎ ‎ D．“m＞﹣‎1”‎是“方程表示双曲线”的充分不必要条件 ‎9．函数y＝的图象大致是（）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．已知函数f（x）＝，若f（x）的最小值为f（1），则实数a的值不 ‎ ‎ 可能是（）‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎11．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（+x）＝f（﹣x），且当x∈（0，）时，f（x）＝log2（x+1）+m，若f（100）＝log23，则实数m的值为（）‎ A．2 B．‎1 ‎C．0 D．﹣1‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且﹣2＜f（x），若f（0）＝﹣1，则不等式e2x﹣f（x）＜2的解集为（）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，+∞）‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．命题p：∃x0∈（0，+∞），tanx0＞0的否定为 ．‎ ‎14．若曲线y＝mx2在点（1，m）处的切线与直线x﹣4y+5＝0垂直，则m＝ ．‎ ‎15．半径为2的球O内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为 ．‎ ‎16．设函数给出下列四个结论：‎ ‎①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；‎ ‎②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；‎ ‎③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；‎ ‎④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．‎ 其中，所有正确结论的序号是 ．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知函数f（x）＝x3﹣4x+4，‎ ‎（1）求f（x）的单调区间； ‎ ‎（2）求f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．‎ ‎18．若关于x的不等式x2﹣（‎2a+1）x+a2+a≤0的解集为A，不等式 的解集为B．‎ ‎（1）求集合A；‎ ‎（2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎19．若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝1．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）是否存在实数λ，使函数g（x）＝f（x）﹣（2λ﹣1）x+2，x∈[﹣1，2]的最小值为2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20．已知函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，‎ ‎（1）确定f（x）的解析式；‎ ‎（2）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．‎ ‎21．已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）+g（x）＝2x+1．‎ ‎（1）求f（x）和g（x）的表达式；‎ ‎（2）判断并证明g（x）的单调性；‎ ‎（3）若存在x∈[，1]使得不等式g（x）﹣af（2x）≥0成立，求实数a的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）＝x（lnx+a）+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为 ‎2x﹣y﹣1＝0．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥m（x﹣1）恒成立，求正整数m的最大值．‎ 参考答案 一． 选择题：‎ CBBBA BBDBD BA 二． 填空题：‎ ‎13．∀x∈（0，+∞），tanx≤0．‎ ‎ 14. m＝﹣2‎ ‎15．‎ ‎16. ③④．‎ 三．解答题 ‎17. 解：（1）因为，所以f'（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）‎ 由f'（x）＞0得x＜﹣2或x＞2‎ 故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞）； ‎ 由f'（x）＜0得﹣2＜x＜2，故函数f（x）的单调递减区间为（﹣2，2）‎ ‎（2）令f'（x）＝x2﹣4＝0得x＝±2‎ 由（1）可知，在[0，3]上f（x）有极小值 而f（0）＝4，f（3）＝1，‎ 因为所以f（x）在[0，3]上的最大值为4，最小值为． ‎ ‎18. 解：（1）若关于x的不等式x2﹣（‎2a+1）x+a2+a≤0，即（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，解得a≤x≤a+1， 即集合A为[a，a+1]，‎ ‎（2）不等式的解集B为[，2），∵B是A的必要不充分条件，‎ ‎∴，即≤a＜1．‎ ‎19. 解：（1）根据题意，设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），由f（0）＝1，‎ ‎∴c＝1，∴f（x）＝ax2+bx+1‎ ‎∵f（x+1）﹣f（x）＝2ax+a+b＝2x，必有，解可得；‎ ‎∴f（x）＝x2﹣x+1‎ ‎（2）由（1）可得g（x）＝x2﹣x+1﹣（2λ﹣1）x+2＝x2﹣2λx+3，x∈[﹣1，2]‎ ‎①当λ≤﹣1时，g（x）在[﹣1，2]上单增，g（x）min＝g（﹣1）＝4+2λ＝2⇒λ＝﹣1；‎ ‎②当﹣1＜λ＜2时，g（x）在[﹣1，λ]上单减，在[λ，2]上单增，，‎ 解得λ±1，又﹣1＜λ＜2，故λ＝1‎ ‎③当λ≥2时，g（x）在[﹣1，2]上单减，g（x）min＝g（2）＝4﹣4λ+3＝2，‎ 解得，不合题意．‎ 综上，存在实数λ＝±1符合题意．‎ ‎20. 解：（1）根据题意，函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，‎ 则有f（0）＝＝0，则b＝0；‎ 此时f（x）＝，为奇函数，符合题意，‎ 故f（x）＝，‎ ‎（2）先证单调性：设﹣1＜x1＜x2＜1，‎ f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，‎ 又由﹣1＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，1﹣x1x2＞0，‎ 则有f（x1）﹣f（x2）＜0，即函数f（x）在（﹣1，1）上为增函数；‎ f（t﹣1）+f（t）＜0⇒f（t﹣1）＜﹣f（t）⇒f（t﹣1）＜f（﹣t）⇒，‎ 解可得：0＜t＜，即不等式的解集为（0，）．‎ ‎21. 解：（1）f（x）+g（x）＝2x+1，①，‎ 将x换为﹣x，代入上式得f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x+1，‎ 因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），‎ 所以f（x）﹣g（x）＝2x+1，②，‎ 所以由①②可得f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2x﹣2﹣x；‎ ‎（2）g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，证明如下：‎ 任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x2＞x1，‎ g（x2）﹣g（x1）＝2x2﹣2﹣x2﹣（2x1﹣2﹣x1）＝2x2﹣2x1+＝（2x2﹣2x1）（1+），‎ 因为当x2＞x1时，2x2＞2x1＞0，所以g（x2）﹣g（x1）＞0，‎ 所以g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；‎ ‎（3）由题意可得（2x﹣2﹣x）﹣a（22x+2﹣2x）≥0，‎ 令t＝2x﹣2﹣x，由x∈[，1]可得t∈[，]，则22x+2﹣2x＝t2+2，‎ 原式等价于存在t∈[，]使得t﹣a（2+t2）≥0成立，‎ 分离参变量得a≤＝，只需a≤（）max即可．‎ 又因为＜＜，所以（t+）min＝2，‎ 所以（）max＝，‎ 所以a≤．‎ ‎22. 解：（1）由f（x）＝x（lnx+a）+b，得f'（x）＝lnx+a+1．‎ 曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y﹣1＝0，‎ 所以f'（1）＝a+1＝2，f（1）＝a+b＝1，解得a＝1，b＝0．‎ ‎（2）由（1）知f（x）＝x（lnx+1），则x∈（1，+∞）时，f（x）≥m（x﹣1）恒成立，等价于x∈（1，+∞）时，恒成立．‎ 令，x＞1，则．‎ 令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，所以x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增．‎ 因为h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，所以存在x0∈（3，4）使h（x0）＝0．‎ 且x∈（1，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，所以，‎ 因为x0﹣lnx0﹣2＝0，所以lnx0＝x0﹣2，所以，‎ 所以m≤x0∈（3，4），即正整数m的最大值为3．‎