高一数学同步辅导教材(第13讲) 6页

高一数学同步辅导教材（第 13 讲） 一、本讲教学进度 2.9—2.10（P90—95） 二、本讲教学内容 函数的应用 三、重点、难点选讲 1．学习函数的目的在于应用，“函数的应用举例”这一节是用我们已经学过的函数知识及其他 数学知识解决来自生产、生活和有关科学实验的某些实际问题.在解决这些实际问题时，特别要注意 掌握几种常用的数学思想. （1）建模思想.把实际问题与某个数学模型联系起来，即将实际问题数学化. （2）化归思想.把表达实际问题的文字语言翻译、转化为数学语言. （3）函数思想.把实际问题中的各种量用函数的观点，即变化联系的观点去分析研究这些量之间的关 系. 2．了解函数的应用问题需要做好以下几下步骤： （1）审题.要认真地逐字阅读全题，弄懂题中文字所表达的意思，特别是某些关键词语的确切含义， 那些对我们较为陌生的内容，更要反复推敲，理解. （2）转化.在准确理解题意的基础上，将问题中的各个量及它们之间的关系用教学语言表述出来，并 建立起它们之间的联系，即将实际问题转化成数学问题. （3）求解.用学过的有关教学知识求出数学问题的解. （4）检验.根据题中实际问题的相关条件检验求出的数学问题的解是否符合条件，作出判断并回答结 果. 例1 如图，一段东西走向的直线铁路 MN，北侧距离铁路 10km 处有 一工厂 A，现要把工厂的产品由铁路运往铁路东头的 B 地，计 划在铁路上修一车站 D，A 与 D 间修一条公路，货物由公路 从 A 运到 D，再用铁路运到 B 地.已知 MNAC ，BC=30km，每吨公 里的公路运费是铁路运费的 2 倍，问 D 点应选在何处，才能使运费最省？ 解 设 CD=x km，铁路运货价为每 km a 元，总运费为 y 元，则公路运价是每 km 2a 元. ),30(102 22 xaxay  )300).(301002( 2  xxxay 令 .1002,1002 22  xxtxxt 则 两边平方，得 .40042 222  xxtxt .040023 22  ttxx 即,0, Rx .300,0)400(124 222  ttt .310,0  tt 当 .3 310 6 2,310  txt 时 即当 3 310x 时，t 有最小值 310 ，y 有最小值 .)33(10 a 答：当 D 点在 C 点东边 km3 310 时，运费最省. 例2 建造一个容积为 38m ，深为 2m 的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价每 2m 分别为 120 元和 80 元，那么水池的总造价最低是多少元？ 分析 因水池容积是定值，高度也是定值，所以底面积是定值，而底面积一定时，只有底面周长最小 时，才能使总造价最低. 解 因水池容积是 38m ，水池深为 2m，故水池底面积为 24m .因此当水池底面长方形周长l 最 小时，水池总造价最低. 设池底矩形一边长为 x m，则另一边长 x 4 m， )4(2 xxl  ).0( x .082 2  lxx .64,0824, 22  llRx .8,0  ll 当 .24,8  lxl ,8min l 此时水池的总造价最低，为 )(176082804120 元 . 答：水池总造价最低为 1760 元. 例3 某工厂今年 1 月，2 月，3 月生产某种产品分别为 1 万件，1 .2 万件，1.3 万件，为了估测以 后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月 份 x 的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数 cbay x  （其中 cba ,, 为常数）.已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由. 解 设 ),0()( 2 1  prqxpxxfy .)(2 cbaxgy x  由题意，得       .3.139)3( ,2.124)2( ,1)1( rqpf rqpf rqpf 解得 .7.0,35.0,05.0  rqp ,7.035.005.0)( 2 1  xxxfy ).(3.17.0435.0405.0)4( 2 万件f 同理，有       .3.1)3( ,2.1)2( ,1)1( 3 2 cbag cbag cbag 解得 .4.1,5.0,8.0  cba .4.1)5.0(8.0)(2  xxgy ).(35.14.1)5.0(8.0)4( 4 万件g ),4(37.1)4(37.1 fg  用 4.1)5.0(8.0)(  xxg 作为模拟函数较好. 例4 某种消费品每件 60 元，不加收附加税时，每年大约销售 80 万件，若政府征收附加税，每 销售 100 元要征收附加税 R 元（也叫税率 R%），则每年的销售量将减少 R3 20 万件，要 使每年在此经营中所收税金额不少于 128 万元，问税率应取在什么范围内？ 解 设销售量为每年 x 万件，则每年销售收入为 60x 万元.设从中征收税金 y 万元，则 y=60x %R ,此时 .3 2080 Rx  %.)3 2080(60 RRy  由题意， .128%)3 2080(60  RR 化简得 .032122  RR .84  R 答 税率应在 4%至 8%之间，年收税金额才不低于 128 万元. 例5 某商店为了获取最大利润，做了一番试验，若将进货单价为 8 元的商品按 10 元一件的价格 出售，每天可销售 60 件，现在采用提高销售价格的办法增加利润，已知这种商品单价每提 价 1 元，其销售量就要减少 10 件.问这种商品售价定为多少时，才能使每天赚得的利润最大？ 并求出最大利润. 分析 本题应将问题化归为求函数的最值，在构造函数时除了注意量与量之间的关系外，还应注 意由具体问题得出函数的定义域. 解 设商品的售价定为每件 x 元时，赚得的利润为 y 元，则 )10].(10)10(60)[8(  xxxy )12824(10)]16)(8[(10 2  xxxxy ]16)12([10 2  x .160,12 max  yx 时当 答：当每件售件定为 12 元时，每天赚得的利润最大，为 160 元. 评析 用二次函数求函数的最值时，一定要注意二次函数的定义域，及抛物线的开口方向、对 称轴与定义区间的关系. 例6 我国是水资源比较贫乏的国家之一，某市采用价格调控等手段来达到节约用水的目的.其 收水费的方法是： 水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量 A 3m 时，只付基本费 8 元和每户每月的定额损耗费 C 元； 若用水量超过 A 时，除了付上述基本费和损耗费外，超过部分每 还要付 B 元的超额 费，已知每户每月的定额损耗费不超过 5 元. 该市一家庭今年第一季度 3 个月的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（ ） 水费（元） 1 9.5 9 2 15 19 3 25 39 根据上表中的数据，求 A，B，C. 分析 支付水的费用与用水量有关，由题意，知支付的水费是用水量的分段函数. 解 设每月用水量为 x ,支付的水费为 y 元，由题意得 8+C ( ,0 Ax  ) ① 8+B(x-A)+C ).( Ax  ② 由题设， .138,5  CC 从表中可见，2、3 月份的水费均大于 13（元），所以用水量 15 3m 和 25 均大于最低 额度 A . 将 x=15 和 x=25 分别代入②，得 19=8+B（15-A）+C， ③ 39=8+B（25-A）+C， ④ ④-③，并化简得 B=2. 将 B=2 代入③，得 2A=19+C. ⑤ 下面判断 1 月用水量是否超过最低额度. 假设 9.5>A,将 x=9.5 代入②，得 9=8+2(9.5-A)+C,即 2A=18+C. 与⑤矛盾，因此 .5.9 A 因此此时缴费方式应选①式，有 9=8+C, C=1. 将 C=1 代入⑤，得 A=10. .1,2,10  CBA 例7 某市 1998 年底人口为 100 万，人均住房面积为 9 2m ，计划到 2003 年底人均住房面积达到 y= 12 2m .如果该市将人口的平均增长率控制在每年 0.5%，那么要实现上述计划，这个城市每 年平均至少要新增住房面积多少 （结果以万 为单位，保留两位小数）？ 分析 由人口每年的平均增长率为0.5%，知 2003年底的总人口将达到 5%)5.01(100  万.而根据题意， 每年新增的住房面积相等，设为 x 万 ，则到 2003 年底应新增住房面积 5x 万 . 解 设每年平均新增住房面积为 x 万 ,则 x5910012%)5.01(100 5  ， 180005.1240 5 x . 用计算器可得 .06.66x 答 为了实现 2003 年底人均住房面积达到 12 ，每年至少要新增住房面积 66.06 万 . 练 习 一、选择题 1． 在国内投寄平信，每件不超过 20g，付邮资 80 分，超过 20g 而不足 40g，付邮资 160 分，依 次类推，每封重 g（ 600  x ）的平信应付邮资为（单位：分）        ].60,40(,240 ],40,20(,160 ],20,0(,80 x x x y 某人投寄一封重 45g 的平信，应付邮资（ ） A．80 分 B．160 分 C．240 分 D．320 分 2．已知矩形的周长为 40cm，长 y(Cm)是宽 x(Cm)的函数，则该函数的定义域为（ ） A．（ 0，20） B．（ 0，40） C．（ 0，20] D．（ 0，40] 3．如图，直角梯形 OABC 中， AB //OC，AB=1， OC=BC=2，直线 x=t 截此梯形所得位于直线 x=t 左方的图形面积为 S,则函数 S=f(t)的图象大致 为（ ） 4．按复利计算储蓄利率，存入银行 a 万元，年利率为 %b ， x 年后支取，则本利和应为（ ） A． 1%)1(  xba 万元 B． xba %)1(  万元 C． 1%)1(  xba 万元 D． ]%)(1[ xba  万元 5．已知镭经过100年剩留原来质量的 %76.95 ，设质量 g1 的镭经过 x 年后剩留量为 yg ，则 y 与 x 之间的函数关系是（ ） A． 1009576.0 x y  B． xy 1009576.0 C． x y      100 9567.0 D． 100)0424.0(1 x y  6．某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走完余下的路程. 如果纵轴表示 离单位的距离，横轴表示时间，则下列四个图形中比较符合此人所走情况的是（ ） 二、填空题 7．一种产品的原成本为 a 元，在今后 m 年内计划使成本每年比上一年下降 %p .成本 y （元）随 经过的年数 x 变化的函数关系式为______________________________. 8．一商品零售价 2000 年比 1999 年上涨了 %25 ，欲控制 2001 年比 1999 年只上涨 %10 ，则 2001 年应比 2000 年降价____________% . 9．某种汽车在同一时间段里速度 )/( hkmv 与耗油量 )/( hkgQ 之间有近似的函数关系式 07.4175.00025.0 2  vvQ ，则车速为 v __________________ hkm/ 时，汽车的耗油量最 少. 10．已知气压 P （百帕）与海拔高度 )(mh 满足关系式 3000 100 71000 h P      ，则海拔 m6000 高处的 气压为____________百帕. 三、解答题 11．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 naaa ,,, 21  共 n 个 数据，我们观察所测物理量的“最佳近似值” 是这样一个量：与其他近似值相比， 与各数据的差的 平方和最小，按此规定，由 naaa ,, 21  得出的 是多少？并说明理由. 12．某种商品的销售量 x 与它的销售价 p （元）之间的关系是 xp 3275 ，与总成本 q （元）之间的 关系式是 xq 5500 ，若每月要获得 5500 元利润，要销售多少件这种商品？ 13．有甲、乙两种产品，生产这两种产品所获利润分别为 p 和 q （万元），它们与投入的资金 x （万元） 的关系分别为 xp 4 1 ， xq 4 3 ，今投入 3 万元的资金生产甲、乙两种产品，为了获取最大利润，对 甲、乙两种产品的投入分别应为多少万元？此时最大利润是多少？ 14．批发部经营某类商品，它的批发价（销售价）每只 500 元，毛利率为 %4 ，该库存商品的资金有 80% 是从银行贷款而得，月利率为 %2.4 ，商品的保管费用每月每只 30.0 元，如要求不发生亏本，商品的平 均储存期应为多少个月（毛利额=销售价毛利率）？ 答案与提示 [答案] 一、1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．D 二、7． )1,(%)1( mxNxpay x  8．12 9．35 10．4.9 三、11． n aaaa n 21 0 0 0 0 0 0 0 0 12．要销售 40 件到 50 件这种产品 13．甲、乙两种产品应分别投入 0.75 万元和 2.25 万元，最大利润为 1.31 万元 14．平均储存期为 10.5 个月 [提示] 二、8．设 2001 年比 2000 年降价 %x ，则 %101%)1%)(251(  x ，得 %1225 3 5 4 10 111% x 三、11．设近似值为 x ，则 22 2 2 1 )()()( naxaxaxS  22 2 2 121 2 )(2 nn aaaxaaanx  n aaaaaan aaaxn n n n 2 2122 2 2 1 2 21 )(       . 当 n aaax n 21 时 S 取最小值，即最佳近似值 n aaaa n 21 12．由题意， ,5500)5500()3275(  xxx 化简得 02000902  xx ∴ 5040  x 13．设对甲产品投入 x 万元，对乙产品投入 )3( x 万元，获利总利润为 y 万元，则 xxqpy  34 3 4 )30(  x . 令 xt  3 ，则 23 tx  )30(  t . 16 21)2 3(4 1 4 3)3(4 1 22  ttty . 当 2 3t ，即 4 3x 时 16 21 max y 14．毛利额 20%4500  ，进价 48020500  ，设储存 x 个月后出售，，则 2.4%8048020  ‰ xx 3.0 ， xx 10 3 1000 2.484820  ， x9128.120  ， 5.109128.1 20 x