2021高考数学一轮复习课后限时集训66二项式定理理北师大版 4页

课后限时集训66‎ 二项式定理 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知C＋‎2C＋‎22C＋‎23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)‎ A．63　　 B．‎64　‎ 　　‎ C．31　 D．32‎ A　[逆用二项式定理得C＋‎2C＋‎22C＋‎23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.]‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)‎ A．12 B．16‎ C．20 D．24‎ A　[展开式中含x3的项可以由“1与x‎3”‎和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋‎2C＝4＋8＝12.]‎ ‎3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A．212 B．211‎ C．210 D．29‎ D　[因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选D.]‎ ‎4．在(x－2)6展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则＝‎ ‎(　　)‎ A. B．－ ‎ C. D．－ B　[由条件知a＝C＝20，b＝C(－2)1＝－12，‎ ‎∴＝－，故选B.]‎ ‎5．已知5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)‎ A．－80 B．－40‎ C．40 D．80‎ 4‎ D　[令x＝1，得展开式的各项系数和为5＝1＋a，∴1＋a＝2，∴a＝1，‎ ‎∴5＝5＝5＋5，‎ 所求展开式中常数项为5的展开式的常数项与x项的系数和，‎ 5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·(－1)r()r＝(－1)r25－rCx5－2r，‎ 令5－2r＝1得r＝2；令5－2r＝0，无整数解，‎ ‎∴展开式中常数项为‎8C＝80，故选D.]‎ ‎6．(2019·武汉模拟)在6的展开式中，含x5项的系数为(　　)‎ A．6 B．－6‎ C．24 D．－24‎ B　[由6＝C6－C5＋C4＋…－C＋C，可知只有－C5的展开式中含有x5，所以6的展开式中含x5项的系数为－CC＝－6，故选B.]‎ ‎7．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝(　　)‎ A．284 B．356‎ C．364 D．378‎ C　[令x＝0，则a0＝1；‎ 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，　①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，　②‎ ‎①②两式左右分别相加，‎ 得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，‎ 所以a0＋a2＋…＋a12＝365，‎ 又a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364.]‎ 二、填空题 ‎8．(2017·山东高考)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.‎ ‎4　[(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r，令r＝2，得T3＝‎9Cx2，由题意得‎9C＝54，解得n＝4.]‎ ‎9．(1＋x＋x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为________(用数字作答)．‎ ‎25　[当第一个因式中的项为1时，x4的系数为C，当第一个因式中的项为x时，x4‎ 4‎ 的系数为C，当第一个因式中的项为x2时，x4的系数为C，则展开式中x4的系数为C＋C＋C＝25.]‎ ‎10．(2019·江苏高考改编)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N＋.已知a＝‎2a2a4，则n的值为________．‎ ‎5　[因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，‎ 所以a2 ＝C ＝ ，a3 ＝ C ＝，‎ a4＝C＝.‎ 因为a＝‎2a2a4，所以2＝2××，解得n＝5.]‎ ‎1．(2019·威海模拟)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是(　　)‎ A．10 B．15‎ C．20 D．25‎ C　[含x2项的系数为C＋C＋C＋C＝20.]‎ ‎2．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ B　[由二项式定理知an＝C(n＝1,2,3，…，n)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，∴a6＝C，则k的最大值为6.]‎ ‎3．已知(1－2x)2 019＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a2 018(x－2)2 018＋a2 019(x－2)2 019(x∈R)，则a1－‎2a2＋‎3a3－…－2 ‎018a2 018＋2 ‎019a2 019＝(　　)‎ A．－2 019 B．2 019‎ C．－4 038 D．0‎ C　[因为(1－2x)2 019＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a2 018(x－2)2 018＋a2 019(x－2)2 019(x∈R)，两边分别对x求导可得－2 019×2×(2x－1)2 018＝a1＋‎2a2(x－2)＋…＋2 ‎018a2 018(x－2)2 017＋2 ‎019a2 019(x－2)2 018(x∈R)，令x＝1得－4 038＝a1－‎2a2＋…－2 ‎018a2 018＋2 ‎019a2 019，故选C.]‎ ‎4．(2019·长沙模拟)若x10－x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a5＝________. ‎ 4‎ ‎251　[x10－x5＝[(x－1)＋1]10－[(x－1)＋1]5，则a5＝C－C＝252－1＝251.]‎ ‎1．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220, a≡b(mod 10)，则b的值可以是(　　)‎ A．2 011 B．2 012‎ C．2 013 D．2 014‎ A　[因为a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C1010－C109＋…－C10＋1，所以a被10除所得的余数为1.观察各选项，知2011被10除得的余数是1，故选A.]‎ ‎2．在(x＋y)n的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于________．‎ ‎11,12,13　[根据题意，分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n＝12；②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n＝13.所以n的值可能等于11,12,13.]‎ 4‎