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- 2021-07-01 发布
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第71练 椭圆的几何性质
[基础保分练]
1.(2019·绍兴模拟)倾斜角为的直线经过椭圆+=1 (a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A,B两点,且=2,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
2.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
3.(2018·全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
A.1-B.2-C.D.-1
4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
5.已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0),若圆C1,C2都在椭圆内,且圆C1,C2的圆心分别是椭圆C的左、右焦点,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
6.设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,离心率为,M是椭圆上一点且MF2与x轴垂直,则直线MF1的斜率为( )
A.±B.±C.±D.±
7.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),短轴的两个端点分别为M,N,左、右顶点分别为A1,A2,若△F1MN为等腰直角三角形,点T在椭圆C上且直线TA2斜率的取值范围是,那么直线TA1斜率的取值范围是( )
A.[1,2] B.
C.[-4,-2] D.[-2,-1]
8.已知点A(-1,0),B(1,0),P(x0,y0)是直线y=x+2上任意一点,以A,B为焦点的椭圆过点P.记椭圆的离心率e关于x0的函数为e(x0),那么下列结论正确的是( )
A.e与x0一一对应
B.函数e(x0)无最小值,有最大值
C.函数e(x0)是增函数
D.函数e(x0)有最小值,无最大值
9.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点F1关于直线y=-x的对称点P仍在椭圆上,则△PF1F2的周长为________.
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若∠BAO+∠BFO=90°,则椭圆的离心率是________.
[能力提升练]
1.若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAM·kBM等于( )
A.-B.-C.-D.-
2.(2019·金华一中模拟)已知椭圆E:+=1,O为坐标原点,A,B是椭圆上两点,OA,OB的斜率存在并分别记为kOA,kOB且kOA·kOB=-,则+的最小值为( )
A.B.C.D.
3.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于( )
A.B.C.D.
4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A.(0,-1) B.
C. D.(-1,1)
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C与y轴的交点,若以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是____________________.
6.如图所示,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,离心率为,点P为第一象限内椭圆上的一点,若=2∶1,则直线PF1的斜率为________.
答案精析
基础保分练
1.B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.2+2 10.
能力提升练
1.B
2.C [点A,B在椭圆+=1上,由椭圆的对称性不妨设A(2cosθ,2sinθ),B(2cosφ,2sinφ),
因为kOA·kOB=-,
所以不妨设0<θ<,<φ<π,
所以·=-,
所以tanθtanφ=-1,所以φ=+θ,
所以A(2cosθ,2sinθ),
B(-2sinθ,2cosθ),
所以|OA|2+|OB|2=(2cosθ)2+(2sinθ)2+(-2sinθ)2+(2cosθ)2=36,
所以36=|OA|2+|OB|2≥2|OA|·|OB|,
所以≥(当且仅当|OA|=|OB|=3时取等号).
+≥2
≥2=(当且仅当|OA|=|OB|=3时取等号).]
3.A [记椭圆的左焦点为F′,
圆2+y2=的圆心为E,连接PF′,QE.
∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,
=2,
∴==,∴PF′∥QE,
∴=,且PF′⊥PF.
又∵|QE|=,∴|PF′|=b.
由椭圆的定义知|PF′|+|PF|=2a,
∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,
∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,
∴b2+(2a-b)2=(2c)2,
2(a2-c2)+b2=2ab,
∴3b2=2ab,∴b=,c==a,∴=,
∴椭圆的离心率为.]
4.D [根据正弦定理得=,
所以由=,
可得=,
即==e,
所以|PF1|=e|PF2|,
又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|
=|PF2|(e+1)=2a,
即|PF2|=,
因为a-c<|PF2|0),
则直线PF1的方程为y=k(x+c).
因为∶=2∶1,
即=2,
即·|PF1|·
=2×·|PF1|·,
所以|kc-b|=4|kc|,解得b=-3kc(舍去)或b=5kc.
又因为a2=b2+c2,即a2=25k2c2+c2,
所以4c2=25k2c2+c2,解得k2=,
又k>0,所以k=.