数学理卷·2017届四川省仁寿一中高三下学期第三次模拟考试（2017 11页

高中2017届毕业班第三次诊断性考试 数 学（理工类）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．答第Ⅰ卷时，选出每个题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集，，，则集合 A． B． C． D． ‎ ‎2．已知是虚数单位，复数的虚部为 ‎ A. B. C. D. ‎ 3． 已知两条直线和两个不同平面，满足，,,,则 A． B． C. D．‎ ‎4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠 穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大 鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图 描述，如图所示，则输出的结果是 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎5．函数的大致图象是 ‎ ‎6．等比数列的前项和为，若，，则等于 A．33 B． -31 C．5 D．-3 ‎ ‎7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．已知函数，为图象的对称中心，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12．定义在R上的函数的导函数为，. 若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若不等式组满足，则的最大值为 .‎ ‎14．在的展开式中，x的系数为 ．(用数字作答)‎ ‎15．的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量 在方向上的投影为 .‎ ‎16．为数列的前项和，已知．则的通项公式______.‎ 三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑。‎ ‎17．（本小题满分为12分）中，角所对的边为，且满足 ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分为12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某校随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：‎ ‎（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；‎ ‎（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，，是棱上的一个动点，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）若，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求面积的最大值.‎ ‎21.（本小题满分12分）设(为自然对数的底数)，．‎ ‎（Ⅰ）记，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）令，若函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ 考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，曲线C的极坐标方程为 ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，已知定点P（），当时，‎ 求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（I）证明： ； ‎ ‎（II）若，求的取值范围.‎ 高中2017届毕业班第三次诊断性考试 数学（理工类）参考答案 一、 选择题：共12小题，每小题5分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1—5 C A B B C 6—10 A C B D A 11—12 B D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎ 13. 6 14. 24 15. 16. ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分为12分）解：（I）由已知 ‎ 得，化简得 ‎ 故..............................................................................................6分 ‎（II）因为，所以，由正弦定理，‎ ‎ 得a=2sinA,c=2sinC，‎ ‎ ，因为，所以，‎ ‎ 所以.............................................................................12分 ‎（18）（本小题满分为12分）解（ⅰ）众数：4.6和4.7；中位数：4.75 ……3分 ‎ （ⅱ）设表示所取3人中有个人是“好视力”，则至多有1人是“好视力”的概率为：‎ ‎ …………………………6分 ‎ （ⅲ）的可能取值为0，1，2，3 ， ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 …………………10分 ‎ ………………………………………………………………12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：过作交于,连接,连接交于,连接.‎ ‎∵,面,面，∴面， ………………2分 底面是菱形，是的中点，为的中点，为的中点，‎ ‎，，为的中点，‎ 面,面，∴面，……………………………4分 又，面，∴面面， ‎ 又面，∴面, ……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）底面是边长为的菱形， ‎ 以为原点，所在的直线为轴，建立坐标系如图所示，‎ 底面是边长为的菱形，，‎ ‎，‎ 又，面，‎ ‎，，，‎ ‎，， ……………………………7分 设平面的法向量为 ‎，‎ 由令，则，取 ………………9分 设平面的法向量为，‎ 由 令，则，取 ………………………………11分 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，‎ 则 ...........................12分 ‎20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：且，可得：，‎ 椭圆的标准方程为 ......................................................4分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，设，与联立得.‎ 由于，得，解得或（舍去）.‎ 此时，的面积为...................................................6分 当直线的斜率存在时，由题知，设，与联立得：. 由，得；且，. ..........................7分 由于，得：.‎ 代入式得：，即或（此时直线过点，舍去）.‎ ‎，‎ 点到直线的距离为：....10分 ，将代入得：，令 ，‎ ‎，由 在上递减，，故 综上....................12分 ‎（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ 所以当时，，减； 当时，，增．.........4分 ‎（Ⅱ），‎ ‎．‎ ‎ ①当时，，有唯一零点；..........................................6分 ‎ ‎ ②当时，，所以当时，，递减；‎ ‎ 当时，，递增．所以 ‎ 因，所以当时，有唯一零点 ‎ 当时，，则，所以，‎ 所以，‎ ‎ 因为，所以，，，且，当，时，使，取，则，从而可知当时，有唯一零点，即当时，函数有两个零点．........8分 ‎ ③当时，，由，得，或．‎ ‎. 若，即时，，所以是单调减函数，至多有一个零点； ‎ ‎. 若，即时，，注意到，都是增函数，‎ 所以， 当时，，是单调减函数；‎ ‎ 当时，，是单调增函数；‎ ‎ 当时，，是单调减函数．‎ 又因为，所以至多有一个零点； ‎ ‎. 若，即时，同理可得当时，，是单调减函数；‎ ‎ 当时，，是单调增函数；‎ ‎ 当时，，是单调减函数．‎ ‎ 又因为，所以至多有一个零点．‎ 综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是．………………12分 请考生在22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎ （22） ‎（本小题满分10分）解：(1)由，‎ ‎ 所以曲线C的直角坐标方程为 ......................................5分 ‎(2)因为，直线的参数方程为，代入，得，‎ ‎ 设两点对应的参数分别为，则，‎ ‎ 所以＝＝ ..............................10分 ‎（23）（本小题满分10分）（I）【证明】‎ ‎ 因为，所以 ‎ 当且仅当时，等号成立 ............................................5分 ‎（II）【解】由及得， （*）‎ ‎ ①当时，不等式（*）可化为 ‎ 解得，，或 所以，‎ ‎ ②当时，不等式（*）可化为 ‎ 解得，，或所以，‎ ‎ 综上，的取值范围是(0，1) U (4，＋∞) ......................................10分