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  • 2021-07-01 发布

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练:第六章 第3节 平面向量的数量积及其应用

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www.ks5u.com 多维层次练34‎ ‎[A级 基础巩固]‎ ‎1.(2020·开封一模)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=2”是“a⊥b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当m=2时,a=(1,1),b=(2,-2),‎ 所以a·b=(1,1)·(2,-2)=2-2=0,‎ 所以充分性成立;‎ 当a⊥b时,‎ a·b=(m-1,1)·(m,-2)=m(m-1)-2=0,‎ 解得m=2或m=-1,必要性不成立,‎ 所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.‎ 答案:A ‎2.设向量a,b满足|a+b|=4,a·b=1,则|a-b|=(  )‎ A.2 B.2 ‎ C.3 D.2 解析:由|a+b|=4,a·b=1,得a2+b2=16-2=14,‎ 所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=14-2×1=12,‎ 所以|a-b|=2.‎ 答案:B ‎3.(2020·唐山质检)若向量a=,向量b=(1,sin 22.5°),则a·b=(  )‎ A.2 B.-2 ‎ C. D.- 解析:由题意知a·b=tan 67.5°+ ‎=- ‎= ‎= ‎= ‎=2.‎ 答案:A ‎4.(2020·石家庄二模)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为(  )‎ A. B. ‎ C. D. 解析:设|b|=1,则|a+b|=|a-b|=2.‎ 由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,‎ 故以a、b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|=,‎ 设向量a+b与a的夹角为θ,‎ 则cos θ====,‎ 因为0≤θ≤π,所以θ=.‎ 答案:D ‎5.(2020·惠州模拟)已知两个非零向量a与b,若a+b=(-3,6),‎ a-b=(-3,2),则a2-b2的值为(  )‎ A.-3 B.-24 ‎ C.21 D.12‎ 解析:因为a+b=(-3,6),a-b=(-3,2),‎ 所以a=(-3,4),b=(0,2),‎ a2=|a|2=25,b2=|b|2=4,‎ 则a2-b2=21.‎ 答案:C ‎6.(2020·佛山调研)在Rt△ABC中,AB=AC,点M、N是线段AC的三等分点,点P在线段BC上运动且满足=k,当·取得最小值时,实数k的值为(  )‎ A. B. ‎ C. D. 解析:建立平面直角坐标系,如图所示,‎ 设AB=AC=3,P(x,3-x)(0≤x≤3),‎ 则M(1,0),N(2,0),‎ 则·=2x2-9x+11=2+,‎ 所以当x=时,·取到最小值,此时P,‎ 所以k==.‎ 答案:C ‎7.在△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(3,t),B(t,-1),C(-3,-1),若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形,则t=________.‎ 解析:由已知,得·=0,‎ 即(3-t,t+1)·(-3-t,0)=0,‎ 所以(3-t)(-3-t)=0,解得t=3或t=-3,‎ 当t=-3时,点B与点C重合,舍去.故t=3.‎ 答案:3‎ ‎8.(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.‎ 解析:法一 |a+2b|= ‎= ‎= ‎= ‎=2.‎ 法二(数形结合法)由|a|=|2b|=2,知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图所示,则|a+2b|=||.‎ 又∠AOB=60°, 所以|a+2b|=2.‎ 答案:2 ‎9.(2017·天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2‎ ,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为________.‎ 解析:由=2得=+,‎ 所以·=·(λ-)=λ·-2+λ2-·,‎ 又·=3×2×cos 60°=3,2=9,2=4,‎ 所以·=λ-3+λ-2=λ-5=-4,解得λ=.‎ 答案: ‎10.(2017·江苏卷)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解:(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,‎ 所以-cos x=3sin x.‎ 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,‎ 故cos x≠0.于是tan x=-.‎ 又x∈[0,π],所以x=.‎ ‎(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos .‎ 因为x∈[0,π],所以x+∈,‎ 从而-1≤cos≤,‎ 于是,当x+=,即x=0时,f(x)取得最大值3;‎ 当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值-2.‎ ‎[B级 能力提升]‎ ‎11.(2020·“超级全能生”全国联考)在△ABC 中,AB=4,BC=6,∠ABC=,D是AC的中点,E在BC上,且AE⊥BD,则·等于(  )‎ A.16 B.12 ‎ C.8 D.-4‎ 解析:以B为原点,BA,BC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3).设E(0,t),因为AE⊥BD,所以·=(2,3)·(-4,t)=-8+3t=0,‎ 所以t=,即E.‎ ·=·(0,6)=16.‎ 答案:A ‎12.(2020·长郡中学联考)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则向量a+b与a-b的夹角为________.‎ 解析:由|a+b|=|a-b|,知a⊥b,则a·b=0,‎ 将|a+b|=|a|两边平方,得a2+b2+2a·b=a2,‎ 所以b2=a2.‎ 设a+b与a-b的夹角为θ,‎ 所以cos θ====.‎ 又因为θ∈[0,π],所以θ=.‎ 答案: ‎13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.‎ ‎(1)求sin A的值;‎ ‎(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影.‎ 解:(1)由m·n=-,‎ 得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,‎ 所以cos A=-.因为0<A<π,‎ 所以sin A== =.‎ ‎(2)由正弦定理,得=,‎ 则sin B===,‎ 因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=.‎ 由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×,‎ 解得c=1或c=-7(舍去),‎ 故向量在方向上的投影为||cos B=ccos B =‎ ‎1×=.‎ ‎[C级 素养升华]‎ ‎14.(多选题)已知向量与的夹角为60°,且||=3,||=2,若=m+n,且⊥,则实数m,n的值可能为(  )‎ A.m=1,n=6 B.m=1,n=4‎ C.m=,n=3 D.m=,n=2‎ 解析:·=3×2×cos 60°=3,因为=m+n,⊥,所以(m+n)·=(m+n)·(-)=‎ ‎(m-n)·-m2+n2=0,所以3(m-n)-9m+4n=0,所以=,故选AC.‎ 答案:AC 素养培育数学运算——‎ 平面向量与三角形的“四心”(自主阅读)‎ ‎1. 平面向量与三角形的“重心”问题 ‎[典例1] 已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(  )‎ A.△ABC的内心    B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.AB边的中点 解析:取AB的中点D,则2=+,‎ 因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],‎ 所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]=+,而+=1,‎ 所以P,C,D三点共线,‎ 所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.‎ 答案:C ‎2.平面向量与三角形的“垂心”问题 ‎[典例2] 已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ, λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(  )‎ A.重心 B.垂心 ‎ C.外心 D.内心 解析:因为=+λ,‎ 所以=-=λ.‎ 所以·=·λ=‎ λ(-||+||)=0.‎ 所以⊥,则点P在边BC的高线上.‎ 故动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.‎ 答案:B ‎3.平面向量与三角形的“内心”问题 ‎[典例3] 在△ABC中,AB=5,AC=6,cos A=,O是△ABC的内心,若=x+y,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(  )‎ A. B. ‎ C.4 D.6 解析:根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以 OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为△BOC的面积的2倍.‎ 在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a=7.‎ 设△ABC的内切圆的半径为r,则 bcsin A=(a+b+c)r,解得r=,‎ 所以S△BOC=×a×r=×7×=.‎ 故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC=.‎ 答案:B ‎4.平面向量与三角形的“外心”问题 ‎[典例4] 已知在△ABC中,AB=1,BC=,AC=2,点O为△ABC的外心,若=x+y,则有序实数对(x,y)为(  )‎ A. B. C. D. 解析:取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则⊥,⊥,=-=-(x+y)=-y,‎ =-=-(x+y)=-x,‎ 由⊥,得2-y·=0,①‎ 由⊥,得2-x·=0.②‎ 又因为2=(-)2=2-2·+2,‎ 所以·==-,‎ 代入①、②得解得x=,y=.‎ 故实数对(x,y)为.‎ 答案:A

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