专题01 不等式的性质及其应用备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 15页

专题01 不等式的性质及其应用 专题点拨 ‎1．利用基本不等式的性质求解代数式或函数的最值、取值范围时，注意将已知条件转化为右边等于1的结构式,再把此等式的左边代数式作为整体去乘以目标代数式的各项或某几项,并遵循“一正、二定、三相等”的条件．(若是构造函数模型,则需要结合图像加以分析)‎ ‎2．在求参数取值范围的问题中，若能分离出参数，比如恒成立，则；若恒成立，则；若可以成立，则．‎ ‎3．某些非恒成立(如含有绝对值符号)不等式问题，需要运用分类讨论方法求解.‎ ‎4．在求参数取值范围的问题中，若不能分离出参数，则尝试通过构造函数(或分类讨论)加以解决．‎ 真题赏析 ‎1．(2018·上海)已知，则“ ＞1”是“＜1”的（　　）.‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎2．(2011·上海)若，且，则下列不等式中恒成立的是(　　).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】排除法.也可用综合法证明D正确.‎ 若时，可得选项A错误；若时，可得选项B错误；‎ 若时，可得选项C错误.‎ 因此，选项D正确.‎ 例题剖析 ‎【例1】已知，且，则的最小值是________．‎ 方法点拨：代数变形，使之能用基本不等式的性质加以解决.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】某项乘1方法.‎ ‎.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎【变式训练1】‎ 已知，直线经过点，则代数式的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设，可得.‎ 于是，.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎【例2】已知，且恒成立，求实数的取值范围．‎ 方法点拨：先进行变量分离，再用函数最值确定参数范围.‎ ‎【解析】 分离变量法.根据题设，可得.‎ 令.‎ 于是，恒成立.‎ 因此，.‎ ‎【变式训练2】‎ 已知，且恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】 分离变量法.因，故.‎ 由条件可得.‎ 由，当时，等号成立.‎ 于是，.‎ ‎【例3】已知函数对任意恒有成立，求代数式的最小值．‎ 方法点拨：代数变形，使之能用基本不等式的性质求解.‎ ‎【解析】 因对任意恒有成立，则 ‎，即.‎ ‎.‎ 令则.于是，‎ 因此，所求的最小值为.‎ ‎【变式训练3】‎ 已知函数对任意恒有成立，求代数式 的最小值．‎ ‎【例4】已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 方法点拨：先构造函数，再利用函数性质确定参数范围.‎ ‎【解析】构造函数法.‎ 由，得.‎ 设，且时，恒有成立.‎ 于是， 即解得.‎ ‎【变式训练4】‎ 已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】构造函数法.‎ 原不等式可化为.‎ 设，且时，恒有成立.‎ 于是， 即解得.‎ 巩固训练 A组 ‎(一)填空题 ‎1．已知，且，则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由，得.‎ 于是，.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 2． 若，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因，则.构造：.‎ 于是，.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 3． ‎（2018·七宝中学模拟）若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由题意，不等式在上恒成立 时，在区间恒成立， 即在区间恒成立，， 时，在区间恒成立， 即在区间恒成立，， 正实数a的取值范围为：‎ ‎； 故答案为：． ‎ ‎(二)选择题 ‎4.若，则函数的最小值是( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因，故，且不成立.‎ 令，则.由在上是单调增函数，可得.‎ 于是，，当时，等号成立.‎ ‎5.已知，且，求的最小值是( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因，则.‎ 令，则.解得.‎ 于是，.‎ ‎6．已知函数的图像过点，如图所示，求的最小值是( ).‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，可知，于是，.‎ 因此，.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎(三)解答题 ‎7.如图所示，点A是函数图像上一点，点B是函数图像上一点，点A、B在轴，轴上的投影分别是，已知，求的最小值.‎ ‎【解析】设点.，并结合图像，可得 ‎.‎ 于是，.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 所以，.‎ ‎8.已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ B组 ‎(一)填空题 ‎1. 已知函数的图像过点，则的最小值是___ __.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，得，即.于是，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 2． 已知直线的图像过点，且不经过第三象限，则的最小值为 .‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】根据题意，得进一步可得 于是， ‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎3.点在直线上，点，且，则 的最小值是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎(二)选择题 ‎4.已知，且直线与直线互相平行，则的最小值是( ).‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，得进一步可得 于是， ‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎5．已知直线的图像过点，且图像不过第三象限，则 的最小值是( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，得，则.于是，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎6.某种饮料分两次提价，提价方案有甲乙两种，方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是( ).‎ A．甲方案 B．乙方案 C．都可能 D．无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】设饮料提价前售价为元.根据题意，按甲方案提价后售价为；‎ 乙方案提价后售价为.‎ 因此，乙方案提价更多.‎ ‎(三)解答题 ‎7.已知向量的夹角为锐角，且满足、，若对任意的，都有成立，求的最小值.‎ ‎8．在中，角所对的边分别为，如果对任意的实数，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解析】 设边上的高为. 的几何意义是点与直线上的任意点的联线的距离，其最小值就是.对任意的实数恒成立，于是，‎ 有.进一步得，即.‎ 一方面，，当时，等式成立.‎ 另一方面，.‎ 当时，等式成立.‎ 所以，.‎ C组 ‎(一)填空题 1. 如图所示，在中，为上不同于的任意一点，点满足．若，则的最小值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 根据题意，知.于是，，且共线.‎ 因此，.‎ 所以，.‎ 当时，等号成立.‎ ‎2. （2018·杨浦区期中）若非零实数a、b满足，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：要求的最大值，可设a，， 由， 当且仅当时，上式取得等号， 即， 由， 当且仅当时，取得最大值， 故答案为：． ‎ ‎3．已知不等式恒成立，则正实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】一方面，恒成立,可知，.‎ 另一方面，，当时，等号成立.于是，，解得.‎ ‎(二)选择题 ‎4．如果正数满足，那么下列结论正确的是（ ）.‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，即.同理，得.‎ ‎ ，当且仅当时，等号成立，即等号成立的的取值唯一.‎ ‎5．（ ）.‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由，解得.‎ 于是，.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎6．已知，满足，则求的最小值.‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎(三)解答题 ‎7.解答下列问题：‎ ‎(1)已知，且，求证：；‎ ‎(2)解关于的不等式.‎ ‎【解析】(1)可用代数法证明，也可以用几何法证明.‎ ‎，且，则表示：直线上的点到点的距离的平方.因此，.‎ 所以，已知，且时，成立.‎ ‎(2)原不等式可化为.‎ 若，得不等式的解集为.‎ 若，有.‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎8. 若为非负实数，且满足，求代数式的最小值．‎ ‎【解析】，且为非负实数，‎ ‎.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎.‎