专题19 平面向量的基本定理及其坐标表示-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍 21页

‎【高频考点解读】‎ ‎1.了解平面向量基本定理及其意义 ‎2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 ‎3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 ‎4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 平面向量基本定理及其应用 例1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点。设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，。‎ ‎【提分秘籍】用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎(1)合理地选取基底是解题必须具备的意识和能力。用基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决。‎ ‎(2)要注意运用平面几何的一些性质、定理来解题。‎ 热点题型二 平面向量的坐标运算 例2、【2017课标3，文12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。‎ ‎【变式探究】已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b。‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标。‎ 解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)。‎ ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)＝(5，－5)，‎ ‎∴解得 ‎【提分秘籍】 向量坐标运算的方法技巧 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用。‎ ‎ 【举一反三】 ‎ 已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)‎ A．(－2，－1)　　　　　B．(－2，1)‎ C．(－1，0) D．(－1，2)‎ ‎【答案】D ‎【解析】a＝，b＝，‎ 故a－b＝(－1，2)。‎ 热点题型三 平面向量共线的坐标表示 ‎ 例3．【2017课标II，文12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)。回答下列问题：‎ ‎(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；‎ ‎(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎1．根据向量共线的坐标运算求参数的值 利用向量共线转化为含参数的方程，解方程可求参数。‎ ‎2．利用向量共线的坐标运算求三角函数值 利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为__________。‎ ‎【答案】(2，4)‎ ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标3，文12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 设 ‎ 根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是 ‎ ‎，若满足 即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。‎ ‎【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理 ‎2.【2017课标II，文12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【考点】 平面向量的坐标运算；函数的最值 ‎3.【2017课标1，文13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，‎ 所以. ‎ ‎【考点】平面向量的运算.‎ ‎1.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【2015高考福建，文9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）‎ A．13 B． 15 C．19 D．21‎ ‎【答案】A ‎【2015高考湖北，文11】已知向量，，则 .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】因为，，‎ 所以.‎ ‎ 1．（2014·重庆卷） 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(‎2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)‎ A．－ B．0‎ C．3 D. ‎【答案】C　‎ ‎【解析】∵‎2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(‎2a－3b)⊥c，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.‎ ‎2．（2014·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) ‎ B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) ‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.‎ ‎3．（2014·山东卷） 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．‎ 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．‎ 将其代入y＝g(x)得，sin＝1.‎ 因为0<φ<π，所以φ＝.‎ 因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎4．（2014·陕西卷） 设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】因为向量a∥b，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝.‎ ‎5．（2014·陕西卷） 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．‎ ‎(1)若＋＋＝0，求||；‎ ‎(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ 两式相减得，m－n＝y－x，‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1.已知向量a=(2，4)，b=(-1，1)，则‎2a-b=　(　　)‎ A.(5，7) B. (5，9) C.(3，7) D.(3，9)‎ ‎【解析】选A‎.2a-b=2(2，4)-(-1，1)=(5，7).‎ ‎2.在△ABC中，已知A(2，1)，B(0，2)，=(1，-2)，则向量=　(　　)‎ A.(0，0) B.(2，2)‎ C.(-1，-1) D.(-3，-3)‎ ‎【解析】选C.因为A(2，1)，B(0，2)，‎ 所以=(-2，1).‎ 又因为=(1，-2)，‎ 所以=+=(-2，1)+(1，-2)=(-1，-1).‎ ‎3.若向量a=(2，1)，b=(-2，3)，则以下向量中与向量‎2a+b共线的是　(　　)‎ A.(-5，2) B.(4，10) C.(10， 4) D.(1，2)‎ ‎【解析】选B.因为向量a=(2，1)，b=(-2，3)，所以‎2a+b=(2，5).‎ 又(4，10)=2(2，5)=2(‎2a+b)，所以B项与‎2a+b共线.‎ ‎4.已知a=(1，1)，b=(-1，2)，c=(5，-1)，则c可用a与b表示为　(　　)‎ A.a+b B‎.2a+3b C‎.3a-2b D‎.2a-3b ‎5.在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=(4，3)，=(1，5)，则=　(　　)‎ A.(-2，7) B.(-6，21)‎ C.(2，-7) D.(6，-21)‎ ‎【解析】选B.由条件知，=2-=2(1，5)-(4，3)=(-2，7)，‎ 因为=2=(-4，14)，所以=+=(-6，21).‎ ‎6.在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积，若向量p=(4，a2+b2-c2)，q=(1，S)满足p∥q，则∠C=(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.因为向量p=(4，a2+b2-c2)，q=(1，S)满足p∥q，‎ 所以a2+b2-c2-4S=0，即4S=a2+b2-c2，‎ 则4×absinC=a2+b2-c2，‎ 即sinC==cosC，‎ 则tanC=1，解得∠C=. ‎ ‎7.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若=x+(1-x)，则x的取值范围是　(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.设e1，e2是平面内一组基向量，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，若e1+e2=xa+yb，则x+2y=　(　　)‎ A. B.- C.1 D.0‎ ‎【解析】选D.因为e1+e2=xa+yb.‎ a=e1+2e2，b=-e1+e2，‎ 所以e1+e2=x(e1+2e2)+y(-e1+e2)‎ ‎=(x-y)e1+(2x+y)e2.‎ 由平面向量基本定理，得 所以 故x+2y=+2×=0.‎ ‎9.已知A(7，1)、B(1，4)，直线y=ax与线段AB交于C，且=2，则实数a等于　　　　.‎ ‎【答案】2‎ ‎10.如图所示，A，B，C是☉O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于☉O外的一点D，若=m+n，则m+n的取值范围是　　　　　.‎ ‎【答案】(-1，0)‎ ‎11.已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+nb与a-2b共线，则=　　　.‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】ma+nb=(2m，3m)+(-n，2n)=(‎2m-n，3m+2n)，a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1).‎ 由于ma+nb与a-2b共线，则有=.‎ 所以n‎-2m=‎12m+8n，所以=-.‎ ‎12.设O是坐标原点，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为　　　　　.‎ ‎【答案】11或-2‎ ‎【解析】由题意得=-=(k-4，7)，‎ ‎=-=(6，k-5)， ‎ 所以(k-4)(k-5)= 6×7，‎ k-4=7或k-4=-6，‎ 即k=11或k=-2.‎ ‎13.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且满足=+，则=　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，3=2+‎ 即-=2(-)，‎ 即=2.如图所示:‎ 故C为BA的靠A点的三等分点，因而=.‎ ‎14.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(2，1)，则其第四个顶点的坐标为　　　　　.‎ ‎【答案】(3，0)或(1，2)或(-1，0)‎ 解得即D(1，2);‎ ‎15.已知a=(1，0)，b=(2，1)，‎ ‎(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线.‎ ‎(2)若=‎2a+3b，=a+mb，且A，B，C三点共线，求m的值.‎ ‎【解析】(1)ka-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)，‎ a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2).‎ 因为ka-b与a+2b共线，‎ 所以2(k-2)-(-1)×5=0，‎ 即2k-4+5=0，得k=-.‎ ‎(2)因为A，B，C三点共线，所以∥.所以存在实数λ，使得‎2a+3b=λ(a+mb)=λa+λmb，‎ 又a与b不共线，‎ 所以解得m=.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a=(2，1)，A(1，0)，‎ B(cosθ，t)，‎ ‎(1)若t=-，θ∈(0，π)，a∥，求θ的值.‎ ‎(2)若a∥，求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值.‎ ‎【解析】(1)因为=(cosθ-1，t)，‎ 又a∥，所以2t-cosθ+1=0.‎ 所以cosθ-1=2t.‎ 因为t=-，所以cosθ=.‎ 又因为θ∈(0，π)，所以θ=.‎ ‎(2)由(1)可知t=，‎ 所以y=cos2θ-cosθ+‎ ‎=cos2θ-cosθ+‎ ‎=+=-，所以当cosθ=时，ymin=-. ‎ ‎17.已知三点A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a>0，b>0.‎ ‎(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值.‎ ‎(2)若A，B，C三点共线，试求a+b的最小值.‎ ‎18.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t(t∈R)，问:‎ ‎(1)t为何值时，点P在x轴上?点P在二、四象限角平分线上?‎ ‎(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出相应的t值;若不能，请说明理由.‎ ‎【解析】(1)因为O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，‎ ‎ ‎ ‎ ‎