【数学】2019届文科一轮复习人教A版1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案 6页

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ ‎(对应学生用书第5页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．简单的逻辑联结词 ‎ (1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．‎ ‎ (2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2. 全称量词与存在量词 ‎ (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．‎ ‎ (2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．‎ ‎ 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．‎ ‎ (3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．‎ ‎ (4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．‎ ‎3．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，綈p(x0)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎ (1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；‎ ‎ (2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；‎ ‎ (3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．‎ ‎2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)命题“5＞6或5＞‎2”‎是假命题．(　　)‎ ‎ (2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．(　　)‎ ‎ (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　　)‎ ‎ (4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)‎ ‎ [解析]　(1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．‎ ‎ (2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．‎ ‎ (3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．‎ ‎ (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)‎ ‎ A．1　　　　 B．‎2　‎　　　‎ ‎ C．3　　　　 D．4‎ ‎ B　[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为(　　)‎ ‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n ‎ C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n ‎ C　[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C．]‎ ‎4．(2018·韶关模拟)下列命题中的假命题是(　　)‎ ‎ A．∀x∈R,2x－1＞0‎ ‎ B．∀x∈N*，(x－1)2＞0‎ ‎ C．∃x∈R，lg x＜1‎ ‎ D．∃x∈R，tan x＝2‎ ‎ B　[当x＝1时，(x－1)2＝0，故B是假命题．]‎ ‎5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤‎0”‎是真命题，则实数a的取值范围是________. ‎ ‎ 【导学号：79170008】‎ ‎ [－8,0]　[当a＝0时，不等式显然成立．‎ ‎ 当a≠0时，依题意知 ‎ 解得－8≤a＜0.‎ ‎ 综上可知－8≤a≤0.]‎ ‎(对应学生用书第6页)‎ 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎　设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥C．则下列命题中真命题是(　　)‎ ‎ A．p∨q　　　　　　　　　　 B．p∧q ‎ C．(綈p)∧(綈q) D．p∧(綈q)‎ ‎ A　[取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．‎ ‎ a，b，c是非零向量，‎ ‎ 由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，‎ ‎ ∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．‎ ‎ 综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．‎ ‎ 又∵綈p为真命题，綈q为假命题，‎ ‎ ∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题．]‎ ‎ [规律方法]　　1.“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题真假判断的关键是对 ‎ 逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成 ‎ 形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式 ‎ 的命题的真假．‎ ‎ 2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．‎ ‎[变式训练1]　(2017·石家庄一模)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)‎ ‎ A．p∨q B．p∧q ‎ C．q D．綈p ‎ B　[取x＝，y＝，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确．‎ ‎ 故綈p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．]‎ 全称命题、特称命题 角度1　含有一个量词的命题的否定 ‎　(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－‎1”‎的否定是(　　) ‎ ‎【导学号：79170009】‎ ‎ A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1‎ ‎ B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1‎ ‎ C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1‎ ‎ D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1‎ ‎ A　[改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A．]‎ 角度2　全称命题、特称命题的真假判断 ‎　(2018·青岛模拟)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　)‎ ‎ A．存在x∈R，使得f(x)≤f(x1)‎ ‎ B．存在x∈R，使得f(x)≥f(x1)‎ ‎ C．对任意x∈R，都有f(x)≤f(x1)‎ ‎ D．对任意x∈R，都有f(x)≥f(x1)‎ ‎ C　[由题意知2ax1＋b＝0，即x1＝－，‎ ‎ 又f(x)＝a2＋，故f(x)min＝f(x1)．‎ ‎ 因此，A，B，D正确，C错误．]‎ ‎ [规律方法]　　1.否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．‎ ‎ 2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．‎ ‎ 3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题．‎ 由命题的真假求参数的取值范围 ‎　(1)已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤‎0”‎是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎ A．(－∞，－1) B．(－1,3)‎ ‎ C．(－3，＋∞) D．(－3,1)‎ ‎ (2)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)‎ ‎ A．m≥2 B．m≤－2‎ ‎ C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2‎ ‎ (1)B　(2)A　[(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，为真命题，‎ ‎ 则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，‎ ‎ 则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3.‎ ‎ (2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.‎ ‎ 因此，由p，q均为假命题得 ‎ 即m≥2.]‎ ‎ [规律方法]　　1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤：‎ ‎ (1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．‎ ‎ (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．‎ ‎ (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．‎ ‎ 2．全称命题可转化为恒成立问题．‎ ‎[变式训练2]　(2018·泰安模拟)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ ‎ 1　[∵0≤x≤，∴0≤tan x≤1，‎ ‎ 由“∀x∈，tan x≤m”是真命题，得m≥1. ‎ ‎ 故实数m的最小值为1.]‎