【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第24讲正弦定理和余弦定理的应用学案 9页

第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应用 1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的 和目标视线的夹角,目标视线在水平视线 的叫仰角,目标视线在水平视线 的叫俯角,如图 3-24-1(a)所示. (a) (b) (c) (d) 图 3-24-1 2.方位角:指从 顺时针转到目标方向线的水平角,如图 3-24-1(b)中 B 点的方位角为α. 3.方向角:相对于某正方向的 ,如北偏东α,即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图 3-24-1(c)),其他方向角类似. 4.坡角:坡面与 所成的二面角的度数(如图 3-24-1(d)所示,坡角为θ). 坡比:坡面的铅直高度与 之比(如图 3-24-1(d)所示,i 为坡比). 题组一 常识题 1.[教材改编] 海上有 A,B,C 三个小岛,A,B 相距 5 3 海里,从 A 岛望 C 和 B 成 45°视角,从 B 岛望 C 和 A 成 75°视角,则 B,C 两岛间的距离是 海里. 2.[教材改编] 某人向正东方向走了 x km 后,向右转 150°,然后沿新方向走了 3 km,结果他离出发点恰 好 3 km,那么 x 的值为 . 3.[教材改编] 如图 3-24-2 所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为α,则 tan α等于 . 图 3-24-2 图 3-24-3 4.[教材改编] 如图 3-24-3 所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测 点 C 与 D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为θ,则塔高 AB= . 题组二 常错题 ◆索引:仰角、俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题转化为解三角形问题. 5.在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°,C 点的俯角是 70°,则∠ BAC= . 图 3-24-4 6.如图 3-24-4 所示,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站南偏西 40°的方向, 灯塔 B 在观察站南偏东 60°的方向,则灯塔 A 相对于灯塔 B 的方向角是 . 7.已知点 A 在点 B 南偏西 20°的方向,若以点 B 为基点,则点 A 的方位角是 . 8.某起重装置的示意图如图 3-24-5 所示,已知支杆 BC=10 m,吊杆 AC=15 m,吊索 AB=5 19 m,则起吊的货 物与岸的距离 AD 为 m. 图 3-24-5 探究点一 测量距离问题 例 1 [2018·南京师大附中月考] 如图 3-24-6 所示,A,B,C 三个警亭有直道相通,已知 A 在 B 的正北方向 6 千米处,C 在 B 的正东方向 6 3 千米处. (1)若警员甲从 C 出发,沿 CA 行至点 P 处,此时∠CBP=45°,求 P,B 两点间的距离. (2)若警员甲从 C 出发沿 CA 前往 A,警员乙从 A 出发沿 AB 前往 B,两人同时出发,甲的速度为 3 千米/时, 乙的速度为 6 千米/时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达 B 后原地等待,直到甲到达 A 时任务结束. 若对讲机的有效通话距离最大为 9 千米,试求两人通过对讲机能保持联系的总时长. 图 3-24-6 [总结反思] 求距离即是求一条线段的长度,把该线段看作某个三角形的边,根据已知条件求出该三角形 的部分元素后,即可使用正弦定理或者余弦定理求该边的长度. 变式题 [2018·青岛二模] 如图 3-24-7 所示,A,B 两点在河的两岸,一名测量者在 A 的同侧河岸边选定 一点 C,测出 A,C 两点的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则 A,B 两点间的距离为( ) 图 3-24-7 A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D. 25 2 2 m 探究点二 测量高度问题 例 2 [2018·衡水中学月考] 如图 3-24-8 所示,在山顶有一座信号塔 CD(CD 所在的直线与地平面垂直), 在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为α,沿倾斜角为θ的山坡向上前进 l 米后到达 B 处,测得 C 的仰角为β. 图 3-24-8 (1)求 BC 的长; (2)若 l=24,α=45°,β=75°,θ=30°,求信号塔 CD 的高度. [总结反思] 高度也是两点之间的距离,其解法同求解水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是 把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该 高度. 变式题 如图 3-24-9 所示,为了测量一棵树的高度,在地上选取 A,B 两点,从 A,B 两点分别测得树尖的仰 角为 30°,45°,且 A,B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为( ) 图 3-24-9 A.(30+30 3 ) m B.(30+15 3 ) m C.(15+30 3 ) m D.(15+3 3 ) m 探究点三 测量角度问题 例 3 如图 3-24-10 所示,某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,某舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔 船在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 40°,距离为 15 海里的 C 处,并测得渔船正 沿方位角为100°的方向,以15海里/时的速度航行,该舰艇立即以15 3 海里/时的速度沿直线前去营救, 若舰艇与渔船恰好在 B 处相遇,求舰艇与渔船相遇所需的时间和舰艇的航向. 图 3-24-10 [总结反思] 测量“角度”即是求一个角的大小,把该角看作某个三角形的内角,根据已知条件求出该三 角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即得. 变式题 如图 3-24-11 所示,在坡角为θ的山坡上的一点 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山 坡的斜度为 15°,向山顶前进 10 米后到达点 B,又从点 B 测得 C 对于山坡的斜度为α,建筑物的高 CD 为 5 米. 图 3-24-11 (1)若α=30°,求 AC 的长; (2)若α=45°,求此山坡的坡角θ的余弦值. 第 24 讲 正弦定理和余弦定理的应用 考试说明 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【课前双基巩固】 知识聚焦 1.水平视线 上方 下方 2.正北方向 3.水平角 4.水平面 水平长度 对点演练 1.5 2 [解析] 由题可知∠ACB=60°,由正弦定理得 sin ∠ ㌠ = ㌠ sin ∠ ㌠ ,即 5 3 sin60 °= ㌠ sin45 °,得 BC=5 2 . 2.2 3 或 3 [解析] 如图所示,应有两种情况.由正弦定理,得 ㌠ sin30 °= ㌠ sin ,∴sin A= 3 × 1 2 3 = 3 2 ,∴A=60°或 A=120°.当 A=60°时,AB=2 3 ;当 A=120°时,AB= 3 . 3. 231 5 [解析] 由题意可得,在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π. 由余弦定理可得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,即 3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得 cos α= 5 16 ,所以 sin α= 231 16 , 所以 tan α= sin cos = 231 5 . 4. · tansin sin(+) [解析] 在△BCD 中,∠CBD=π-α-β.由正弦定理得 ㌠ sin ∠ t㌠ = ㌠t sin ∠ ㌠t ,所以 BC= ㌠tsin ∠ t㌠ sin ∠ ㌠t = · sin sin(+) .在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB= · tansin sin(+) . 5.130° [解析] 60°+70°=130°. 6.南偏西 80° [解析] 由条件及图可知,∠A=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠ DBA=10°,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°的方向. 7.200° [解析] 根据方位角的概念可得. 8. 15 3 2 [解析] 在△ABC 中,cos∠ABC= 102 +(5 19)2 -152 2 × 10 × 5 19 = 7 2 19 ,所以 sin∠ABC= 3 3 2 19 ,所以在△ABD 中,AD=AB·sin∠ABC=5 19 × 3 3 2 19 = 15 3 2 (m). 【课堂考点探究】 例 1 [思路点拨] (1)先求出∠APB,再由正弦定理可得 BP;(2)设甲、乙之间的距离为 f(t),若两人通过对 讲机能保持联系,则需要 f(t)≤9,然后分 0≤t≤1 和 1