2018届二轮复习（理）回扣1　集合与常用逻辑用语课件（全国通用） 34页

回扣 1 　 集合与常用逻辑用语 考前回扣 基础回归 易错提醒 回归训练 Ⅰ 基础回归 1. 集合 (1) 集合的运算性质： ① A ∪ B ＝ A ⇔ B ⊆ A ； ② A ∩ B ＝ B ⇔ B ⊆ A ； ③ A ⊆ B ⇔ ∁ U A ⊇ ∁ U B . (2) 子集、真子集个数计算公式 对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2 n ,2 n － 1,2 n － 1,2 n － 2. (3) 集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解 . 2. 四种命题及其相互关系 (1) (2) 互为逆否命题的两命题同真同假 . 3. 含有逻辑联结词的命题的真假 (1) 命题 p ∨ q ：若 p ， q 中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真 . (2) 命题 p ∧ q ：若 p ， q 中至少有一个为假，则命题为假命题， p ， q 同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真 . (3) 命题 綈 p ：与命题 p 真假相反 . 4 . 全称命题、特称 ( 存在性 ) 命题及其否定 (1) 全称命题 p ： ∀ x ∈ M ， p ( x ) ，其否定为特称 ( 存在性 ) 命题 綈 p ： ∃ x 0 ∈ M ， 綈 p ( x 0 ). (2) 特称 ( 存在性 ) 命题 p ： ∃ x 0 ∈ M ， p ( x 0 ) ，其否定为全称命题 綈 p ： ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x ). 5. 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1) 定义法：正、反方向推理，若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件 ( 或 q 是 p 的必要条件 ) ；若 p ⇒ q ，且 q ⇏ p ，则 p 是 q 的充分不必要条件 ( 或 q 是 p 的必要不充分条件 ). (2) 集合法：利用集合间的包含关系 . 例如，若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件 ( B 是 A 的必要条件 ) ；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件 . (3) 等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题 . Ⅱ 易错提醒 1. 描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义 —— 抓住集合的代表元素 . 如 { x | y ＝ lg x }—— 函数的定义域； { y | y ＝ lg x }—— 函数的值域； {( x ， y )| y ＝ lg x }—— 函数图象上的点集 . 2. 易混淆 0 ， ∅ ， {0} ： 0 是一个实数； ∅ 是一个集合，它含有 0 个元素； {0} 是以 0 为元素的单元素集合，但是 0 ∉∅ ，而 ∅⊆ {0}. 3. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性 . 4. 空集是任何集合的子集 . 由条件 A ⊆ B ， A ∩ B ＝ A ， A ∪ B ＝ B 求解集合 A 时，务必分析研究 A ＝ ∅ 的情况 . 5. 区分命题的否定与否命题，已知命题为 “ 若 p ，则 q ” ，则该命题的否定为 “ 若 p ，则 綈 q ” ，其否命题为 “ 若 綈 p ，则 綈 q ”. 6. 在对全称命题和特称 ( 存在性 ) 命题进行否定时，不要忽视对量词的改变 . 7. 对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论 . 8. 判断命题的真假要先明确命题的构成 . 由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算 . III 回归训练 答案 解析 1. 设集合 M ＝ { x ∈ Z | － 3 ＜ x ＜ 2} ， N ＝ { x ∈ Z | － 1 ≤ x ≤ 3} ，则 M ∩ N 等于 A.{0,1} B .{ － 1,0,1,2} C.{0,1,2} D .{ － 1,0,1 } √ 解析　 ∵ M ＝ { x ∈ Z | － 3 ＜ x ＜ 2} ＝ { － 2 ，－ 1,0,1} ， N ＝ { x ∈ Z | － 1 ≤ x ≤ 3} ＝ { － 1,0,1,2,3} ， ∴ M ∩ N ＝ { － 1,0,1} ，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 2. 已知集合 A ＝ { x | x 2 － 4 x ＋ 3 ＜ 0} ， B ＝ { y | y ＝ 2 x － 1 ， x ≥ 0} ，则 A ∩ B 等于 A. ∅ B .[0,1) ∩ (3 ，＋ ∞ ) C. A D. B √ 解析　 由题意，得集合 A ＝ { x |1 ＜ x ＜ 3} ，集合 B ＝ { y | y ≥ 0} ，那么 A ∩ B ＝ { x |1 ＜ x ＜ 3} ＝ A . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 3. 已知集合 M ＝ { x |log 2 x ＜ 3} ， N ＝ { x | x ＝ 2 n ＋ 1 ， n ∈ N } ，则 M ∩ N 等于 A.(0,8) B.{ 3,5,7} C.{0,1,3,5,7} D .{1,3,5,7} √ 解析　 ∵ M ＝ { x |0 ＜ x ＜ 8} ，又 N ＝ { x | x ＝ 2 n ＋ 1 ， n ∈ N } ， ∴ M ∩ N ＝ {1,3,5,7} ，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 4. 已知集合 A ＝ {1,2,3,4,5} ， B ＝ {5,6,7} ， C ＝ {( x ， y )| x ∈ A ， y ∈ A ， x ＋ y ∈ B } ，则 C 中所含元素的个数为 A.5 B.6 C.12 D.13 解析　 若 x ＝ 5 ∈ A ， y ＝ 1 ∈ A ，则 x ＋ y ＝ 5 ＋ 1 ＝ 6 ∈ B ，即点 (5,1) ∈ C ； 同理， (5,2) ∈ C ， (4,1) ∈ C ， (4,2) ∈ C ， (4,3) ∈ C ， (3,2) ∈ C ， (3,3) ∈ C ， (3,4) ∈ C ， (2,3) ∈ C ， (2,4) ∈ C ， (2,5) ∈ C ， (1,4) ∈ C ， (1,5) ∈ C ， 所以 C 中所含元素的个数为 13 ，故选 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 5. 已知集合 A ＝ { y | y ＝ sin x ， x ∈ R } ，集合 B ＝ { x | y ＝ lg x } ，则 ( ∁ R A ) ∩ B 为 A.( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) B . [ － 1,1] C.(1 ，＋ ∞ ) D .[1 ，＋ ∞ ) 解析　 因为 A ＝ { y | y ＝ sin x ， x ∈ R } ＝ [ － 1,1 ] ， B ＝ { x | y ＝ lg x } ＝ (0 ，＋ ∞ ) ， 所以 ( ∁ R A ) ∩ B ＝ (1 ，＋ ∞ ). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 6. 设有两个命题，命题 p ：关于 x 的不等式 ( x － 3 )· ≥ 0 的解集为 { x | x ≥ 3} ，命题 q ：若函数 y ＝ kx 2 － kx － 8 的值恒小于 0 ，则－ 32 ＜ k ＜ 0 ，那么 A. “ p 且 q ” 为真 命题 B . “ p 或 q ” 为真命题 C. “ 綈 p ” 为真 命题 D . “ 綈 q ” 为假命题 解析　 不等式 ( x － 3 )· ≥ 0 的解集为 { x | x ≥ 3 或 x ＝ 1} ，所以命题 p 为假命题 . 若函数 y ＝ kx 2 － kx － 8 的值恒小于 0 ，则－ 32 ＜ k ≤ 0 ， 所以命题 q 也是假命题，所以 “ 綈 p ” 为真命题 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 7.(2016· 天津 ) 设 { a n } 是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则 “ q <0 ” 是 “ 对任意的正整数 n ， a 2 n － 1 ＋ a 2 n <0 ” 的 A. 充要条件 B . 充分不必要条件 C. 必要不 充分条件 D . 既不充分也不必要条件 解析　 设数列的首项为 a 1 ，则 a 2 n － 1 ＋ a 2 n ＝ a 1 q 2 n － 2 ＋ a 1 q 2 n － 1 ＝ a 1 q 2 n － 2 (1 ＋ q )<0 ，即 q < － 1 ， 故 q <0 是 q < － 1 的必要不充分条件 . 故选 C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 8. 设命题甲： ax 2 ＋ 2 ax ＋ 1 ＞ 0 的解集是实数集 R ；命题乙： 0< a <1 ，则命题甲是命题乙成立的 A. 充分不必要条件 B . 充要条件 C. 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由命题甲： ax 2 ＋ 2 ax ＋ 1 ＞ 0 的解集是实数集 R 可知 ， 当 a ＝ 0 时，原式＝ 1 ＞ 0 恒成立， 解得 0< a <1 ，所以 0 ≤ a <1 ， 所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲 ， 因此 命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 9. 设命题 p ：函数 y ＝ sin 2 x 的最小正周期 为 ； 命题 q ：函数 y ＝ cos x 的图象关于直线 x ＝ 对称 . 则下列判断正确的是 A. p 为真 B . 綈 q 为假 C. p ∧ q 为假 D. p ∨ q 为真 解析　 p 是假命题， q 是假命题，因此只有 C 正确 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 10. 已知集合 M ＝ { x | － 3< x ≤ 5} ， N ＝ { x | x < － 5 或 x >5} ，则 M ∪ N 等于 A.{ x | － 3< x <5 } B .{ x | － 5< x <5} C.{ x | x < － 5 或 x > － 3 } D .{ x | x < － 3 或 x >5} 解析　 在数轴上表示集合 M ， N ，则 M ∪ N ＝ { x | x < － 5 或 x > － 3} ，故选 C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 11. 下列四个结论： ① 若 x >0 ，则 x >sin x 恒成立； ② 命题 “ 若 x － sin x ＝ 0 ，则 x ＝ 0 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 0 ，则 x － sin x ≠ 0 ” ； ③“ 命题 p ∧ q 为真 ” 是 “ 命题 p ∨ q 为真 ” 的充分不必要条件； ④ 命题 “ ∀ x ∈ R ， x － ln x >0 ” 的否定是 “ ∃ x 0 ∈ R ， x 0 － ln x 0 <0 ”. 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 对于 ① ，令 y ＝ x － sin x ，则 y ′ ＝ 1 － cos x ≥ 0 ，则函数 y ＝ x － sin x 在 R 上单调递增，则当 x >0 时， x － sin x >0 － 0 ＝ 0 ，即当 x >0 时， x >sin x 恒成立，故 ① 正确； 对于 ② ，命题 “ 若 x － sin x ＝ 0 ，则 x ＝ 0 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 0 ，则 x － sin x ≠ 0 ” ，故 ② 正确； 对于 ③ ，命题 p ∨ q 为真即 p ， q 中至少有一个为真， p ∧ q 为真即 p ， q 都为真，可知 “ p ∧ q 为真 ” 是 “ p ∨ q 为真 ” 的充分不必要条件，故 ③ 正确； 对于 ④ ，命题 “ ∀ x ∈ R ， x － ln x >0 ” 的否定是 “ ∃ x 0 ∈ R ， x 0 － ln x 0 ≤ 0 ” ，故 ④ 错误 . 综上，正确结论的个数为 3 ，故选 C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当集合 M ∩ N 的长度取最小值时， M 与 N 应分别在区间 [0,1] 的左右两端 . 取 m 的最小值 0 ， n 的最大值 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得 ( ax － 5)( x 2 － a ) ＜ 0 ， 当 a ＝ 0 时，显然不成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得 9 ＜ a ≤ 25 ，当 a ＜ 0 时，不符合条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 故 m ≤ (tan x ＋ 1) min ， ∴ m ≤ 0 ，故实数 m 的最大值为 0. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 － 1 ∵ 函数 y ＝ f ( x ) 的图象不过第三象限， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 16. 下列结论： ① 命题 “ 若 x ≠ 1 ，则 x 2 － 3 x ＋ 2 ≠ 0 ” 的逆否命题是 “ 若 x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0 ，则 x ＝ 1 ” ； ②“ x ＞ 2 ” 是 “ x 2 － 3 x ＋ 2 ＞ 0 ” 的充分不必要条件； ③ 若 “ 命题 p ： ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ x ＋ 1 ≠ 0 ” ，则 “ 綈 p ： ∃ x 0 ∈ R ， x ＋ x 0 ＋ 1 ＝ 0 ” ； ④ 若 “ p ∨ q ” 为真命题，则 p ， q 均为真命题 . 其中错误结论的序号是 _____. ④ 解析　 对于若 “ p ∨ q ” 为真命题，则 p ， q 中至少有一个为真命题，所以 ④ 错误 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16