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- 2021-07-01 发布
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第3章 3.2 第3课时
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图,正棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析: 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1.
则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2)
=(0,1,-2),=(-1,0,2)
cos〈,〉=
==-
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为,故选D.
答案: D
2.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:
设正三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两互相垂直,设PA=PB=PC=a.
取AB的中点D,连结PD、CD,易知∠PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角.
易求PD=a,CD=a,
故cos∠PDC==.
答案: B
3.若平面α的一个法向量n=(2,1,1),直线l的一个方向向量为a=(1,2,3),则l与α所成角的正弦值为( )
A. B.
C.- D.
解析: cos〈a,n〉=
=
==.
答案: B
4.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为( )
A.150° B.45°
C.60° D.120°
解析: 由条件,知·=0,·=0,=++.
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·
+2·=62+42+82+2×6×8cos,=(2)2,
∴cos,=-,,=120°,
∴二面角的大小为60°.故选C.
答案: C
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________.
解析: 如图,以DA、DC、DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
取正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),
易证是平面A1BD的一个法向量.
=(-1,1,1),=(-1,0,1).
cos〈,〉==.
所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.
答案:
6.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的余弦值为________.
解析: 取BC中点O,连结AO,DO.
建立如右图所示坐标系,
设BC=1,则A,B,D.
∴=,=,
=.
由于=为面BCD的法向量,可进一步求出面ABD的一个法向量n=(1,-,1),
∴cos〈n,〉=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是线段AB、BC上的点,且EB=BF=1,求直线EC1与FD1所成角的余弦值
解析: 以D为坐标原点,,,分别为x轴、y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则有D1(0,0,2),E(3,3,0),F(2,4,0),C1(0,4,2),
于是=(-3,1,2),=(-2,-4,2),
设与所成的角为β,
则cos β==,
所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.
8.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为BC的中点,F为CC1的中点.
(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值;
(2)求二面角F-DE-C的余弦值.
解析: 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(1,2,0),F(0,2,2).
(1)=(-1,0,2),易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),
设与n的夹角为θ,则cos θ==,
∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.
(2)=(-1,0,2),=(0,2,2),
设平面DEF的一个法向量为m,
则m·=0,m·=0,
可得m=(2,-1,1),
∴cos〈m,n〉==,
∴二面角F-DE-C的余弦值为.
尖子生题库☆☆☆
9.(10分)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,
∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;
(3)是否存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角?并说明理由.
解析: 以A为原点,,分别为y轴、z轴的正方向,过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴,建立空间直角坐标系Axyz,
设PA=a,由已知可得:
A(0,0,0),B(0,a,0),
C,P(0,0,a).
(1)证明:=(0,0,a),
=,
∴·=0,
∴BC⊥AP.
又∵∠BCA=90°,
∴BC⊥AC,
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点,DE∥BC,
∴E为PC的中点,
∴D,E,
∴由(1)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵=,=,
∴cos∠DAE==,
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.
(3)∵DE∥BC,又由(1)知BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,
又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,
∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角.
∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,
∴∠PAC=90°.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时∠AEP=90°,
故存在点E,使得二面角A-DE-P是直二面角.