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  • 2021-07-01 发布

2012高中数学 3_2第3课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第3章 3.2 第3课时 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.如图,正棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )‎ A.           B. C. D. 解析: 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1.‎ 则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2)‎ =(0,1,-2),=(-1,0,2)‎ cos〈,〉= ‎==- ‎∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为,故选D.‎ 答案: D ‎2.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成的二面角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析: ‎ 设正三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两互相垂直,设PA=PB=PC=a.‎ 取AB的中点D,连结PD、CD,易知∠PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角.‎ 易求PD=a,CD=a,‎ 故cos∠PDC==.‎ 答案: B ‎3.若平面α的一个法向量n=(2,1,1),直线l的一个方向向量为a=(1,2,3),则l与α所成角的正弦值为(  )‎ A. B. C.- D. 解析: cos〈a,n〉= ‎= ‎==.‎ 答案: B ‎4.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为(  )‎ A.150° B.45°‎ C.60° D.120°‎ 解析: 由条件,知·=0,·=0,=++.‎ ‎∴||2=||2+||2+||2+2·+2· ‎+2·=62+42+82+2×6×8cos,=(2)2,‎ ‎∴cos,=-,,=120°,‎ ‎∴二面角的大小为60°.故选C.‎ 答案: C 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________.‎ 解析: 如图,以DA、DC、DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,‎ 取正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),‎ 易证是平面A1BD的一个法向量.‎ =(-1,1,1),=(-1,0,1).‎ cos〈,〉==.‎ 所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.‎ 答案:  ‎6.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的余弦值为________.‎ 解析: 取BC中点O,连结AO,DO.‎ 建立如右图所示坐标系,‎ 设BC=1,则A,B,D.‎ ‎∴=,=,‎ =.‎ 由于=为面BCD的法向量,可进一步求出面ABD的一个法向量n=(1,-,1),‎ ‎∴cos〈n,〉=.‎ 答案:  三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是线段AB、BC上的点,且EB=BF=1,求直线EC1与FD1所成角的余弦值 解析: 以D为坐标原点,,,分别为x轴、y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则有D1(0,0,2),E(3,3,0),F(2,4,0),C1(0,4,2),‎ 于是=(-3,1,2),=(-2,-4,2),‎ 设与所成的角为β,‎ 则cos β==,‎ 所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.‎ ‎8.如图,在正四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为BC的中点,F为CC1的中点.‎ ‎(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值;‎ ‎(2)求二面角F-DE-C的余弦值.‎ 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(1,2,0),F(0,2,2).‎ ‎(1)=(-1,0,2),易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),‎ 设与n的夹角为θ,则cos θ==,‎ ‎∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.‎ ‎(2)=(-1,0,2),=(0,2,2),‎ 设平面DEF的一个法向量为m,‎ 则m·=0,m·=0,‎ 可得m=(2,-1,1),‎ ‎∴cos〈m,n〉==,‎ ‎∴二面角F-DE-C的余弦值为.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,‎ ‎∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.‎ ‎(1)求证:BC⊥平面PAC;‎ ‎(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;‎ ‎(3)是否存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角?并说明理由.‎ 解析: 以A为原点,,分别为y轴、z轴的正方向,过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴,建立空间直角坐标系Axyz,‎ 设PA=a,由已知可得:‎ A(0,0,0),B(0,a,0),‎ C,P(0,0,a).‎ ‎(1)证明:=(0,0,a),‎ =,‎ ‎∴·=0,‎ ‎∴BC⊥AP.‎ 又∵∠BCA=90°,‎ ‎∴BC⊥AC,‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(2)∵D为PB的中点,DE∥BC,‎ ‎∴E为PC的中点,‎ ‎∴D,E,‎ ‎∴由(1)知,BC⊥平面PAC,‎ ‎∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,‎ ‎∵=,=,‎ ‎∴cos∠DAE==,‎ ‎∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.‎ ‎(3)∵DE∥BC,又由(1)知BC⊥平面PAC,‎ ‎∴DE⊥平面PAC,‎ 又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,‎ ‎∴DE⊥AE,DE⊥PE,‎ ‎∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角.‎ ‎∵PA⊥底面ABC,‎ ‎∴PA⊥AC,‎ ‎∴∠PAC=90°.‎ ‎∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时∠AEP=90°,‎ 故存在点E,使得二面角A-DE-P是直二面角.‎ ‎ ‎

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