高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 选修4－1 第69课 课时分层训练13 6页

课时分层训练(十三)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．如图6911，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求＋的值．‎ 图6911‎ ‎[解]　由平行线分线段成比例定理得 ＝，＝，‎ 故＋＝＋＝＝1.‎ ‎2．如图6912所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N.求证：AB·BM＝AM·BN. 【导学号：62172364】‎ 图6912‎ ‎[证明]　∵在Rt△ACM中，‎ CM2＝MN·AM.‎ 又∵M是BC的中点，即CM＝BM，‎ ‎∴BM2＝MN·AM，‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠BMN＝∠AMB，‎ 所以△AMB∽△BMN，‎ ‎∴＝，∴AB·BM＝AM·BN.‎ ‎3．如图6913，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E，F分别在AB，AC，BC上，AE＝AC，BD＝AB，且CF＝BC.‎ 图6913‎ 求证：(1)EF⊥BC；‎ ‎(2)∠ADE＝∠EBC.‎ ‎[证明]　设AB＝AC＝3a，‎ 则AE＝BD＝a，CF＝a.‎ ‎(1)＝＝，＝＝.‎ 又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，‎ 由∠BAC＝90°，得∠EFC＝90°，‎ 故EF⊥BC.‎ ‎(2)由(1)得EF＝·AB＝a，‎ 故＝＝，＝＝，‎ ‎∴＝，∵∠A＝∠EFB，‎ ‎∴△ADE∽△FBE，‎ 所以∠ADE＝∠EBC.‎ ‎4．如图6914所示，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.‎ 图6914‎ ‎(1)求证：△ABC∽△FCD；‎ ‎(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长. 【导学号：62172365】‎ ‎[解]　(1)证明：∵DE⊥BC，D是BC边上的中点，‎ ‎∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECD，‎ 又AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴△ABC∽△FCD.‎ ‎(2)过点A作AM⊥BC，‎ 垂足为点M，‎ ‎∵△ABC∽△FCD，‎ BC＝2CD，‎ ‎∴＝2＝4，‎ 又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20，‎ 又S△ABC＝×BC×AM＝×10×AM＝20，‎ 解得AM＝4，又DE∥AM，∴＝，‎ ‎∵DM＝CD＝，BM＝BD＋DM＝5＋＝，‎ ‎∴＝，解得DE＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．如图6915所示，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.‎ 图6915‎ ‎(1)求证：△ABF∽△CEB；‎ ‎(2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．‎ ‎[解]　(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.‎ ‎∴∠ABF＝∠CEB.‎ ‎∴△ABF∽△CEB.‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥CD.‎ ‎∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.‎ ‎∵DE＝CD，‎ ‎∴＝2＝，＝2＝，‎ ‎∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.‎ ‎∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.‎ ‎∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF ‎＝16＋8＝24.‎ ‎2．如图6916，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.‎ 图6916‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1∶S2的值．‎ ‎[解]　(1)过点D作DG∥BC，并交AF于G点，‎ 因为E是BD的中点，所以BE＝DE.‎ 又因为∠EBF＝∠EDG，‎ ‎∠BEF＝∠DEG，‎ 所以△BEF≌△DEG，则BF＝DG，‎ 所以BF∶FC＝DG∶FC.‎ 又因为D是AC的中点，则DG∶FC＝1∶2，‎ 则BF∶FC＝1∶2，即＝.‎ ‎(2)若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，‎ 则由(1)知BF∶BC＝1∶3.‎ 又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，‎ 其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高，‎ 则＝×＝，则S1∶S2＝1∶5.‎ ‎3．如图6917所示，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H.求证：DF2＝GF·HF.‎ 图6917‎ ‎[证明]　∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠H＝∠GBF.‎ 又∠AFH＝∠GFB＝90°.‎ ‎∴△AFH∽△GFB，‎ 因此＝，即AF·BF＝GF·HF.‎ 因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.‎ ‎4．△ABC中，D，E，F分别是BC，AB，AC上的点，AD，EF交于点P，若BD＝DC，AE＝AF.‎ 求证：＝.‎ 图6918‎ ‎[解]　过F作MN∥AD分别交BA的延长线和DC于点M，N.对△MEF，有＝ 因为AE＝AF，‎ 所以＝.‎ 对△MBN，有＝，‎ 因为BD＝DC，所以＝.‎ 对△ADC，有＝，所以＝.‎ 所以＝，所以＝.‎