2020届二轮复习平面向量的概念及线性运算课件（28张）（全国通用） 28页

- 1 - 6 . 1 　 平面向量的概念及线性运算 - 3 - 知识梳理 双基自测 1 . 向量的有关概念 大小 　 方向 　 长度 模 0 　 1 个单位 长度 - 4 - 知识梳理 双基自测 相同 相反 方向相同或 相反 　 平行 相等 相同 　 相等 相反 - 5 - 知识梳理 双基自测 2 . 向量的线性 运算 b + a a + ( b + c ) - 6 - 知识梳理 双基自测 | λ || a | 相同 相反 λμ a λ a + μ a 　 λ a + λ b - 7 - 知识梳理 双基自测 3 . 向量共线定理 (1) 向量 b 与 a ( a ≠ 0 ) 共线当且仅当有唯一一个实数 λ , 使得 　　　　 . 注 : 限定 a ≠ 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性 . ( 2) 变形形式 : 已知直线 l 上三点 A , B , P , O 为直线 l 外任一点 , 有 b = λ a 2 - 8 - 知识梳理 双基自测 3 4 1 1 . 下列结论正确的打 “ √ ”, 错误的打 “×” . (1) 向量与有向线段是一样的 , 因此可以用有向线段表示向量 . ( 　　 ) ( 3) 若两个向量共线 , 则其方向必定相同或相反 . ( 　　 ) (4) 若 向量 是 共线向量 , 则 A , B , C , D 四点在一条直线上 . ( 　　 ) (5) 当两个非零向量 a , b 共线时 , 一定有 b = λ a , 反之成立 . ( 　　 ) × √ × × √ - 9 - 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 2 . 设 a , b 是向量 , 则 “ | a |=| b | ” 是 “ | a + b |=| a - b | ” 的 ( 　　 ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 D 解析 由 | a |=| b | 无法得到 | a + b |=| a - b | , 充分性不成立 ; 由 | a + b |=| a - b | , 得 a · b = 0, 也无法得到 | a |=| b | , 必要性不成立 . 故选 D . - 10 - 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 D - 11 - 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 4 . 设向量 a , b 不平行 , 向量 λ a + b 与 a + 2 b 平行 , 则实数 λ = 　　　　　 . - 12 - 考点 1 考点 2 考点 3 例 1 (1) 对于非零向量 a , b ,“ a + b = 0 ” 是 “ a ∥ b ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 (2) 给出下列命题 : 若 |a|=|b| , 则 a=b 或 a=-b ; ② 若 A , B , C , D 是不共线的四点 , 则 是 四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件 ; ③ 若两个向量相等 , 则它们的起点相同 , 终点相同 ; ④ a=b 的充要条件是 |a|=|b| , 且 a ∥ b . 其中真命题的序号是 　　　　　 .   思考 学习了向量的概念后 , 你对向量有怎样的认识 ? A ② - 13 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 14 - 考点 1 考点 2 考点 3 解题心得 对于向量的概念应注意以下几条 : (1) 向量的两个 特征 为 大小 和方向 . 向量既可以用有向线段和字母表示 , 也可以用坐标表示 ; (2) 相等向量不仅模相等 , 而且方向要相同 , 所以相等向量一定是平行向量 , 而平行向量未必是相等向量 ; (3) 向量与数量不同 , 数量可以比较大小 , 向量则不能 , 所以向量只有相等与不相等 , 不可以比较大小 . - 15 - 考点 1 考点 2 考点 3 对点训练 1 (1) 设 a 0 为单位向量 , ① 若 a 为平面内的某个向量 , 则 a=|a|a 0 ; ② 若 a 与 a 0 平行 , 则 a=|a|a 0 ; ③ 若 a 与 a 0 平行 , 且 |a|= 1, 则 a=a 0 . 上述命题中 , 假命题的个数为 　　　　　 .  (2) 给出下列命题 : ① 两个具有公共终点的向量 , 一定是共线向量 ; ② 两个向量不能比较大小 , 但它们的模能比较大小 ; ③ 若 λ a = 0 ( λ 为实数 ), 则 λ 必为零 ; ④ 已知 λ , μ 为实数 , 若 λ a = μ b , 则 a 与 b 共线 . 其中错误命题的个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 3 C - 16 - 考点 1 考点 2 考点 3 解析 (1) 向量是既有大小又有方向的量 , a 与 |a|a 0 的模相等 , 但方向不一定相同 , 故 ① 是假命题 ; 若 a 与 a 0 平行 , 则 a 与 a 0 的方向有两种情况 : 一是同向 , 二是反向 , 反向时 , a=-|a|a 0 , 故 ②③ 也是假命题 . 综上所述 , 假命题的个数是 3 . (2) ① 错误 . 当方向不同时 , 不是共线向量 . ② 正确 . 因为向量有方向 , 所以它们不能比较大小 , 但它们的模均为实数 , 故可以比较大小 . ③ 错误 . 当 a = 0 时 , 不论 λ 为何值 , λ a = 0 . ④ 错误 . 当 λ = μ = 0 时 , λ a = μ b , 此时 , a 与 b 可以是任意向量 . - 17 - 考点 1 考点 2 考点 3 思考 在几何图形中 , 用已知向量表示未知向量的一般思路是什么 ? 向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系 ? B A - 18 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 19 - 考点 1 考点 2 考点 3 解题心得 1 . 进行向量运算时 , 要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中 , 充分利用相等向量、相反向量 , 三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质 , 把未知向量用已知向量表示出来 . 2 . 向量的线性运算类似于代数多项式的运算 , 实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用 . - 20 - 考点 1 考点 2 考点 3 A B - 21 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 22 - 考点 1 考点 2 考点 3 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线 . ( 2) 试确定实数 k , 使 k a + b 和 a +k b 共线 . 思考 如何用向量的方法证明三点共线 ? - 23 - 考点 1 考点 2 考点 3 (2) 解 ∵ k a + b 与 a +k b 共线 , ∴ 存在实数 λ , 使 k a + b = λ ( a +k b ), 即 k a + b = λ a + λ k b , ∴ ( k- λ ) a = ( λ k- 1) b . ∵ a , b 是不共线的两个非零向量 , ∴ k- λ = λ k- 1 = 0, ∴ k 2 - 1 = 0, ∴ k= ± 1 . - 24 - 考点 1 考点 2 考点 3 解题心得 1 . 证明三点共线问题 , 可用向量共线解决 , 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 , 当两向量共线且有公共点时 , 才能得出三点共线 . 2 . 向量 a , b 共线是指存在不全为零的实数 λ 1 , λ 2 , 使 λ 1 a + λ 2 b = 0 成立 ; 若 λ 1 a + λ 2 b = 0 , 当且仅当 λ 1 = λ 2 = 0 时成立 , 则向量 a , b 不共线 . - 25 - 考点 1 考点 2 考点 3 A. m+n= 0 B. m-n= 0 C. mn+ 1 = 0 D. mn- 1 = 0 A.3 ∶ 4 B.3 ∶ 2 C.1 ∶ 1 D.1 ∶ 3 D D - 26 - 考点 1 考点 2 考点 3 - 27 - 易错警示 —— 都是零向量 “ 惹的祸 ” 典例 下列命题正确的是 　　　　　 .   ① 向量 a , b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ , 使 b = λ a ; ② 在 △ ABC 中 , ; ③ 不等式 || a |-| b || ≤ | a + b | ≤ | a |+| b | 中两个等号不可能同时成立 ; ④ 只有方向相同或相反的向量是平行向量 ; ⑤ 若向量 a , b 不共线 , 则向量 a+b 与向量 a - b 必不共线 . 答案 ⑤ 解析 由 向量 a 与 b 不共线 , 知 向量 a , b , a+b 与 a-b 均不为零向量 . 若 a+b 与 a-b 平行 , 则存在实数 λ 使 a+b = λ ( a - b ), 即 ( λ - 1) a = (1 + λ ) b , 故 此时 λ 无解 , 故假设不成立 , 即 a+b 与 a-b 不共线 . 故 ⑤ 正确 ; ①②③④ 显然错误 . - 28 - 典例 2 下列叙述错误的是 　　　　　　　　 . ( 填序号 )   ① 若非零向量 a 与 b 方向相同或相反 , 则 a+b 与 a , b 之一的方向相同 ; ② |a|+|b|=|a+b| ⇔ a 与 b 方向相同 ; ④ 若 λ a = λ b , 则 a = b . 答案 ① ②③④ 解析 对于 ① , 当 a + b = 0 时 , 其方向任意 , 它与 a , b 的方向都不相同 ; 对于 ② , 当 a , b 中有一个为零向量时结论不成立 ; 对于 ③ , 由于两个向量之和仍是一个向量 , 所以 ; 对于 ④ , 当 λ = 0 时 , 不管 a , b 的大小与方向如何 , 都有 λ a = λ b , 此时不一定有 a = b .