福建省漳平市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学 9页

漳平一中2019-2020学年第一学期半期考 高二数学试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题。（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为的样本，已知从高一学生中抽取15人，则为 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设、表示不同的直线，、表示不同的平面，且，，则“”是“且”的 (　 　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．命题“，”的否定为 (　 　)‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎4．从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是 (　 　)‎ A．恰有一个红球与恰有两个红球 B．至少一个红球与至少一个白球 C．至少一个红球与都是白球 D．至少一个红球与都是红球 ‎5．已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在正方体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7．一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，则抽到都是正品的概率是 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎8．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙两个小组的平均成绩分别是，标准差分别是，则下列说法正确的是 (　 　)‎ 甲 乙 ‎ 9　8‎ ‎8‎ ‎5　6 8　8‎ ‎2　1　0‎ ‎9‎ ‎3‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎10．双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为，则双曲线的离心率为 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在直三棱柱中，，．已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的最小值为 (　 　)‎ ‎ A．    B．     C．    D．‎ ‎12．已知椭圆的左、右顶点分别为、，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于、两点，直线与椭圆交于点，、分别为直线、的斜率，则的取值范围是 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知向量，，若，则实数　▲　．‎ ‎14．与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为 ▲ ． ‎ ‎15．若命题：，使为真命题，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎16．以下四个关于圆锥曲线的命题中 ‎①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；‎ ‎②曲线表示焦点在轴上的椭圆，则；‎ ‎③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④双曲线与椭圆有相同的焦点．‎ 其中真命题的序号为 ▲ （写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题。（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知集合，．‎ ‎（1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围；‎ ‎（2）对任意，不等式都成立，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，求弦长．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：‎ 单价（元）‎ ‎6‎ ‎6.2‎ ‎6.4‎ ‎6.6‎ ‎6.8‎ ‎7‎ 销量（万件）‎ ‎80‎ ‎74‎ ‎73‎ ‎70‎ ‎65‎ ‎58‎ 数据显示单价与对应的销量满足线性相关关系．‎ ‎（1）求销量（件）关于单价（元）的线性回归方程；‎ ‎（2）根据销量关于单价的线性回归方程，要使加工后收益最大，应将单价定为多少元 ‎？（产品收益销售收入成本）‎ 参考公式： ，‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，平面平面，，，，．‎ ‎（1）求证：⊥平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使得？若存在求出的值，若不存在请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎0.030‎ ‎(分数）‎ ‎0 40 50 60 70 80 90 100‎ 频率 组距 ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.025‎ 某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，，分成6组，制成如图所示频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）求这组数据的中位数；‎ ‎（3）现从被调查的问卷满意度评分值在的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．‎ ‎（ⅰ）证明：直线与的斜率乘积为定值；‎ ‎（ⅱ）求面积的最大值及此时的斜率．‎ 参考答案 一、选择题 D A C A B C B A C B D D ‎ 二、填空题 ‎13、 14、 15、 16、②③④‎ 三、解答题 ‎17．解：（1），-------------------------1分 因为“”是“”的必要不充分条件，所以，或-------------------------------------3分 所以，，或，所以．---------------------------------------------------------------------------------4分 所以，实数的取值范围是．-------------------------------------------------------------------------------5分 ‎（2）要使任意，不等式都成立，又 由，得，---------------------------------------------------------------------------------7分 则只要，又，当且仅当，即时等号成立．-------------------------9分 实数的取值范围．-------------------------------------------------------------------------------------10分 ‎18．解：（1），，--------------------------------------------------------------------------2分 ‎．故所求抛物线方程为．-----------------------------------------------------------------------5分 ‎（2）由（1）得焦点，所以直线方程为，并设，．-----------7分 联立，消去，得．-----------------------------------------------------------------9分 所以 ---------------------------------------------------------------------------------------------------10分 所以 所以．---------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 ‎19．解：‎ ‎（1）由题意得，--------------------------------------------------1分 ‎-------------------------------------------------------------------------2分 则， ‎ ‎ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------4分 从而，-----------------------------------------------------------------------5分 故所求回归直线方程为.---------------------------------------------------------------------------6分 ‎（2）由题意可得，，-----------------------------------------------------8分 ‎-----------------------------------------------------------------------------------------------10分 当时，取得最大值245-----------------------------------------------------------------------11分 故要使收益达到最大，应将价格定位元．---------------------------------------------------------------------12分 ‎20．解：(1)因为侧面是矩形，所以．-----------------------------------------------------2分 因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线，--------------------------------4分 所以平面．----------------------------------------------------------------------------------------------5分 ‎(2)由(1)知，．由题意知，，，‎ 所以．------------------------------------------------------------------6分 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，．------------------------------------------------------------------------7分 假设是线段上一点，其中，，，设，即＝．---------------------------------9分 解得，，，所以．‎ 由，即 得，解得．-------------------------------------------------------11分 因为，所以在线段上存在一点，使得．‎ 此时．-------------------------------------------------------------12分 ‎21． 解：（1）由，解得．---------3分 ‎（2）中位数设为，则，解得．-------------------6分 ‎（3）可得满意度评分值在内有20人，抽得样本为2人，记为 满意度评分值在内有30人，抽得样本为3人，记为-----------------------8分 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A 基本事件有共10个，A包含的基本事件个数为4个，--------------------------------------------------------10分 利用古典概型概率公式可知.---------------------------------------12分 ‎22．解：‎ ‎（1）由题意得，解得…………………………………..2分 ‎∴，，…………………………………………………3分 ‎∴椭圆的方程为………………………………………….4分 ‎（2）（ⅰ）设直线为：，，‎ 由题意得，∴，……………………..5分 ‎∴，即 由韦达定理得：…………………………….6分 ‎∴，………………………………………………7分 ‎∴，，∴ ‎ ‎∴直线与的斜率乘积为定值…………………………………………..8分 ‎（ⅱ）由（ⅰ）可知：‎ ‎，…………………………………………………………………..9分 又点到直线的距离，‎ ‎∴，……………….10分 令，则，∴，…………………………………11分 当且仅当时等号成立，此时，且满足，‎ ‎∴面积的最大值是，此时的斜率为…………………………….12分