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  • 2021-07-01 发布

数学文卷·2018届云南省昆明一中高三上学期第一次摸底测试数学(文)试题(解析版)

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昆明第一中学 2018 届高中新课标高三第一次摸底测试 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ,集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ,选 A. 2. 若对于变量 的取值为 3,4,5,6,7 时,变量 对应的值依次分别为 4.0,2.5,-0.5,-1, -2;若对于变量 的取值为 1,2,3,4 时,变量 对应的值依次分别为 2,3,4,6,则变量 和 ,变量 和 的相关关系是( ) A. 变量 和 是正相关,变量 和 是正相关 B. 变量 和 是正相关,变量 和 是负相关 C. 变量 和 是负相关,变量 和 是负相关 D. 变量 和 是负相关,变量 和 是正相关 【答案】D 【解析】变量 增加,变量 减少,所以变量 和 是负相关;变量 增加,变量 增加,所以 变量 和 是正相关,因此选 D. 3. 已知复数 为纯虚数(其中是虚数单位),则 的值为( ) A. 2 B. -2 C. D. 【答案】B 【解析】因为 ,所以 ,即 ,选 B. 4. 如图,正方形 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分,正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色 部分的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】概率为几何概型,测度为面积,设正方形边长为 2,则概率为: ,选 C. 5. 已知双曲线 的中心为原点,点 是双曲线 的一个焦点,点 到渐近线的距离为 1, 则 的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为点 到渐近线的距离为 1,所以 b=1,因为 c= ,所以 a=1,因此 的方程为 ,选 A. 6. 用一个平面去截正方体,则截面不可能是( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】如图可得等边三角形,正方形,正六边形,而如果是三角形,则为锐角三角形,因 此选 B. 7. 若 满足约束条件 ,则目标函数 的最小值为( ) A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 【答案】B 【解析】可行域如图,则直线过点 A(1,0)时取最小值 1,选 B. 8. 执行如图所示的程序框图,若输出 的值为 9,则判断框中可填入( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】模拟执行如图所示的程序框图知,该程序的功能是计算 , 选 A. 点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关 概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止 条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项. 9. 若函数 ,则函数 的零点个数是( ) A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 【答案】D 【解析】如图:函数 与函数 有 2 个交点,所以选 D. 10. 已知函数 ( ),且 ,当 取最小值时, 以下命题中假命题是( ) A. 函数 的图象关于直线 对称 B. 是函数 的一个零点 C. 函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到 D. 函数 在 上是增函数 【答案】C 【解析】 , 由 得 ,即 ,由 知 的最小值是 2,当 取得 最小值时, .由 可得出:函数 的图象关于直线 对 称,A 为真; 由 可得出: 是函数 的一个零点,B 为真; 将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象,所 以 C 为假; 由复合函数单调性可得 在 上是增函数,所以 D 为真,选 C. 【点睛】函数 的性质 (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴 (4)由 求增区间; 由 求减区间 11. 在 中, , , 边上的高为 2,则 的内切圆半径 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由 又由余弦定理 由 选 B. 点睛:1.选用正弦定理或余弦定理的原则 在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓 住能够利用某个定理的信息. 2.(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. (2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须判断 是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用. 12. 设 为坐标原点, 是以 为焦点的抛物线 ( )上任意一点, 是线段 上的点,且 ,则直线 的斜率的最大值为( ) A. B. C. D. 1 【答案】A 点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式 中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条 件)的条件才能应用,否则会出现错误. 第Ⅱ卷 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知向量 ,向量 , 与 共线,则 __________. 【答案】 . 【解析】因为 ,所以 ,所以 . 14. 函数 在 处的切线方程为__________. 【答案】 . 【解析】因为 ,所以切线的斜率 ,所以切线方程为 . 15. 已知 , ,则 __________. 【答案】7 【解析】由 得 ,所以 , 所以 所以 , . 16. 四面体 中, , , ,则四面 体 外接球的表面积为__________. 【答案】 . 【解析】由题意可采用割补法,考虑到四面体 的四个面为全等的三角形,所以可在 其每个面补上一个以 , , 为三边的三角形作为底面,分别以 x,y,z 为侧棱长且两 两垂直的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为 x,y,z 的长方体,并且 设球半径为 ,则有 所以球的表面积为 . 点睛: (1)补形法的应用思路:“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把几 何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何 体的体积等问题,常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形,对于还原补形,主要涉 及台体中“还台为锥”. (2)补形法的应用条件:当某些空间几何体是某一个几何体的一部分,且求解的问题直接求 解较难入手时,常用该法. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 17. 在等差数列 中,公差 ,前 5 项和 ,且 成等比数列. (1)求数列 的通项公式; (2)求 ( )的值. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)由条件列出关于首项与公差的方程组,解出公差与首项,再代人等 差数列通项公式即可(2)先求 得 ,再根据等比数列求和公式求值 试题解析:解:(1):据题意有 , 解得 , 所以数列 的通项公式为 ; (Ⅱ)由(1)得: , 所以 …… …… . 另解:设 ,则 , 所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列, 所以数列 的前 项和 . 18. 如图,在直三棱柱 中, , ,点 分别为 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若 ,求三棱锥 的体积.. 【答案】(1)见解析(2) 试题解析:解:(Ⅰ)证明:连接 , ,点 , 分别为 , 的中点,所以 为 △ 的一条中位线, 平面 , 平面 , 所以 平面 . (Ⅱ)设点 , 分别为 , 的中点, ,则 , , ,由 ,得 ,解得 ,又 平面 , , . 所以三棱锥 的体积为 . 19. 某市为了解本市 2 万名学生的汉字书写水平,在全市范围内进行了汉字听写考试,现从 某校随机抽取了 50 名学生,将所得成绩整理后,发现其成绩全部介于 之间,将其 成绩按如下分成六组,得到频数分布表 成绩 人数 4 10 16 10 6 4 (1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图; (2)估算该校 50 名学生成绩的平均值 和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表); (3)以该校 50 名学生成绩的频率作为概率,试估计该市分数在 的人数. 【答案】(1)见解析(2)平均值 68.2 中位数 66.875(3)4000 【解析】试题分析:(1)根据频率分布直方图纵坐标等于频率除以组距,再描线画图(2) 根据平均值等于组中值乘以对应概率的和,中位数对应概率为 0.5 分别计算平均值 和中位 数(3)根据频数等于总数乘以对应概率得分数在 的人数. 试题解析:解:(Ⅰ) (Ⅱ) ; 由已知可设中位数为 ,则 ; 所以 ,所求中位数为 . (Ⅲ)该市分数在 的人数 ,故所求人数为 人. 点睛:频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为 1; 频 率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面 积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 20. 已知中心在原点 ,焦点在 轴上的椭圆 过点 ,离心率为 . (1)求椭圆 的方程; (2)直线过椭圆 的左焦点 ,且与椭圆 交于 两点,若 的面积为 ,求直线的方 程. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)根据椭圆几何意义得 ,再根据离心率为 得 (2)设 直线点斜式方程,与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理以及弦长公式求底边 AB 长,再根 据点到直线距离公式得高,最后根据三角形面积公式列方程,解出直线斜率,注意验证斜率 不存在时是否满足题意 试题解析:解:(Ⅰ)设椭圆 的方程为: , 由已知: 得: , , 所以,椭圆 的方程为: . (Ⅱ)由已知直线过左焦点 . 当直线与 轴垂直时, , ,此时 , 则 ,不满足条件. 当直线与 轴不垂直时,设直线的方程为: 由 得 所以 , , 而 , 由已知 得 , , 所以 ,则 ,所以 , 所以直线的方程为: 或 . 21. 已知函数 , ,(其中 , 为自然对数的底数, ……). (1)令 ,求 的单调区间; (2)已知 在 处取得极小值,求实数 的取值范围. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析:(1)求导函数的导数得 ,再根据是否变号进行分类讨论 单调性:当 时,导函数不变号,为单调递增;当 时,导函数先负后正,对应单 调区间为先减后增(2)由题意得 ,结合(1)根据导函数 单调性分类讨论在 处是否为极小值:当 时, 在 附近先减后增,为极小值;当 时,按 与零大小关系进行二次讨论: , 单调递增; 在 附近先 减后增,为极小值;当 时, ,无极值; 时, 单调递 减; 在 附近先增后减,为极大值;综上可得实数 的取值范围. 试题解析:解: (Ⅰ) 因为 , 所以 , 当 时, , 的单调递增区间为 , 当 时,由 ,得 , 时, , 时, , 所以 的减区间为 ,增区间为 综上可得,当 时, 在 上单调递增 当 时, 的增区间为 ,减区间为 . (Ⅱ)由题意得 , , (1)当 时, 在 上单调递增, 所以当 时, , 当 时, , 所以 在 处取得极小值,符合题意. (2)当 时, , 由(Ⅰ)知 在 单调递增, 所以当 时, ,当 时, , 所以 在 处取得极小值,符合题意. (3)当 时,由(Ⅰ)知 在区间 单调递减, 在区间 单 调递增, 所以 在 处取得最小值,即 , 所以函数 在 上单调递增, 所以 在 处无极值,不符合题意. (4)当 时, ,由(Ⅰ)知 的减区间为 , 所以当 时, ,当 时, , 所以 在 处取得极大值,不符合题意, 综上可知,实数 的取值范围为 . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系中, 为极点,半径为 2 的圆 的圆心坐标为 . (1)求圆 的极坐标方程; (2)设直角坐标系的原点与极点 重合, 轴非负关轴与极轴重合,直线的参数方程为 (为参数),由直线上的点向圆 引切线,求切线长的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)先确定圆心直角坐标,再写出圆的标准方程,最后将直角坐标方程 化为极坐标方程(2)先根据加减消元法将直线的参数方程化为普通方程,再根据圆的几何 意义得切线长最小时,直线上的点与圆心连线垂直直线,最后根据点到直线距离公式以及切 线长公式求切线长最小值 试题解析:解:(Ⅰ)设 是圆上任意一点, 如图,连接 ,并延长与圆 交于点 , 当点 异于 , 时,连接 、 , 直角 △ 中, , 即 , 当点 与 , 重合时,也满足上式,所求圆 的极坐标方程为 . (Ⅱ)直线的普通方程为 ,圆心 到直线的距离为 , ,所以直线与圆 相离, 故切线长的最小值为 . 23. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 . (1)求不等式 的解集; 若不等式 解集非空,求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组,分别求解集, 最后求并集(2)根据绝对值三角不等式得 的最小值为 ,再解一元二次不等式得实数 的取值范围. 试题解析:解:(Ⅰ)由 可化为: 或 或 解得: 或 或 ,所以,不等式解集为 . (Ⅱ)因为 所以 ,即 的最小值为 , 要不等式 解集非空,需 , 从而 ,解得 或 , 所以 的取值范围为 . 点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值 的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活 应用,这是命题的新动向