2020-2021年新高三数学一轮复习考点：不等关系与不等式 7页

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点：不等关系与不等式 本部分很少在高考题目中出现，而作为作差法在导数中比较经常，用的比较频繁，其解题思路是，首先 进行作差，然后比较大小。 一、比较两个数(式)的大小； 二、不等式的基本性质； 三、不等式及其性质的应用。 【易错警示】 1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的 主要步骤为作差——变形——判断正负. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定 条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 3.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法 可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质； 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围. 4.求解参数范围问题时，先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次 性”不等关系的运算求解范围. 比较两个数(式)的大小 1.比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小关系；④结论． 2.两个实数比较大小的方法 (1)作差法   a－b>0⇔a>b， a－b＝0⇔a＝b， a－b<0⇔a1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0）， a b＝1⇔a＝b（a，b≠0）， a b<1（a∈R，b>0）⇔a0）. 1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法 把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小 关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小. 【典例】 例 1 (1)若 a<0，b<0，则 p＝b2 a ＋a2 b 与 q＝a＋b 的大小关系为( ) A．pq D．p≥q 答案 B 解析 (作差法)p－q＝b2 a ＋a2 b －a－b ＝b2－a2 a ＋a2－b2 b ＝(b2－a2)· 1 a－1 b ＝b2－a2b－a ab ＝b－a2b＋a ab ， 因为 a<0，b<0，所以 a＋b<0，ab>0. 若 a＝b，则 p－q＝0，故 p＝q； 若 a≠b，则 p－q<0，故 pb>0，比较 aabb 与 abba 的大小． 解 ∵aabb abba＝aa－b ba－b＝ a b a－b， 又 a>b>0，故a b>1，a－b>0， ∴ a b a－b>1，即aabb abba>1， 又 abba>0，∴aabb>abba， ∴aabb 与 abba 的大小关系为 aabb>abba. 不等式的基本性质 不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒ n a＞ n b(n∈N，n≥2). 【拓展延伸】等式的性质 (1)对称性：若 a＝b，则 b＝a. (2)传递性：若 a＝b，b＝c，则 a＝c. (3)可加性：若 a＝b，则 a＋c＝b＋c. (4)可乘性：若 a＝b，则 ac＝bc；若 a＝b，c＝d，则 ac＝bd. 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式 是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小 时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进 行判断. 【易错警示】 1.判断不等式的常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判 断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 2.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变. 3.有关分数的性质 (1)若 a>b>0，m>0，则b ab－m a－m(b－m>0). (2)若 ab>0，且 a>b⇔1 a<1 b. 【典例】 例 1 (1)(2020·武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是( ) A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 a>b，cb d C．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d D．若 ab>0，a>b，则1 a<1 b 答案 D 解析 对于 A 选项，当 c＝0 时，不成立，故 A 选项错误；当 a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1 时，a c|a＋b| 答案 ABC 解析 由题意可知 bac B.c(b－a)<0 C.cb20 (2)(一题多解)若1 a＜1 b＜0，给出下列不等式：① 1 a＋b＜ 1 ab；②|a|＋b＞0；③a－1 a＞b－1 b；④ln a2 ＞ln b2.其中正确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 解析 (1)由 c0. 由 b>c，得 ab>ac 一定成立. (2)法一 因为1 a＜1 b＜0，故可取 a＝－1，b＝－2. 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为 ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0， 所以④错误.综上所述，可排除 A，B，D. 法二 由1 a＜1 b＜0，可知 b＜a＜0.①中，因为 a＋b＜0，ab＞0，所以 1 a＋b＜0， 1 ab＞0.故有 1 a＋b ＜ 1 ab，即①正确； ②中，因为 b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误； ③中，因为 b＜a＜0，又1 a＜1 b＜0，则－1 a＞－1 b＞0， 所以 a－1 a＞b－1 b，故③正确； ④中，因为 b＜a＜0，根据 y＝x2 在(－∞，0)上为减函数，可得 b2＞a2＞0，而 y＝ln x 在定义 域(0，＋∞)上为增函数，所以 ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C 不等式及其性质的应用 判断不等式是否成立的方法 ①逐一给出推理判断或反例说明． ②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 【知识拓展】 求代数式的取值范围 一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． .解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于” 等，从而建立相应的方程或不等式模型. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的 性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所 求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【典例】 角度 1 不等式在实际问题中的应用 【例 1－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________. 解析 令男学生、女学生、教师人数分别为 x，y，z，且 2z>x>y>z，①若教师人数为 4，则 4