高中数学选修2-2教学课件第一章 习题课2 29页

习题 课 　 数学归纳法 明目标 知重点 填要点 记疑点 探题型 提能力 内容 索引 01 02 03 04 1. 进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题 . 2. 掌握证明 n ＝ k ＋ 1 成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等 . 明目标 、知重点 填 要点 · 记疑点 1. 归纳法 归纳法是一 种 的 推理方法， 分 __________ 和 两种 ，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明 . 由特殊到一般 完全归纳法 不完全归纳法 2. 数学归纳法 (1) 应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些 与 有关 的数学命题； (2) 基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3) 注意点：在第二步归纳递推时，从 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 必须用上归纳假设 . 正 整 数 n 探题型 · 提能力 题型一　利用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明 n ＝ k ＋ 1 时的结论 . 例 1 　 已知数列 { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n ，求证：对任意的 n ∈ N ＋ ， 不等式 都 成立 . (2) 假设当 n ＝ k ( k ≥ 1 且 k ∈ N ＋ ) 时不等式成立， 所以当 n ＝ k ＋ 1 时， 不等式也成立 . 反思与感悟　 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标 . 在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用 . (2) 假设 n ＝ k ( k ≥ 2 ， k ∈ N ＋ ) 时，不等式成立， 则当 n ＝ k ＋ 1 时， 所以当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式也成立 . 由 (1)(2) 可得，对任意 n ≥ 2 的正整数，不等式都成立 . 题型二　利用数学归纳法证明整除问题 例 2 　 求证： a n ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 n － 1 能被 a 2 ＋ a ＋ 1 整除， n ∈ N ＋ . 证明　 (1) 当 n ＝ 1 时， a 1 ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 × 1 － 1 ＝ a 2 ＋ a ＋ 1 ， 命题显然成立 . (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 时， a k ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 k － 1 能被 a 2 ＋ a ＋ 1 整除，则 当 n ＝ k ＋ 1 时， a k ＋ 2 ＋ ( a ＋ 1) 2 k ＋ 1 ＝ a · a k ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 ·( a ＋ 1) 2 k － 1 ＝ a [ a k ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 k － 1 ] ＋ ( a ＋ 1) 2 ·( a ＋ 1) 2 k － 1 － a ( a ＋ 1) 2 k － 1 ＝ a [ a k ＋ 1 ＋ ( a ＋ 1) 2 k － 1 ] ＋ ( a 2 ＋ a ＋ 1)·( a ＋ 1) 2 k － 1 . 由归纳假设，上式中的两项均能被 a 2 ＋ a ＋ 1 整除， 故 n ＝ k ＋ 1 时命题成立 . 由 (1)(2) 知，对任意 n ∈ N ＋ ，命题成立 . 反思与感悟　 证明整除性问题的关键是 “ 凑项 ” ，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成 n ＝ k 时的情形，再利用归纳假设使问题获证 . 跟踪训练 2 　 证明： x 2 n － 1 ＋ y 2 n － 1 ( n ∈ N ＋ ) 能被 x ＋ y 整除 . 证明　 (1) 当 n ＝ 1 时， x 2 n － 1 ＋ y 2 n － 1 ＝ x ＋ y ，能被 x ＋ y 整除 . (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 时，命题成立， 即 x 2 k － 1 ＋ y 2 k － 1 能被 x ＋ y 整除 . 那么当 n ＝ k ＋ 1 时， x 2( k ＋ 1) － 1 ＋ y 2( k ＋ 1) － 1 ＝ x 2 k ＋ 1 ＋ y 2 k ＋ 1 ＝ x 2 k － 1 ＋ 2 ＋ y 2 k － 1 ＋ 2 ＝ x 2 · x 2 k － 1 ＋ y 2 · y 2 k － 1 ＋ x 2 · y 2 k － 1 － x 2 · y 2 k － 1 ＝ x 2 ( x 2 k － 1 ＋ y 2 k － 1 ) ＋ y 2 k － 1 ( y 2 － x 2 ). ∵ x 2 k － 1 ＋ y 2 k － 1 能被 x ＋ y 整除， y 2 － x 2 ＝ ( y ＋ x )( y － x ) 也能被 x ＋ y 整除， ∴ 当 n ＝ k ＋ 1 时， x 2( k ＋ 1) － 1 ＋ y 2( k ＋ 1) － 1 能被 x ＋ y 整除 . 由 (1) ， (2) 可知原命题成立 . 题型三　利用数学归纳法证明几何问题 用数学归纳法证明几何问题的关键是 “ 找项 ” ，即几何元素从 k 个变成 k ＋ 1 个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将 n ＝ k ＋ 1 和 n ＝ k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 . 例 3 　 平面内有 n ( n ∈ N ＋ ， n ≥ 2) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数 f ( n ) ＝ . 证明　 (1) 当 n ＝ 2 时，两条直线的交点只有一个， ∴ 当 n ＝ 2 时，命题成立 . (2) 假设 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ， n ≥ 2) 时，命题成立， 即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数 那么，当 n ＝ k ＋ 1 时， 任取一条直线 l ，除 l 以外其他 k 条直线交点个数为 l 与其他 k 条直线交点个数为 k ， 从而 k ＋ 1 条直线共有 f ( k ) ＋ k 个交点， 由 (1)(2) 可知，对任意 n ( n ∈ N ＋ ， n ≥ 2) 命题都成立 . 反思与感悟　 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明 . 跟踪训练 3 　 有 n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 f ( n ) ＝ n 2 － n ＋ 2 部分 . 证明　 (1) n ＝ 1 时，分为 2 块， f (1) ＝ 2 ，命题成立； (2) 假设 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 时，被分成 f ( k ) ＝ k 2 － k ＋ 2 部分； 那么当 n ＝ k ＋ 1 时，依题意， 第 k ＋ 1 个圆与前 k 个圆产生 2 k 个交点 ， 第 k ＋ 1 个圆被截为 2 k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分 ，所以 平面上净增加了 2 k 个区域 . 所以 f ( k ＋ 1) ＝ f ( k ) ＋ 2 k ＝ k 2 － k ＋ 2 ＋ 2 k ＝ ( k ＋ 1) 2 － ( k ＋ 1) ＋ 2 ， 即 n ＝ k ＋ 1 时命题成立，由 (1)(2) 知命题成立 . 呈 重点、现 规律 1. 数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等 . 2. 证明问题的初始值 n 0 是不确定的，可根据题目要求和问题实际确定 n 0 . 3. 从 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 要搞清 “ 项 ” 的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看