【数学】2020届一轮复习人教B版选修4－1　几何证明选讲学案 13页

‎ ‎ 选修4－1　几何证明选讲 ‎1．平行线截割定理与相似三角形 了解平行线截割定理，理解相似三角形的判定和性质定理，了解直角三角形射影定理．‎ ‎2．圆的初步 ‎(1)理解圆周角定理，理解圆的切线的判定和性质定理及弦切角定理．‎ ‎(2)理解相交弦定理、割线定理、切割线定理．‎ ‎(3)理解圆内接四边形的判定与性质定理．‎ 知识点一　平行线截割定理与相似三角形 ‎1．平行线的截割定理 ‎(1)平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．‎ 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．‎ 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．‎ ‎(2)平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．‎ ‎2．相似三角形的判定定理 ‎(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．‎ ‎(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．‎ ‎(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．‎ ‎3．相似三角形的性质定理 ‎(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．‎ ‎(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．‎ ‎4．直角三角形相似的判定定理 ‎(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．‎ ‎(2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．‎ ‎(3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．‎ ‎5．直角三角形射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．‎ 易误提醒　‎ ‎1．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误．‎ ‎2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．‎ ‎3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．‎ ‎[自测练习]‎ ‎1.(2018·鞍山模拟)如图，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶FD的值为________．‎ 解析：因为AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，所以BE∶AD＝2∶5，因为AD∥BC，所以BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5，即BF∶FD＝.‎ 答案： ‎2.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．‎ 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵＝2，∴＝，‎ ‎∴＝，故＝.‎ 答案： ‎3.在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD的值为________．‎ 解：由射影定理得CD2＝AD·BD，‎ 又BD∶AD＝1∶9，‎ 令BD＝x，则AD＝9x(x>0)．‎ ‎∴CD2＝9x2，CD＝3x.‎ Rt△CDB中 ，tan∠BCD＝＝＝.‎ 答案： 知识点二　圆的初步 ‎1．圆周角 ‎(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎(2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等；‎ ‎②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．‎ ‎(3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角；‎ ‎②90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎2．圆的切线 ‎(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ ‎(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．‎ ‎3．弦切角定理及其推论 ‎(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．‎ ‎(2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．‎ ‎4．圆中的比例线段 ‎(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等．‎ ‎(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ ‎(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，‎ 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．‎ 易误提醒　‎ ‎1．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，要注意角之间关系，易于混淆导致错误．‎ ‎2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．‎ ‎[自测练习]‎ ‎4.如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC＝2，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．‎ 解析：过B作⊙O的直径BA，连接AC(图略)，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴半径OA＝2，∴S＝πr2＝4π.‎ 答案：4π ‎5.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．‎ 解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.‎ 答案：2‎ 考点一　平行线分线段成比例定理的应用|‎ ‎1.如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝，求△DEF的边长．‎ 解：设DE＝x，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，又DE∥BC，则＝＝，所以＝＝，解得x＝.‎ ‎2.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，求的值．‎ 解：如图，过点D作DM∥AF交BC于点M.‎ ‎∵点E是BD的中点，‎ ‎∴在△BDM中，BF＝FM.‎ 又点D是AC的中点，‎ ‎∴在△CAF中，CM＝MF，‎ ‎∴＝＝.‎ 平行线分线段成比例定理及推论的应用 ‎(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．‎ ‎(2)解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．‎ ‎　　‎ 考点二　相似三角形的判定及性质|‎ ‎1．如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.‎ 证明：在△AFH与△GFB中，‎ 因为∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，所以∠H＝∠GBF.‎ 因为∠AFH＝∠BFG＝90°，所以△AFH∽△GFB，所以＝，‎ 所以AF·BF＝GF·HF.‎ 因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，所以DF2＝AF·BF.所以DF2＝GF·HF.‎ ‎2.如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F，交CB的延长线于点N.若AE＝2，AD＝6，求的值．‎ 解：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CNF，‎ ‎∴＝，∴＝.‎ ‎∵M为AB的中点，∴＝＝1，∴AE＝BN，‎ ‎∴＝＝＝.‎ ‎∵AE＝2，BC＝AD＝6，∴＝＝.‎ ‎3.如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．‎ 求证：AF·AC＝BG·BE.‎ 证明：因为CD垂直平分AB，‎ 所以∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝DB.‎ 在Rt△ADC中，因为DF⊥AC，所以AD2＝AF·AC.同理BD2＝BG·BE.所以AF·AC＝BG·BE.‎ ‎1．证明相似三角形的一般思路 ‎(1)先找两对内角对应相等；‎ ‎(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；‎ ‎(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．‎ ‎2．注意射影定理的其他变式．‎ ‎　　‎ ‎　考点三　圆中有关定理及推论的应用|‎ ‎　(1)(2018·高考湖北卷)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC＝3PB，则＝________.‎ ‎[解析]　因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，由切割线定理，知PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)．因为BC＝3PB，所以PA2＝4PB2，即PA＝2PB.由△PAB∽△PCA，所以＝＝.‎ ‎[答案]　 ‎(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.‎ ‎①若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；‎ ‎②若OA＝CE，求∠ACB的大小．‎ ‎[解]　①证明：如图，连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.‎ 在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.‎ 连接OE，则∠OBE＝∠OEB.‎ 又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，‎ 故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．‎ ‎②设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝.‎ 由射影定理可得，AE2＝CE·BE，‎ 所以x2＝，即x4＋x2－12＝0.‎ 可得x＝，所以∠ACB＝60°.‎ ‎(1)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．‎ ‎(2)与圆有关的比例线段解题思路：‎ ‎①见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理．‎ ‎②见到圆的两条割线就要想到割线定理．‎ ‎③见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．‎ ‎　　‎ ‎　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．(2018·高考重庆卷)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.‎ 解析：由切割线定理，知PA2＝PC·PD，即62＝3PD，解得PD＝12，所以CD＝PD－PC＝9，所以CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知AE·BE＝CE·ED，即9BE＝6×3，解得BE＝2.‎ 答案：2‎ ‎2．如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2的另一交点为G.‎ ‎(1)求证：A、E、G、F四点共圆；‎ ‎(2)若AG切⊙O2于G，求证：∠AEF＝∠ACG.‎ 证明：(1)如图，连接GD，‎ 四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，⊙O2，‎ ‎∴∠AEG＝∠BDG，∠AFG＝∠CDG，‎ 又∠BDG＋∠CDG＝180°，‎ ‎∴∠AEG＋∠AFG＝180°，‎ ‎∴A、E、G、F四点共圆．‎ ‎(2)∵A、E、G、F四点共圆，∴∠AEF＝AGF，‎ ‎∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.‎ ‎　　32.四点共圆的证明方法 ‎【典例】　如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.‎ ‎(1)求证：BE·DE＋AC·CE＝CE2；‎ ‎(2)若D是BE的中点，证明E，F，C，B四点共圆．‎ ‎[思路点拨]　(1)利用割线定理易证；(2)本题已知AB是⊙O的直径，可得到线段相等，利用四个点到一定点的距离相等证明四点共圆．‎ ‎[解]　(1)证明：由割线定理得EA·EC＝DE·BE，‎ 所以BE·DE＋AC·CE＝EA·CE＋AC·CE＝CE2，‎ 所以BE·DE＋AC·CE＝CE2.‎ ‎(2)连接CB，CD，FD.‎ 因为AB是⊙O的直径，‎ 所以∠ECB＝90°，‎ 所以CD＝EB.‎ 因为EF⊥BF，‎ 所以FD＝BE.‎ 所以E，F，C，B四点到点D的距离相等．‎ 所以E，F，C，B四点共圆．‎ ‎[方法点评]　四点共圆的证明方法：‎ ‎(1)若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆．‎ ‎(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．‎ ‎(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．‎ ‎(5)若AB，CD两线段相交于点P，且PA·PB＝PC·PD，则A，B，C，D四点共圆．‎ ‎(6)若AB，CD两线段延长后相交于点P，且PA·PB＝PC·PD，则A，B，C，D四点共圆．‎ ‎(7)若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆．‎ ‎[跟踪练习]　如图，点F是△ABC外接圆上的中点，点D，E在边AC上，使得AD＝AB，BE＝EC.‎ 证明：B，E，D，F四点共圆．‎ 证明：如图，连接FC，FB，则FC＝FB.连接EF，则△CEF≌△BEF，所以∠BFE＝∠CFE.因为A，B，F，C共圆，所以∠CAB＋∠CFB＝180°，所以∠CAB＋2∠BFE＝180°.连接BD，因为AB＝AD，所以∠ABD＝∠ADB，所以∠CAB＋2∠ADB＝180°.所以∠ADB＝∠BFE.所以B，E，D，F四点共圆．‎ A组　考点能力演练 ‎1.(2018·大连模拟)如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．‎ 解：因为AE∥BC，D为AC的中点，‎ 所以AE＝CF，＝＝.‎ 设AE＝x，又BC＝8，‎ 所以＝，3x＝x＋8，所以x＝4.‎ 所以AE＝4.‎ ‎2.(2018·洛阳模拟)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.‎ ‎(1)证明：A，E，F，M四点共圆；‎ ‎(2)证明：AC2＋BF·BM＝AB2.‎ 证明：(1)连接AM(图略)，则∠AMB＝90°.‎ ‎∵AB⊥CD，∴∠AEF＝90°.‎ ‎∴∠AMB＋∠AEF＝180°，即A，E，F，M四点共圆．‎ ‎(2)连接AC，CB(图略)．由A，E，F，M四点共圆，‎ 得BF·BM＝BE·BA.‎ 在Rt△ACB中，BC2＝BE·BA，AC2＋CB2＝AB2，∴AC2＋BF·BM＝AB2.‎ ‎3.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E，F分别在AB，AC，BC上，AE＝AC，BD＝AB，且CF＝BC.‎ 求证：(1)EF⊥BC；‎ ‎(2)∠ADE＝∠EBC.‎ 证明：设AB＝AC＝3a，‎ 则AE＝BD＝a，CF＝a.‎ ‎(1)＝＝，＝＝.‎ 又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，‎ 由∠BAC＝90°得∠EFC＝90°，故EF⊥BC.‎ ‎(2)由(1)得EF＝·AB＝a，‎ 故＝＝，＝＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴△ADE∽△FBE，‎ 所以∠ADE＝∠EBC.‎ ‎4.(2018·兰州双基)如图，在正△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于点P.求证：‎ ‎(1)四点P，D，C，E共圆；‎ ‎(2)AP⊥CP.‎ 证明：(1)在正△ABC中，由BD＝BC，CE＝CA，知：△ABD≌△BCE，‎ ‎∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝π，‎ ‎∴四点P，D，C，E共圆．‎ ‎(2)连接DE(图略)，在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由正弦定理知∠CED ‎＝90°，‎ 由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC＝∠DEC，∴AP⊥CP.‎ ‎5.如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD.‎ ‎(1)求证：l是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长．‎ 解：(1)证明：连接OP，∵AC⊥l，BD⊥l，∴AC∥BD.‎ 又OA＝OB，PC＝PD，‎ ‎∴OP∥BD，从而OP⊥l.‎ ‎∵点P在⊙O上，∴l是⊙O的切线．‎ ‎(2)由(1)可知OP＝(AC＋BD)，‎ ‎∴BD＝2OP－AC＝10－4＝6.‎ 过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE＝BD－AC＝6－4＝2.‎ ‎∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4.‎ ‎∴CD＝4.‎ B组　高考题型专练 ‎1．(2018·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E；‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ 证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.‎ 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.‎ ‎(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.‎ 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．‎ ‎2.(2018·高考湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：‎ ‎(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；‎ ‎(2)FE·FN＝FM·FO.‎ 证明：(1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，‎ 即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.‎ ‎(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.‎ ‎3．(2018·高考陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.‎ ‎(1)证明：∠CBD＝∠DBA；‎ ‎(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径．‎ 解：(1)证明：因为DE为⊙O的直径，‎ 则∠BED＋∠EDB＝90°，‎ 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，‎ 从而∠CBD＝∠BED.‎ 又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，‎ 所以∠CBD＝∠DBA.‎ ‎(2)由(1)知BD平分∠CBA，‎ 则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3.‎ 所以AC＝＝4，所以AD＝3.‎ 由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.‎ ‎4.(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．‎ ‎(1)证明：EF∥BC；‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．‎ 解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．‎ 又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.‎ ‎(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．‎ 又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．‎ 连接OE，OM，则OE⊥AE.‎ 由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．‎ 因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.‎ 因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.‎ 于是AD＝5，AB＝.‎ 所以四边形EBCF的面积为×2×－×(2)2×＝.‎