【数学】2019届一轮复习人教A版运用an=Sn-Sn-1忽略n≥2学案 13页

专题五 数列 误区二 运用忽略 一、易错提醒 数列是特殊的函数,一个数列不一定具有通项公式,但具有通项公式的数列的有关性质可以通过对其通项公式的研究而得到,因此数列通项公式的求法尤为重要,运用是常用的求的方法,但一定要注意条件,且.‎ 二、典例精析 ‎(一) 通项用分段函数表示 ‎ 【例1】设数列的前项和为. 已知.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足,求的前项和.‎ ‎【分析】利用求,要记住验证是否满足.‎ ‎【解析】（1）因为,所以,故．‎ 当时,,此时,即,‎ 所以．‎ ‎（2）因为,所以．‎ 当时,,所以；‎ 当时, ①‎ 所以 ②‎ 式①－式②得 ‎ ]‎ ‎,所以．经检验,时也适合．‎ 综上可得．‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. = ‎ ‎【点评】若已知数列的前项和的表达式,则可根据和的关系（）求解数列的通项公式,注意成立的前提是,要注意验证时通项公式是否成立,若成立,则通项公式为,若不成立,则通项公式为.‎ ‎【小试牛刀】已知数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5,则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝2n＋1 B．an＝C．an＝2n D．an＝2n＋2‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】下标为n－1时,忽略n≥2,没有进行讨论,没有分段写an.‎ ‎ (二) 通项不用分段函数表示 ‎【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an＋(－1)nan,求数列{bn}的前2n项和．‎ ‎【分析】本题易出现以下错误 ‎ 易错点一 忘记an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2,没讨论n＝1的情况；[ . . ]‎ 易错点二 找不出通项公式的规律,bn实为两部分构成,采用分组求和,T2n＝(2＋22＋…＋22n)＋[－1＋2－3＋4－…－(2n－1)＋2n]；‎ 易错点三 不会并项求和,－1＋2－3＋4－…－(2n－1)＋2n＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.‎ ‎【解析】　(1)当n＝1时,a1＝S1＝1；‎ 当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝－＝n.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝n.‎ ‎【点评】由Sn和an的关系求通项的注意问题 ‎(1)应重视分类讨论的思想,分n＝1和n≥2两种情况讨论．当n＝1时,a1不适合an的情况要分开写,即an＝ ‎(2)要注意an和Sn互化具有双向性,既可由an化为Sn,也可由Sn求an.‎ ‎【小试牛刀】【广东湛江市2017届高三上 期期中调研考试】已知数列的前项和为.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若恰好依次为等比数列的第一、第二、第三项,求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时,.‎ 当时,.‎ 检验时,上式符合.‎ ‎∴. - ‎ ‎（Ⅱ）由题知成等比数列,‎ ‎,‎ 即,解得.‎ ‎,公比.‎ ‎,‎ ‎∴[ | | |X|X| ]‎ ‎.‎ 即 上式两边乘以,得 得 ‎.‎ 三、迁移运用 ‎1.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】已知数列的前项和,则““是“数列是等比数列”的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎2.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】等差数列的前项和为,且,若存在自然数,使得,则当时,与的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．大小不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得公差,且,所以当时,,所以,选C.‎ ‎3. 若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn＝,则＝(　　)‎ A. B. C. D．30‎ ‎【答案】D ‎【解析】当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝－＝,∴＝5×(5＋1)＝30.‎ ‎4. 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1＝1,Sn＝2an＋1,则Sn＝(　　)‎ A．2n－1 B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】∵Sn＝2an＋1,∴当n≥2时,Sn－1＝2an,‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2),‎ 即＝(n≥2),‎ 又a2＝,∴an＝×(n≥2)．‎ 当n＝1时,a1＝1≠×＝,‎ ‎∴‎ ‎∴Sn＝2an＋1＝2××.‎ ‎5.【辽宁省抚顺市2018届高三3月高考模拟】已知数列的前项和为，且，，则的值为_________．‎ ‎【答案】384‎ ‎【解析】∵，∴，则 ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴不满足式 ‎∴‎ ‎∴，故答案为.‎ ‎6．【河北省石家庄2018届高三教 质量检测】已知数列的前项和，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时,,当时,,所以,当时,当为大于的偶数时,为递减数列;当为大于的奇数时为负数,且为递增数列,即的长度不断减小,要使得成立,则需,故填.‎ ‎7．【天津市耀华中 2018届高三12月月考】已知数列的前项和，且，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，①‎ ‎，②‎ ‎①②得，（）．‎ 即．‎ 当时．．‎ 解得．‎ ‎∴．‎ ‎8．【湖南省怀化市2018届高三上 期期末】已知数列的前项之和为，满足，，则数列的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知，故得到 两式做差得到 两侧式子变形为 ‎ 累加得到 ‎ ‎ .‎ 故答案为 .‎ ‎9.设数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*满足2Sn＝an(an＋1),且an≠0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n.‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)得cn＝ 所以T2n＝(2＋4＋…＋2n)＋3×(21＋23＋…＋22n－1)＋n ‎＝n(n＋1)＋3×＋n ‎＝22n＋1＋n2＋2n－2.‎ ‎10.在数列中,, 求数列的通项.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵ ‎ ‎∴, 】‎ 两式相减得 ,∴,‎ 又,,‎ ‎∴（）,‎ 又当时,,故 . ‎ ‎11.已知数列{an}的前n项和为Sn,常数λ>0,且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设a1>0,λ＝100.当n为何值时,数列的前n项和最大？‎ ‎【解析】　(1)取n＝1,得λa＝2S1＝2a1,a1(λa1－2)＝0.‎ 若a1＝0,则Sn＝0,当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0,‎ 所以an＝0.‎ 若a1≠0,则a1＝,当n≥2时,2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1,‎ 两式相减得2an－2an－1＝an,‎ 所以an＝2an－1(n≥2),从而数列{an}是等比数列,‎ 所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.‎ 综上,当a1＝0时,an＝0；‎ 当a1≠0时,an＝.‎ ‎(2)当a1>0且λ＝100时,令bn＝lg ,‎ 由(1)知bn＝lg＝2－nlg 2.‎ 所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)．‎ b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0,‎ 当n≥7时,bn≤b7＝lg＝lg