2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版） 第七章 立体几何与空间向量 第3节 直线平面平行的判定及性质 15页

第3节　直线、平面平行的判定及性质 考试要求　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线与平面平行 ‎(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α，‎ a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β，‎ α∩β＝b⇒a∥b ‎2.平面与平面平行 ‎(1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，‎ a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 α∥β，a⊂α⇒a∥β 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，‎ β∩γ＝b⇒a∥b ‎[微点提醒]‎ 平行关系中的三个重要结论 ‎(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.‎ ‎(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. ‎ ‎(3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(　　)‎ ‎(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　　)‎ ‎(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　)‎ ‎(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　)‎ 解析　(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.‎ ‎(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.‎ ‎(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(必修2P61A1(2)改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(　　)‎ A.直线a上有无数个点不在平面α内 B.直线a与平面α内的所有直线平行 C.直线a与平面α内无数条直线不相交 D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交 解析　因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.‎ 答案　D ‎3.(必修2P61A1(1)改编)下列命题中正确的是(　　)‎ A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 解析　根据线面平行的判定与性质定理知，选D.‎ 答案　D ‎4.(2018·长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A.m∥α，n∥α，则m∥n B.m∥n，m∥α，则n∥α C.m⊥α，m⊥β，则α∥β D.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 解析　A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D错.‎ 答案　C ‎5.(2019·济宁月考)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)‎ A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线 解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.‎ 答案　A ‎6.(2019·北京十八中开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.‎ 解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，‎ 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，‎ 平面EFGH∩平面DCGH＝HG，‎ ‎∴EF∥HG.同理EH∥FG，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形.‎ 答案　平行四边形 考点一　与线、面平行相关命题的判定 ‎【例1】 (1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)‎ A.若a⊥c，b⊥c，则a∥b B.若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b C.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D.若α∥β，a⊂α，则a∥β ‎(2)(2019·聊城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　)‎ 解析　(1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；‎ 对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；‎ 对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；‎ 对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题.‎ ‎(2)在B中，如图，连接MN，PN，‎ ‎∵A，B，C为正方体所在棱的中点，‎ ‎∴AB∥MN，AC∥PN，‎ ‎∵MN∥DE，PN∥EF，‎ ‎∴AB∥DE，AC∥EF，‎ ‎∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，‎ AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，‎ ‎∴平面ABC∥平面DEF.‎ 答案　(1)D　(2)B 规律方法　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.‎ ‎2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.‎ ‎(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.‎ ‎【训练1】 (1)下列命题正确的是(　　)‎ A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 ‎(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且 BP＝BD1，则下面说法正确的是________(填序号).‎ ‎①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.‎ 解析　(1)A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C正确.‎ ‎(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，‎ 易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的.‎ 对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.‎ 所以C1Q∥平面APC是正确的.‎ 对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.‎ 对于④，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的.‎ 答案　(1)C　(2)②③‎ 考点二　直线与平面平行的判定与性质多维探究 角度1　直线与平面平行的判定 ‎【例2－1】 (2019·东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.‎ ‎(1)证明：EF∥平面PDC；‎ ‎(2)求点F到平面PDC的距离.‎ ‎(1)证明　取PC的中点M，连接DM，MF，‎ ‎∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝CB，‎ ‎∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴DE∥CB，DE＝CB，‎ ‎∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，‎ ‎∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，‎ ‎∴EF∥平面PDC.‎ ‎(2)解　∵EF∥平面PDC，‎ ‎∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，‎ ‎∴CB⊥PB，则PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，‎ ‎∴△PDC为直角三角形，‎ ‎∴S△PDC＝×1×＝.‎ 连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，‎ ‎∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，‎ 则×h×＝×1×××1，∴h＝，‎ ‎∴点F到平面PDC的距离为.‎ 角度2　直线与平面平行性质定理的应用 ‎【例2－2】 (2018·上饶模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.‎ ‎(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；‎ ‎(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.‎ 解　(1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B· DA＝××2×2×2＝.‎ ‎(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：‎ 因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.‎ 又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.‎ 又E为DD1的中点，则G为CD的中点.‎ 故BG∥B1F，BG就是所求直线.‎ 规律方法　1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.‎ ‎2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.‎ ‎【训练2】 (2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.‎ 求证：(1)EF∥平面ABC；‎ ‎(2)AD⊥AC.‎ 证明　(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，‎ 则AB∥EF.‎ ‎∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，‎ ‎∴EF∥平面ABC.‎ ‎(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，‎ ‎∴BC⊥平面ABD.‎ ‎∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.‎ 又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，‎ ‎∴AD⊥平面ABC，‎ 又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.‎ 考点三　面面平行的判定与性质　典例迁移 ‎【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.‎ 又∵B1C1∥BC，‎ ‎∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.‎ ‎(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，‎ ‎∴A1G綉EB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎【迁移探究1】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.‎ 证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，‎ ‎∵四边形A1ACC1是平行四边形，‎ ‎∴M是A1C的中点，连接MD，‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴A1B∥DM.‎ ‎∵A1B⊂平面A1BD1，‎ DM⊄平面A1BD1，‎ ‎∴DM∥平面A1BD1，‎ 又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，‎ ‎∴四边形BDC1D1为平行四边形，‎ ‎∴DC1∥BD1.‎ 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，‎ ‎∴DC1∥平面A1BD1，‎ 又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，‎ 因此平面A1BD1∥平面AC1D.‎ ‎【迁移探究2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值.‎ 解　连接A1B交AB1于O，连接OD1.‎ 由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则＝＝1.‎ 又由题设＝，‎ ‎∴＝1，即＝1.‎ 规律方法　1.判定面面平行的主要方法 ‎(1)利用面面平行的判定定理.‎ ‎(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).‎ ‎2.面面平行条件的应用 ‎(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.‎ ‎(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.‎ 提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.‎ ‎【训练3】 (2019·南昌二模)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.‎ ‎(1)确定点E，F的位置，并说明理由；‎ ‎(2)求三棱锥F－DCE的体积.‎ 解　(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以CE∥AD，又AB∥DC，‎ 所以四边形AECD是平行四边形，‎ 所以DC＝AE＝AB，‎ 即点E是AB的中点.‎ 因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，‎ 所以EF∥PA，又点E是AB的中点，‎ 所以点F是PB的中点.‎ 综上，E，F分别是AB，PB的中点.‎ ‎(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，‎ 所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，‎ 所以PE⊥平面ABCD.‎ 又AB∥CD，AB⊥AD，‎ 所以VF－DEC＝VP－DEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.转化思想：三种平行关系之间的转化 其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.‎ ‎2.直线与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.‎ ‎3.平面与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.‎ ‎2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.‎ ‎3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.‎ ‎4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)‎ A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α与直线l至少有两个公共点 D.α内的直线与l都相交 解析　因为l⊄α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线.‎ 答案　B ‎2.(2019·大连双基测试)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)‎ A.l⊂α，m⊂β，α∥β B.α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m C.l∥α，m⊂α D.l⊂α，α∩β＝m 解析　选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交.故选B.‎ 答案　B ‎3.(2018·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)‎ A.异面 　　 B.平行 C.相交 　　 D.以上均有可能 解析　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，‎ ‎∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，‎ ‎∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.‎ 答案　B ‎4.(2018·重庆六校联考)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)‎ A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 解析　对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.‎ 答案　D ‎5.(2019·青岛模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　)‎ A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条 解析　如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.‎ ‎∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，‎ ‎∴EF∥平面BCD.‎ 又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，‎ ‎∴EF∥CD.‎ 又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.‎ ‎∴CD∥平面EFGH，‎ 同理，AB∥平面EFGH，‎ 所以与平面α(面EFGH)平行的棱有2条.‎ 答案　C 二、填空题 ‎6.(2018·杭州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.‎ 解析　根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.‎ 答案　 ‎7.如图，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________.‎ 解析　相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β相交于AB，A′B′，所以 AB∥A′B′.同理BC∥B′C′，CA∥C′A′.所以△ABC与△A′B′C′的三内角相等，所以△ABC∽△A′B′C′，＝＝.S△ABC＝×2×1×＝，所以S△A′B′C′＝×＝×＝.‎ 答案　 ‎8.(2019·郑州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊂α，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；‎ ‎④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.‎ 其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).‎ 解析　①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.‎ 答案　②‎ 三、解答题 ‎9.(2019·武汉模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点.‎ ‎(1)求证：PC∥平面BDE；‎ ‎(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.‎ ‎(1)证明　在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的交点为O，则O是AC的中点.‎ 又E是PA的中点，连接EO，则EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO，‎ 又EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD.‎ ‎(2)解　设三棱锥E－ABD的体积为V1，高为h，四棱锥P－ABCD的体积为V，‎ 则三棱锥E－ABD的体积V1＝×S△ABD×h，‎ 因为E是PA的中点，所以四棱锥P－ABCD的高为2h，‎ 所以四棱锥P－ABCD的体积V＝×S四边形ABCD×2h＝4×S△ABD×h＝4V1，‎ 所以(V－V1)∶V1＝3∶1，‎ 所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.‎ ‎10.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：‎ ‎(1)BE∥平面DMF；‎ ‎(2)平面BDE∥平面MNG.‎ 证明　(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，‎ 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.‎ 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，‎ 所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，‎ 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 又M为AB的中点，‎ 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，‎ 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，‎ 所以BD∥平面MNG，‎ 又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，‎ 所以平面BDE∥平面MNG.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.(2019·石家庄模拟)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有(　　)‎ A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 解析　如图，H，G，F，I是相应线段的中点，‎ 故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，‎ 有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线.‎ 答案　B ‎12.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 解析　A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设 m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.‎ 答案　D ‎13.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.‎ 解析　如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.‎ 答案　Q为CC1的中点 ‎14.(2018·河南六市三模)已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.‎ ‎(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；‎ ‎(2)求三棱锥E－ABC的体积.‎ 解　(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.‎ 证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，‎ ‎∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，‎ ‎∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，‎ ‎∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，‎ ‎∴EN∥AH，‎ ‎∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，‎ ‎∴EN∥平面ABC.‎ 又M，N分别为BD，DC的中点，‎ ‎∴MN∥BC，‎ ‎∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴MN∥平面ABC.‎ 又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，‎ ‎∴平面EMN∥平面ABC，‎ 又EF⊂平面EMN，‎ ‎∴EF∥平面ABC，‎ 即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.‎ ‎(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，‎ 由(1)可知EN∥平面ABC，‎ ‎∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，‎ 又△BCD是边长为2的等边三角形，‎ ‎∴DH⊥BC，‎ 又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，‎ ‎∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，‎ 易知DH＝，又N为CD中点，∴NG＝，‎ 又AC＝AB＝3，BC＝2，‎ ‎∴S△ABC＝·BC·AH＝×2×＝2，‎ ‎∴VE－ABC＝VN－ABC＝·S△ABC·NG＝.‎ 新高考创新预测 ‎15.(答案不唯一型)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)‎ 解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，‎ 易知平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.‎ 答案　点M在线段FH上(或点M与点H重合)‎