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  • 2021-07-01 发布

高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测:2_3圆的切线的性质及判定定理

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2.3  圆的切线的性质及判定定理 1 . 理解圆的切线的性质及其判定定理. 2 .能正确应用圆的切线的性质及其判定定理. 1 . 直线与圆有 ________ 公共点,称直线与圆相交;直线与圆只有 ________ 公共点,称直线与圆相切;直线与圆 ________ 公共点,称直线与圆相离. 2 .切线的性质定理:圆的切线 ________ 经过切点的半径. 推论 1 :经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ________ . 推论 2 :经过切点且垂直于切线的直线必经过 ________ . 3 .切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ________ . 1 . 两个 一个 没有  2. 垂直于 切点 圆心 3 .切线 已知PAB是⊙O的割线,AB为⊙O的直径,PC为⊙O的切线,点C为切点,BD⊥PC于点D,交⊙O于点E,PA=AO=OB=1. (1)求∠P的度数. (2)求DE的长. 解析:(1)如图,连接OC. ∵点C为切点, ∴OC⊥PC,△POC为直角三角形. ∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2, ∴sin∠ , ∴∠P=30°. (2)∵BD⊥PD, ∴ 在 Rt△PBD 中,由∠ P=30° , PB=PA+AO+OB=3, 得 BD= . 如图,连接 AE ,则∠ AEB=90° , ∴ AE∥PD. ∴∠EAB=∠P=30° , ∴ BE=ABsin 30°=1, ∴DE=BD-BE= . 如图所示,△ ABC 为等腰三角形, O 是底边 BC 的中点,⊙ O 与腰 AB 相切于点 D . 求证: AC 与⊙ O 相切. 分析: 要证 AC 与⊙ O 相切,只需证明圆心 O 到直线 AC 的距离等于⊙ O 的半径即可. 证明: 连接 OD ,过点 O 作 OE ⊥ AC ,垂足为 E . ∵⊙ O 与 AB 相切于点 D , ∴ OD ⊥ AB ,且 OD 等于圆的半径. ∵△ ABC 为等腰三角形, O 是底边 BC 的中点, ∴∠ B =∠ C , OB = OC . 又∵∠ ODB =∠ OEC = 90° , ∴△ ODB ≌△ OEC . ∴ OE = OD , 即 OE 是⊙ O 的半径, 即圆心 O 到直线 AC 的距离等于半径. ∴ AC 与⊙ O 相切. 如图所示,已知 AB 是⊙ O 的直径, BC 是⊙ O 的切线,切点为 B , OC 平行于弦 AD . 求证: DC 是⊙ O 的切线. 证明: 如图所示,连接 OD . ∵ OC∥AD , ∴∠ 3 = 1 ,∠ 4 =∠ 2. ∵ OD = OA ,∴∠ 1 =∠ 2 ,∴∠ 4 =∠ 3. ∵ OD = OB , OC = OC , ∴△ DOC ≌△ BOC . ∴∠ CDO =∠ CBO . ∵ AB 是直径, BC 是切线,∴∠ CBO = 90° , ∴∠ CDO = 90° , ∴ DC 是⊙ O 的切线. 1 . 下列说法正确的是 (    ) A .垂直于半径的直线是圆的切线 B .垂直于切线的直线必经过圆心 C .圆的切线垂直于经过切点的半径 D .垂直于切线的直线必经过切点 2 .已知圆的半径为 6.5 cm ,圆心到直线 l 的距离为 4.5 cm ,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 (    ) A . 0 个          B . 1 个 C . 2 个 D .不能确定 C C 3 .下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的是 (    ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ C 4 .如图所示, AB 是圆 O 的直径,直线 MN 切半圆于点 C , CD ⊥ AB , AM ⊥ MN , BN ⊥ MN ,则下列结论错误的是 (    ) A .∠ 1 =∠ 2 =∠ 3 B . AM · CN = CM · BN C . CM = CD = CN D .△ ACM ∽△ ABC ∽△ CBN B 5 .如图所示,⊙ O 是正△ ABC 的内切圆,切点分别为 E 、 F 、 G , P 是 上任意一点,则∠ EPF 的度数等于 (    ) A . 120° B . 90° C . 60° D . 30° C 6 .如图所示,⊙ O 为△ ABC 的内切圆,∠ C = 90° , AO 的延长线交 BC 于点 D , AC = 4 , CD = 1 ,则⊙ O 的半径等于 (    ) A 7 .如图所示,已知 EB 是半圆 O 的直径, A 是 BE 延长线上一点, AC 是半圆 O 的切线,切点为 D , BC ⊥ AC 于 C ,若 BC = 6 , AC = 8 ,则 AE = ________. 8 . (2012 年广东卷 ) 如图所示,圆 O 的半径为 1 , A , B , C 是圆周上的三点,满足 ∠ ABC = 30° ,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P ,则 PA = ________. 9 . PA 、 PB 切⊙ O 于点 A 、 B , PA = 5 ,在劣弧 上取一点 C ,过 C 作⊙ O 的切线, 分别交 PA 、 PB 于 D 、 E 两点,则△ PDE 的周长等于 ________ . 10 10 .如图所示, OA 和 OB 是⊙ O 的半径,并且 OA ⊥ OB , P 是 OA 上任意一点, BP 的延长线交⊙ O 于点 Q ,过点 Q 作⊙ O 的切线交 OA 的延长线于点 R ,求证: RP = RQ . 分析: 已知 QR 是⊙ O 的切线,可利用切线的性质定理,即 OQ ⊥ RQ ,另外,要证 RP = RQ ,只要证∠ RPQ =∠ RQP 即可,只要证∠ BPO =∠ PQR 即可,再结合 OQ ⊥ RQ . 证明: 连接 OQ . ∵ QR 是⊙ O 的切线, ∴ OQ ⊥ QR . ∵ OB = OQ , ∴∠ B =∠ OQB . ∵ BO ⊥ OA , ∴∠ BPO = 90° -∠ B =∠ RPQ , ∠ PQR = 90° -∠ OQP , ∴∠ RPQ =∠ PQR , ∴ RP = RQ 11 .如图所示,已知直线 AB 经过⊙ O 上的一点 C ,并且 OA = OB , CA = CB ,求证:直线 AB 是⊙ O 的切线. 分析: 如图所示,由于直线 AB 经过⊙ O 上一点 C ,所以连接 OC ,只要证明 OC ⊥ AB 即可. 证明: 连接 OC .∵ OA = OB , CA = CB , ∴ OC 是等腰△ OAB 底边 AB 上的中线. ∴ AB ⊥ OC . 又∵点 C 在⊙ O 上, ∴ AB 是⊙ O 的切线 12 .如图所示,已知 AP 是⊙ O 的切线, P 为切点, AC 是⊙ O 的割线,与⊙ O 交于 B 、 C 两点,圆心 O 在∠ PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点. (1) 证明: A 、 P 、 O 、 M 四点共圆. (2) 求∠ OAM +∠ APM 的大小. (1) 证明: 连接 OP 、 OM ,如图. ∵ AP 与⊙ O 相切于点 P , ∴ OP ⊥ AP . ∵ 点 M 是⊙ O 的弦 BC 的中点, ∴ OM ⊥ BC . 于是∠ OPA +∠ OMA = 180° ,由圆心 O 在∠ PAC 的内部 , 可知四边形 APOM 的对角互补,∴ A 、 P 、 O 、 M 四点共圆. (2) 解析: 由 (1) 得 A 、 P 、 O 、 M 四点共圆, 所以∠ OAM =∠ OPM . 由 (1) 得 OP ⊥ AP . 由圆心 O 在∠ PAC 的内部,可知∠ OPM +∠ APM = 90°. ∴∠ OAM +∠ APM = 90° 1 . 分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可以得出如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可以推出第三个:①垂直于切线;②过切点;③过圆心.于是,在利用切线性质时,通常作的辅助线是过切点的半径. 2 .圆的切线还有两条性质应当注意:一是切线和圆只有一个公共点;二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中,我们也利用它们来解决. 3 .在切线的判定定理中,要分清定理的题设和结论,强调 “ 经过半径外端 ” 和 “ 垂直于这条半径 ” ,这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如下图的例子就不同时满足两个条件,所以都不是圆的切线. 4 .用判定定理证明一直线与圆相切时,必须满足两个条件:①过半径的外端;②垂直于这条半径.因此在解决相关问题时,若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证这条直线与此半径垂直,否则需先向这条直线作垂线,再证此垂线段是圆的半径. 感谢您的使用,退出请按 ESC 键 本小节结束

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