- 1.60 MB
- 2021-07-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2.3
圆的切线的性质及判定定理
1
.
理解圆的切线的性质及其判定定理.
2
.能正确应用圆的切线的性质及其判定定理.
1
.
直线与圆有
________
公共点,称直线与圆相交;直线与圆只有
________
公共点,称直线与圆相切;直线与圆
________
公共点,称直线与圆相离.
2
.切线的性质定理:圆的切线
________
经过切点的半径.
推论
1
:经过圆心且垂直于切线的直线必经过
________
.
推论
2
:经过切点且垂直于切线的直线必经过
________
.
3
.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
________
.
1
.
两个 一个 没有
2.
垂直于 切点 圆心
3
.切线
已知PAB是⊙O的割线,AB为⊙O的直径,PC为⊙O的切线,点C为切点,BD⊥PC于点D,交⊙O于点E,PA=AO=OB=1.
(1)求∠P的度数.
(2)求DE的长.
解析:(1)如图,连接OC.
∵点C为切点,
∴OC⊥PC,△POC为直角三角形.
∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2,
∴sin∠
,
∴∠P=30°.
(2)∵BD⊥PD,
∴
在
Rt△PBD
中,由∠
P=30°
,
PB=PA+AO+OB=3,
得
BD= .
如图,连接
AE
,则∠
AEB=90°
,
∴
AE∥PD.
∴∠EAB=∠P=30°
,
∴
BE=ABsin 30°=1,
∴DE=BD-BE= .
如图所示,△
ABC
为等腰三角形,
O
是底边
BC
的中点,⊙
O
与腰
AB
相切于点
D
.
求证:
AC
与⊙
O
相切.
分析:
要证
AC
与⊙
O
相切,只需证明圆心
O
到直线
AC
的距离等于⊙
O
的半径即可.
证明:
连接
OD
,过点
O
作
OE
⊥
AC
,垂足为
E
.
∵⊙
O
与
AB
相切于点
D
,
∴
OD
⊥
AB
,且
OD
等于圆的半径.
∵△
ABC
为等腰三角形,
O
是底边
BC
的中点,
∴∠
B
=∠
C
,
OB
=
OC
.
又∵∠
ODB
=∠
OEC
=
90°
,
∴△
ODB
≌△
OEC
.
∴
OE
=
OD
,
即
OE
是⊙
O
的半径,
即圆心
O
到直线
AC
的距离等于半径.
∴
AC
与⊙
O
相切.
如图所示,已知
AB
是⊙
O
的直径,
BC
是⊙
O
的切线,切点为
B
,
OC
平行于弦
AD
.
求证:
DC
是⊙
O
的切线.
证明:
如图所示,连接
OD
.
∵
OC∥AD
,
∴∠
3
=
1
,∠
4
=∠
2.
∵
OD
=
OA
,∴∠
1
=∠
2
,∴∠
4
=∠
3.
∵
OD
=
OB
,
OC
=
OC
,
∴△
DOC
≌△
BOC
.
∴∠
CDO
=∠
CBO
.
∵
AB
是直径,
BC
是切线,∴∠
CBO
=
90°
,
∴∠
CDO
=
90°
,
∴
DC
是⊙
O
的切线.
1
.
下列说法正确的是
(
)
A
.垂直于半径的直线是圆的切线
B
.垂直于切线的直线必经过圆心
C
.圆的切线垂直于经过切点的半径
D
.垂直于切线的直线必经过切点
2
.已知圆的半径为
6.5 cm
,圆心到直线
l
的距离为
4.5 cm
,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是
(
)
A
.
0
个
B
.
1
个
C
.
2
个
D
.不能确定
C
C
3
.下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的是
(
)
A
.①②
B
.②③
C
.③④
D
.①④
C
4
.如图所示,
AB
是圆
O
的直径,直线
MN
切半圆于点
C
,
CD
⊥
AB
,
AM
⊥
MN
,
BN
⊥
MN
,则下列结论错误的是
(
)
A
.∠
1
=∠
2
=∠
3
B
.
AM
·
CN
=
CM
·
BN
C
.
CM
=
CD
=
CN
D
.△
ACM
∽△
ABC
∽△
CBN
B
5
.如图所示,⊙
O
是正△
ABC
的内切圆,切点分别为
E
、
F
、
G
,
P
是 上任意一点,则∠
EPF
的度数等于
(
)
A
.
120°
B
.
90°
C
.
60°
D
.
30°
C
6
.如图所示,⊙
O
为△
ABC
的内切圆,∠
C
=
90°
,
AO
的延长线交
BC
于点
D
,
AC
=
4
,
CD
=
1
,则⊙
O
的半径等于
(
)
A
7
.如图所示,已知
EB
是半圆
O
的直径,
A
是
BE
延长线上一点,
AC
是半圆
O
的切线,切点为
D
,
BC
⊥
AC
于
C
,若
BC
=
6
,
AC
=
8
,则
AE
=
________.
8
.
(2012
年广东卷
)
如图所示,圆
O
的半径为
1
,
A
,
B
,
C
是圆周上的三点,满足
∠
ABC
=
30°
,过点
A
作圆
O
的切线与
OC
的延长线交于点
P
,则
PA
=
________.
9
.
PA
、
PB
切⊙
O
于点
A
、
B
,
PA
=
5
,在劣弧 上取一点
C
,过
C
作⊙
O
的切线, 分别交
PA
、
PB
于
D
、
E
两点,则△
PDE
的周长等于
________
.
10
10
.如图所示,
OA
和
OB
是⊙
O
的半径,并且
OA
⊥
OB
,
P
是
OA
上任意一点,
BP
的延长线交⊙
O
于点
Q
,过点
Q
作⊙
O
的切线交
OA
的延长线于点
R
,求证:
RP
=
RQ
.
分析:
已知
QR
是⊙
O
的切线,可利用切线的性质定理,即
OQ
⊥
RQ
,另外,要证
RP
=
RQ
,只要证∠
RPQ
=∠
RQP
即可,只要证∠
BPO
=∠
PQR
即可,再结合
OQ
⊥
RQ
.
证明:
连接
OQ
.
∵
QR
是⊙
O
的切线,
∴
OQ
⊥
QR
.
∵
OB
=
OQ
,
∴∠
B
=∠
OQB
.
∵
BO
⊥
OA
,
∴∠
BPO
=
90°
-∠
B
=∠
RPQ
,
∠
PQR
=
90°
-∠
OQP
,
∴∠
RPQ
=∠
PQR
,
∴
RP
=
RQ
11
.如图所示,已知直线
AB
经过⊙
O
上的一点
C
,并且
OA
=
OB
,
CA
=
CB
,求证:直线
AB
是⊙
O
的切线.
分析:
如图所示,由于直线
AB
经过⊙
O
上一点
C
,所以连接
OC
,只要证明
OC
⊥
AB
即可.
证明:
连接
OC
.∵
OA
=
OB
,
CA
=
CB
,
∴
OC
是等腰△
OAB
底边
AB
上的中线.
∴
AB
⊥
OC
.
又∵点
C
在⊙
O
上,
∴
AB
是⊙
O
的切线
12
.如图所示,已知
AP
是⊙
O
的切线,
P
为切点,
AC
是⊙
O
的割线,与⊙
O
交于
B
、
C
两点,圆心
O
在∠
PAC
的内部,点
M
是
BC
的中点.
(1)
证明:
A
、
P
、
O
、
M
四点共圆.
(2)
求∠
OAM
+∠
APM
的大小.
(1)
证明:
连接
OP
、
OM
,如图.
∵
AP
与⊙
O
相切于点
P
,
∴
OP
⊥
AP
.
∵
点
M
是⊙
O
的弦
BC
的中点,
∴
OM
⊥
BC
.
于是∠
OPA
+∠
OMA
=
180°
,由圆心
O
在∠
PAC
的内部
,
可知四边形
APOM
的对角互补,∴
A
、
P
、
O
、
M
四点共圆.
(2)
解析:
由
(1)
得
A
、
P
、
O
、
M
四点共圆,
所以∠
OAM
=∠
OPM
.
由
(1)
得
OP
⊥
AP
.
由圆心
O
在∠
PAC
的内部,可知∠
OPM
+∠
APM
=
90°.
∴∠
OAM
+∠
APM
=
90°
1
.
分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可以得出如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可以推出第三个:①垂直于切线;②过切点;③过圆心.于是,在利用切线性质时,通常作的辅助线是过切点的半径.
2
.圆的切线还有两条性质应当注意:一是切线和圆只有一个公共点;二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中,我们也利用它们来解决.
3
.在切线的判定定理中,要分清定理的题设和结论,强调
“
经过半径外端
”
和
“
垂直于这条半径
”
,这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如下图的例子就不同时满足两个条件,所以都不是圆的切线.
4
.用判定定理证明一直线与圆相切时,必须满足两个条件:①过半径的外端;②垂直于这条半径.因此在解决相关问题时,若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证这条直线与此半径垂直,否则需先向这条直线作垂线,再证此垂线段是圆的半径.
感谢您的使用,退出请按
ESC
键
本小节结束