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- 2021-07-01 发布
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机密★考试结束前
2017-2018学年浙江省温州中学高二上学期期中考试
数学试题 2017.11
命题:董玲臣、林月蕾 校 稿:赵大藏
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分2至4页。满分100分,考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式:
柱体的体积公式:V=Sh 其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高
锥体的体积公式:V=Sh 其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高
台体的体积公式V=(S1++S2)h 其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高
球的表面积公式S=4πR2 球的体积公式V=πR3 其中R表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0,命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)
3.下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是( ).
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
4.如图所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=( )
A.8 B.9
C.10 D.11
5.如图1所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,如图2所示,那么,在四面体AEFH中必有( ).
A.AH⊥△EFH所在平面 B.AG⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面 D.HG⊥△AEF所在平面
6.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是
[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5 -4 B.-1 C.6-2 D.
8.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( ).
A.3 B.2 C. D.1
9.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是( ).
A.k≥ B.k≤-2 C.k≥或k≤-2 D.-2≤k≤
10.在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,点Q满足=(a+b).曲线C={P|=acos θ+bsin θ,0≤θ<2π},区域Ω={P|0<r≤|PQ|≤R,r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线,则( )
A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R
非选择题部分(共60分)
二、填空题:本大题共7小题,每空3分,共21分。
11.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.
12.一个儿何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.
13.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的个数是________.
14.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置,使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线A′B与CD所成角的大小为________.
15.设α、β、γ为彼此不重合的三个平面,l为直线,给出下列命题:
①若α∥β,α⊥γ,则β⊥γ;
②若α⊥γ,β⊥γ,且α∩β=l,则l⊥γ;
③若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α垂直;
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等,则平面α平行于平面β.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).
16.已知+=1(a>0,b>0),点(0,b)到直线x-2y-a=0的距离的最小值为________.
17.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1).P是圆C上的动点,当|PA|2+|PB|2取最大值时,点P的坐标是________.
三、解答题:本大题共4小题,共39分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(8分)已知,如图一个空间几何体的三视图.
(1)该空间几何体是如何构成的?
(2)画出该几何体的直观图;
(3)求该几何体的表面积和体积.
19.(9分)已知与圆C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴,y轴于A,B两点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).
(1)求证:(a-2)(b-2)=2;
(2)求线段AB中点的轨迹方程;
(3)求△AOB面积的最小值.
20.(10分)三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.
(1)证明:P是线段BC的中点;
(2)求二面角A NP M的余弦值.
21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
机密★考试结束前
温州中学2017学年第一学期高二期中考试
数学试题 2017.11
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1-5 CAAAA6-10 BACDA
二、填空题:本大题共7小题,每空3分,共21分。
11. 6 12. 13. 1 14. 90°
15.①② 16. 17.
三、解答题:本大题共4小题,共39分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.
(1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2,高为1的长方体,上半部分是一个底面各边长为2,高为1的正四棱锥.
(2)按照斜二测画法可以得到其直观图,如图.
(3)由题意可知,该几何体是由长方体ABCD-A′B′C′D′与正四棱锥
P-A′B′C′D′构成的简单几何体.
由图易得:AB=AD=2,AA′=1,PO′=1,取A′B′中点Q,连接PQ,
从而PQ===,所以该几何体表面积
S=(A′B′+B′C′+C′D′+D′A′)PQ+(A′B′+B′C′+C′D′+D′A′)AA′+AB·AD=4+12.
体积V=2×2×1+×2×2×1=.
19.
(1)证明:圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=1,设直线方程为+=1,即bx+ay-ab=0,圆心到该直线的距离d==1,
即a2+b2+a2b2+2ab-2a2b-2ab2=a2+b2,即a2b2+2ab-2a2b-2ab2=0,
即ab+2-2a-2b=0,即(a-2)(b-2)=2.
(2)设AB中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2,
得(x-1)(y-1)=(x>1,y>1).
(3)由(a-2)(b-2)=2得ab+2=2(a+b)≥4,
解得≥2+(舍去≤2-),
当且仅当a=b时,ab取最小值6+4,所以△AOB面积的最小值是3+2.
20.解:(1)如图所示,取BD的中点O,连接AO,CO.
由侧视图及俯视图知,△ABD,△BCD为正三角形,
所以AO⊥BD,OC⊥BD.
因为AO,OC⊂平面AOC,且AO∩OC=O,
所以BD⊥平面AOC.
又因为AC⊂平面AOC,所以BD⊥AC.
取BO的中点H,连接NH,PH.
又M,N,H分别为线段AD,AB,BO的中点,所以MN∥BD,NH∥AO,
因为AO⊥BD,所以NH⊥BD.
因为MN⊥NP,所以NP⊥BD.
因为NH,NP⊂平面NHP,且NH∩NP=N,所以BD⊥平面NHP.
又因为HP⊂平面NHP,所以BD⊥HP.
又OC⊥BD,HP⊂平面BCD,OC⊂平面BCD,所以HP∥OC.
因为H为BO的中点,所以P为BC的中点.
(2)方法一:如图所示,作NQ⊥AC于Q,连接MQ.
由(1)知,NP∥AC,所以NQ⊥NP.
因为MN⊥NP,所以∠MNQ为二面角A NP M的一个平面角.
由(1)知,△ABD,△BCD为边长为2的正三角形,所以AO=OC=.
由俯视图可知,AO⊥平面BCD.
因为OC⊂平面BCD,所以AO⊥OC,因此在等腰直角△AOC中,AC=.
作BR⊥AC于R
因为在△ABC中,AB=BC,所以R为AC的中点,
所以BR==.
因为在平面ABC内,NQ⊥AC,BR⊥AC,
所以NQ∥BR.
又因为N为AB的中点,所以Q为AR的中点,
所以NQ==.
同理,可得MQ=.
故△MNQ为等腰三角形,所以在等腰△MNQ中, cos∠MNQ===.
故二面角A NP M的余弦值是.
21.解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,
化简整理得y2=2(|x|+x).
故点M的轨迹C的方程为y2=
(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①
当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.
当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③
(i)若由②③解得k<-1或k>.
即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点.故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
(ii)若或由②③解得k∈或-≤k<0.
即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点.
当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
(iii)若由②③解得-1