【数学】2018届一轮复习人教A版基本不等式教案 8页

高三 一轮复习 6.4 基本不等式 ‎【教学目标】‎ ‎1.了解基本不等式的证明过程．　‎ ‎2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；‎ ‎2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 ‎1.了解基本不等式的证明过程．　2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．‎ 真题再现;‎ 知识梳理 知识点1　基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件a>0，b>0；‎ ‎(2)等号成立的条件当且仅当a＝b时等号成立；‎ ‎(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．因此基本不等式又称为均值不等式．‎ 知识点2　利用基本不等式求最大、最小值问题 ‎(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，‎ 那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记“积定和最小”)‎ ‎(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，‎ 那么当x＝y时，xy有最大值.(简记“和定积最大”)‎ ‎1．必会结论；(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．‎ ‎(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．‎ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 ‎(4)2≤(a，b∈R)．‎ ‎(5)≥2≥ab(a，b∈R)．‎ ‎(6)≥≥≥(a>0，b>0)．‎ ‎2．必清误区；(1)使用基本不等式求最值．“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．‎ ‎(2)连续应用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．‎ 考点分项突破 考点一利用基本不等式求最值 ‎1．函数y＝(x>－1)的图象最低点的坐标是(　　)‎ A．(1,2) B．(1，－2) ‎ C．(1,1) D．(0,2)‎ ‎【解析】　由题意得y＝＝(x＋1)＋，∵x>－1，∴x＋1>0，∴y≥2＝2当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝1(x>－1)时等号成立，此时x＝0.即函数图象的最低点的坐标为(0,2)． 【答案】　D ‎2．已知x>0，则的最大值为________．‎ ‎【解析】　＝，∵x>0，∴>0，∴＝≤＝，当且仅当x＝(x>0)，即x＝2时等号成立，∴的最大值为.【答案】　 ‎3．已知正实数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．‎ 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。‎ ‎【解析】　由x>0，y>0，x＋2y－xy＝0得＋＝1，‎ x＋2y＝(x＋2y)＝＋2＋2＋＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当 即时等号成立，此时x＝4，y＝2，x＋2y＝4＋2×2＝8.【答案】　8‎ 归纳利用基本不等式求最值的常用技巧 ‎1．若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．‎ ‎2．若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构成“‎1”‎的代换等．‎ ‎3．若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．‎ 考点二 基本不等式的综合应用 ‎(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) ‎ B．(－∞，2－1)‎ C．(－1,2－1) ‎ D．(－2－1,2－1)‎ ‎(2)已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋‎2a5，若存在两项am，an，使得＝‎2‎a1，则＋的最小值为________．‎ ‎【解析】　(1)由f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2>0，得 ‎32x＋2>(k＋1)·3x，即＝3x＋>k＋1恒成立．‎ ‎∵3x＋≥2＝2，当且仅当3x＝即3x＝时取等号．∴3x＋的最小值为2.∴k＋1<2，即k<2－1.‎ ‎(2)设公比为q(q>0)，由a7＝a6＋‎2a5得a5q2＝a5q＋‎2a5，‎ 环节二 ‎∴q2－q－2＝0(q>0)，∴q＝2.由＝‎2‎a1，得a1·‎2m－1·a1·2n－1＝‎8a，∴‎2m＋n－2＝8，即m＋n－2＝3.∴m＋n＝5.则＋＝×(m＋n)＝≥(5＋4)＝，当且仅当n＝‎2m＝时，等号成立．‎ ‎【答案】　(1)B　(2) 跟踪训练 ‎1．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)‎ A．9 B．‎12 C．18 D．24‎ ‎【解析】　因为a>0，b>0，不等式＋≥恒成立，所以m≤min，因为(a＋3b)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12.【答案】　B ‎2．若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．‎ ‎【解析】　因为点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，‎ 所以m＋n－2＝0，即＋＝1，所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝2，当且仅当＝，即m2＝n2时取等号，所以＋的最小值为2.【答案】　2‎ 归纳利用基本不等式处理综合问题的类型及相应的策略 ‎1．应用基本不等式判断不等式是否成立对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．‎ ‎2‎ ‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ‎．条件不等式的最值问题通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．‎ ‎3．求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．‎ ‎ 考点三 基本不等式的实际应用 ‎(1)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．‎ ‎(2)某水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．‎ ‎①求出f(n)的表达式；‎ ‎②求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？‎ ‎【解析】　(1)设楼房设计为n层时，平均每平方米建筑面积的成本费为y元，依题意得 y＝＝＝20≥20×(2×10＋19)＝780.(当且仅当n＝10时等号成立)．‎ ‎【答案】　10‎ ‎(2)①第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元．所以，年利润为f(n)＝(10＋n)－100n(n∈N*)．‎ ‎②由①知f(n)＝(10＋n)－100 n＝1 000－‎ 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。‎ 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ‎80≤520(万元)．当且仅当＝，即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．‎ 所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．‎ 跟踪训练1.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B‎1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B‎1C1D1的面积为4 ‎000 m2‎，人行道的宽分别为‎4 m和‎10 m(如图所示)．‎ ‎ (1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；‎ ‎(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B‎1C1D1的长和宽该如何设计？‎ ‎【解】　(1)设休闲区的宽为a m，则长为ax m，‎ 由a2x＝4 000，得a＝.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160＝80＋4 160(x>1)．‎ ‎(2)80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，‎ 当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B‎1C1D1应设计为长‎100 m，宽‎40 m.‎ 归纳解实际应用题时要注意的三点 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。‎ ‎1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解 易错辨析 多次使用基本不等式忽视成立条件致误 ‎1.已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________．‎ ‎[错误解法]　z＝＝xy＋＋＋ ‎＝＋ ‎≥2＋2＝2＋2＝4.‎ ‎[错解分析]　分析上述解题过程指出错误所在并分析原因．提示连续两次运用基本不等式．‎ 错误原因第一个等号成立的条件是xy＝1，第二个等号成立的条件是x＝y，两个等号不能同时成立．‎ ‎[自我纠正]　z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2.令t＝xy,0