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- 2021-07-01 发布
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2.3.1
离散型随机变量的均值
高二数学 选修
2-3
一、复习回顾
1
、离散型随机变量的分布列
X
···
···
···
···
2
、离散型随机变量分布列的性质:
(1)p
i
≥0
,
i
=
1
,
2
,
…
;
(2)p
1
+
p
2
+
…
+
p
i
+
…
=
1
.
复习引入
对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平,很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望
直接通过数字
来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有
期望与方差
.
1
、某人射击
10
次,所得环数分别是:
1
,
1
,
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
3
,
3
,
4
;则所得的平均环数是多少?
把环数看成随机变量的概率分布列:
X
1
2
3
4
P
权数
加权平均
二、互动探索
2
、某商场要将单价分别为
18
元
/kg
,
24
元
/kg
,
36
元
/kg
的
3
种糖果按
3
:
2
:
1
的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?
X
18
24
36
P
把
3
种糖果的价格看成随机变量的概率分布列:
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
一般地,若离散型随机变量
X
的概率分布为:
则称
为随机变量
X
的均值或数学期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
···
···
···
···
设
Y
=
aX
+
b
,其中
a
,
b
为常数,则
Y
也是随机变量.
(
1
)
Y
的分布列是什么?
(
2
)
EY=
?
思考:
···
···
···
···
···
···
···
···
···
···
···
···
···
···
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
···
···
···
···
二、数学期望的性质
三、基础训练
1
、随机变量
ξ
的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)
则
Eξ=
.
2
、随机变量
ξ
的分布列是
2.4
(2)
若
η=2ξ+1
,则
Eη=
.
5.8
ξ
4
7
9
10
P
0.3
a
b
0.2
Eξ=7.5,
则
a=
b
=
.
0.4
0.1
例
1.
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得
1
分,罚不中得
0
分.已知某运动员罚球命中的概率为
0.7
,则他罚球
1
次的得分
X
的均值是多少?
一般地,如果随机变量
X
服从两点分布,
X
1
0
P
p
1
-
p
则
四、例题讲解
小结:
例
2.
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得
1
分,罚不中得
0
分.已知某运动员罚球命中的概率为
0.7
,他连续罚球
3
次;
(
1
)求他得到的分数
X
的分布列;
(
2
)求
X
的期望。
X
0
1
2
3
P
解
:
(1) X
~
B
(
3
,
0.7
)
(2)
一般地,如果随机变量
X
服从二项分布,即
X
~
B
(
n,p
),则
小结:
基础训练
:
一个袋子里装有大小相同的
3
个红球和
2
个黄球,从中有放回地取
5
次,则取到红球次数的数学期望是
.
3
1.
一次英语单元测验由
20
个选择题构成,每个选择题有
4
个选项,其中有且只有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得
5
分,不作出选择或选错不得分,满分
100
分,学生甲选对任一题的概率为
0.9
,学生乙则在测验中对每题都从
4
个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的
成绩
的期望。
五、巩固应用
2.
决策问题:
根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为
0.25
,有大洪水的概率为
0.01
,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失
60000
元,遇到小洪水时要损失
10000
元。为保护设备,有以下种方案:
方案
1
:运走设备,搬运费为
3800
元。
方案
2
:建保护围墙,建设费为
2000
元,但围墙只能
挡住小洪水。
方案
3
:不采取措施,希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
3.
某商场的促销决策:
统计资料表明,每年国庆节商场内促销活动可获利
2
万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利
10
万元;如遇下雨则损失
4
万元。
9
月
30
日气象预报国庆节下雨的概率为
40%
,商场应选择哪种促销方式?
4.
(
07
全国)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的分起付款期数 的分布列为:
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品,采用
1
期付款,其利润为
200
元,分
2
期或
3
期付款,其利润为
250
元,分
4
期或
5
期付款,其利润为
300
元, 表示经销一件该商品的利润。
(
1
)求事件
A
:”购买该商品的
3
位顾客中,至少有一位采用
1
期付款” 的概率
P(A)
;
(
2
)求 的分布列及期望
E
。
0.03
0.97
P
1000
-
a
1000
E = 1000
-
0.03a≥0.07a
得
a≤10000
故最大定为
10000
元。
练习:
1
、若保险公司的赔偿金为
a
(
a
>
1000
)元,为使保险公司收益的期望值不低于
a
的百分之七,则保险公司应将最大赔偿金定为多少元?
2
、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射击,他射中目标的概率是
0.7,
若枪内只有
5
颗子弹
,
求射击次数的期望。
(
保留三个有效数字
)
0.3
4
0.3
3
×0.7
0.3
2
×0.7
0.3×
0.7
0.7
p
5
4
3
2
1
E =
1.43
六、课堂小结
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
···
···
···
···
二、数学期望的性质
三、如果随机变量
X
服从两点分布,
X
1
0
P
p
1
-
p
则
四、如果随机变量
X
服从二项分布,即
X
~
B
(
n,p
),则
证明:
所以
若
ξ
~
B(n
,
p)
,则
Eξ
=
np
.
证明:若
ξ
~
B(n
,
p)
,则
Eξ
=
np