高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：1-4直角三角形的射影定理 含解析 5页

一、选择题 ‎1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，则相似三角形共有 ‎(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 解析　如图所示，△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，‎ ‎△ABD∽△CBA，共有3对．‎ 答案　D ‎2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是 ‎(　　)．‎ A. B. C. D．2‎ 解析　如图所示，由射影定理得 CD2＝AD·BD，‎ 又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x (x>0)．‎ ‎∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，‎ 在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.‎ 答案　C ‎3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则的值为 ‎(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由题意得，CD2＝AD·BD，‎ ‎∴BD＝.又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，‎ 则＝＝，故＝.‎ 答案　A ‎4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD的长为 (　　)．‎ A．m sin2α B．m cos2α C．m sin αcos α D．m sin αtan α 解析　由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，‎ 即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，‎ 即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.‎ 又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，‎ ‎∴AD＝mcos αsin α.故选C.‎ 答案　C 二、填空题 ‎5．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．‎ 解析　因为四边形ABCD为矩形，‎ 所以∠A＝∠D＝90°. ‎ 因为∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.‎ 因为∠1＋∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠2.‎ 又因为∠A＝∠D＝90°，所以△ABE∽△DEF.‎ 答案　①③‎ ‎6．(2012·陕西)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.‎ 解析　连接AD，因为AB＝6，AE＝1，所以BE＝5，所以DE2＝AE·BE＝1×5＝5，在Rt△BDE中，有DE2＝DF·DB＝5.‎ ‎ 答案　5‎ ‎7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a－b＝1，tan A＝，其中a、b分别是∠A和∠B 的对边，则斜边上的高h＝________.‎ 解析　由tanA＝＝和a－b＝1，‎ ‎∴a＝3，b＝2，故c＝，∴h＝＝.‎ 答案　 ‎8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，‎ sin∠ACD＝，则CD＝________，BC＝________.‎ 解析　在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝＝，得AC＝5，又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝＝.‎ ‎∴BD＝AB－AD＝－4＝，‎ 由射影定理CD2＝AD·BD＝4×＝9，‎ ‎∴CD＝3.又由射影定理BC2＝BD·AB＝×，∴BC＝.‎ 答案　3　 三、解答题 ‎9．如图所示，AD、CE是△ABC中边BC、AB的高，AD和CE相交于点F.‎ 求证：AF·FD＝CF·FE.‎ 证明　因为AD⊥BC，CE⊥AB，‎ 所以△AFE和△CFD都是直角三角形．‎ 又因为∠AFE＝∠CFD，所以Rt△AFE∽Rt△CFD.‎ 所以AF∶FE＝CF∶FD.‎ 所以AF·FD＝CF·FE.‎ ‎10．如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．‎ 解　在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，‎ 即AD⊥BC.‎ 又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.‎ ‎∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°，‎ 故在Rt△BAC中，AD⊥BC，‎ 由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD，∴CD＝.‎ ‎11．(拓展深化)如图，已知Rt△ABC的周长为‎48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．‎ ‎(1)求直角三角形的三边长；‎ ‎(2)求两直角边在斜边上的射影的长．‎ 解　(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，‎ 则BC＝8x，‎ 过D作DE⊥AB，‎ 由Rt△ADC≌Rt△ADE可知，‎ DE＝3x，BE＝4x，‎ ‎∴AE＋AC＋12x＝48，‎ 又AE＝AC，‎ ‎∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，‎ ‎∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，‎ 解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，‎ ‎∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，‎ ‎∴三边长分别为：‎20 cm,‎12 cm,‎16 cm.‎ ‎(2)作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，‎ ‎∴AF＝＝＝(cm)；‎ 同理：BF＝＝＝(cm)．‎ ‎∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.‎