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  • 2021-07-01 发布

数学理卷·2017届山西省太原市第五中学高三第一次模拟考试(2017

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太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测 高 三 数 学(理)‎ 出题人、校对人:廉海栋 史天保 李小丽(2017年4月5日)‎ 一、 选择题(每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案)‎ ‎1. 设集合,则A∩B=‎ ‎ A.(﹣∞,3) B.[2,3) C.(﹣∞,2) D.(﹣1,2) ‎ ‎2.已知复数(i是虚数单位),则的共轭复数是 A.1-3i B.1+3i C.-1+3i D.-1-3i ‎3. ∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=,a =1,c=2,则∆ABC的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎4.某学校组织的数学竞赛中,学生的竞赛成绩X服从正态分布X~N(100,σ2),‎ P(X>120)=a,P(80≤X≤100)=b,则的最小值为 A. 8 B. 9 C. 16 D. 18‎ ‎5.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是 A、f(x)=x+sinx B、f(x)=xcosx C、f(x)=‎ D、f(x)=‎ ‎6.若实数x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+y的最大值为 A.6 B. C. D. -1‎ ‎7.‎ ‎ 大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )种 A. 18 B. 24 C. 36 D. 48‎ ‎8. 若执行如图所示的程序框图,输出S的值为3,则判断框中应填入的条件是 A. k<6?‎ ‎ B. k<7?‎ C. k<8?‎ D. k<9?‎ ‎9. E为正四面体D﹣ABC棱AD的中点,平面α过点A,且α∥平面ECB,α∩平面ABC=m,α∩平面ACD=n,则m、n所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上,若|AN|﹣|BN|=12,则a=‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎11. 如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A. B. C. D.4‎ ‎12. 已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,若对任意的x∈(0,+∞),都有,且方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间(0,3]上有两解,则实数a的取值范围是(   )‎ A. 0<a≤5 B. a<5 C. 0<a<5 D. a≥5‎ 一、 填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于 __ .‎ ‎14. 已知且则=___________.‎ ‎15. 在平面直角坐标系xOy中,将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积V圆锥=.据此类比:将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积V= .‎ ‎16. 已知函数f(x)=,若函数F(x)=f(x)﹣3的所有零点依次记为x1 , x2 , x3 , …,xn , 且x1<x2<x3<…<xn , 则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn= .‎ 三.解答题 ‎17. (本小题满分12分)已知数列满足,,其中为的前项和.‎ ‎(Ⅰ)求,及数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足,且的前项和为,‎ ‎ 求证:当时,.‎ ‎18. (本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”,否则为“B组”,调查结果如下:‎ A组 B组 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎(Ⅰ)根据以上数据,能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关?‎ ‎(Ⅱ)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份,求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数;‎ ‎(Ⅲ)从(Ⅱ)中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装,记这3人中在“A组”的人数为,试求的分布列与数学期望.‎ 参考公式:,其中为样本容量.‎ 参考数据:‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19. (本小题满分12分)如图所示的几何体中,四边形BB1C1C是矩形,BB1⊥平面ABC,A1B1∥AB,AB=2A1B1,E是AC的中点.‎ ‎(1)求证:A1E∥平面BB1C1C;‎ ‎(2)若AC=BC,AB=2BB1,求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值.‎ ‎20. (本小题满分12分)已知椭圆的方程是,左、右焦点分别是、,在椭圆上有一动点,‎ 过、作一个平行四边形,使顶点、、、都在椭圆上,如图所示.‎ ‎(Ⅰ) 判断四边形能否为菱形,并说明理由.‎ ‎(Ⅱ) 当四边形的面积取到最大值时,判断四边形的形状,并求出其最大值.‎ ‎21. (本小题满分12分)设函数.‎ ‎(1)若函数有且只有一个零点,求实数的值;‎ ‎(2)设函数(其中为自然对数的底数),若对任意给定的,均存在两个不同的,使得成立,求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线,曲线以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线C1交于N点,与曲线C2交于O,P两点,且|PN|最大值为.‎ ‎(1)将曲线C1与曲线C2化成极坐标方程,并求r的值;‎ ‎(2)射线与曲线C1交于Q点,与曲线C2交于O,M两点,求四边形MPNQ面积的最大值.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)=|x-a|,a<0.‎ ‎(1)若a= -2,求不等式f(x)+f(2x)>2的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求的取值范围.‎ ‎4.5高三校一模(理)答案 选择题 DACDB ABCAA BA 填空题:‎ ‎13. 14. - 15. 16. 445‎ ‎17.解:(Ⅰ)数列满足,则,即,‎ ‎,即数列为以1为首项,以为公比的等比数列,所以.‎ ‎(Ⅱ)在数列中,,的前项和,‎ ‎.‎ 而当时,,‎ 即.‎ ‎18.‎ 解:(1)由列联表可得-----2分 没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关------------------4分 ‎(2)由题意得所抽取的5位女性中,“A组”3人,“B组”2人。-------------6分 ‎19.‎ 证明:(1)取AB的中点F,连结EF,A1F.‎ ‎∵AB=2A1B1,∴BF=A1B1,‎ 又A1B1∥AB,∴四边形A1FBB1是平行四边形,‎ ‎∴A1F∥BB1,∵E,F分别AC,AB的中点,∴EF∥BC,‎ 又EF⊂平面A1EF,A1F⊂平面A1EF,EF∩A1F=F,BC⊂平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,BC∩BB1=B,‎ ‎∴平面A1EF∥平面BB1C1C.‎ 又A1E⊂平面A1EF,∴A1E∥平面BB1C1C. ‎ 解:(2)连结CF,则CF⊥AB,‎ 以F为原点,FC为x轴,FB为y轴,FA1为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,﹣1,0),A1(0,0,1),B(0,1,0),C(,0,0),‎ ‎∴E(,﹣,0),=(0,﹣1,1),=(,﹣,0),‎ 设平面A1BE的一个法向量为=(x,y,z),‎ ‎,取y=1,得=(,1,1),‎ 平面ABA1的法向量=(1,0,0),设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ,‎ ‎,则cosθ=.‎ ‎∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为,‎ ‎ ‎ ‎20.解:(Ⅰ)因为,如图,直线不能平行于轴,所以令直线的方程 为,,‎ O 联立方程,,‎ 得,…………3分 ‎∴,.……4分 若是菱形,则,‎ 即,‎ 于是有,………………5分 又,‎ 所以有,‎ 得到 ,显然这个方程没有实数解,故不能是菱形. ………6分 ‎(Ⅱ)由题,而,又 ,‎ 即,……………………………8分 由(Ⅱ)知,.‎ 所以,‎ ‎∵函数,,在时,,………………11分 ‎∴的最大值为6,此时,也就是时,‎ 这时直线轴,可以判断是矩形. …………………………………12分 ‎21. 【答案】(1)2;(2) 试题解析:解:(1)由于,则由题意,有且只有一个零点,‎ 令,则,‎ 若,当直线与曲线有且只有一个交点时,直线为曲线在处的切线,则,即,‎ 综上,实数的值为2.‎ ‎(2)由可知,‎ 令可得, ‎ 即在上单调递增,在上单调递减,‎ 从而在上的值域为;‎ 则原题意等价于:对任意,方程在区间上有两个不等实根.‎ ,由于在上不单调,则,且在上单调递减,在上单调递增,‎ 则函数的最小值为,‎ 记,则,‎ 从而函数在上单调递增,在上单调递减,最大值为,即;‎ 另一方面,由;‎ 综上,实数的取值范围为.‎