数学理卷·2018届福建省莆田市第二十五中学高二上学期期末考试（2017-01） 13页

莆田第二十五中学2016-2017学年度上学期期末质量检测 高二 理科数学 一、 选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）‎ A．3 B． C．2 D．6‎ ‎2．若命题“”为假，且“”为假，则（ ）‎ A．“”为假 B．假 C．真 D．不能判断的真假 ‎3．命题:“x∈R,”的否定是（ ）‎ A.x∈R, B.x∈R,‎ C.x∈R, D.x∈R,‎ ‎4．已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于两点．在中，若有两边之和是15，则第三边的长度为 A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎5．若（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．命题“若，则”的否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎7．某物体的运动方程为s=3t3+2，则该物体在t=2时的瞬时速率是（ ）‎ A.36 B.26 C.14 D.28‎ ‎8．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A．（１，0） B．（，0） C．（） D．（）‎ ‎9．已知，函数上是单调函数，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是1，则此抛物线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线的中心在原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且线段中点，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．下列四个命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②命题“”的否定是“”；‎ ‎③“若，则”的逆命题为真命题；‎ ‎④命题p：，命题q：，则为真命题.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13．双曲线的离心率 ．‎ ‎14．抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ．‎ ‎15．函数的导数为 ．‎ ‎16．函数f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为 ．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎3‎ ‎17.（10分）已知函数．（1）求f（x）的零点；‎ ‎（2）求函数y＝f (x)在区间上的最小值．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，点，且=，求直线的方程．‎ ‎19．（本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。‎ ‎(1)当错误！未找到引用源。时,求曲线错误！未找到引用源。在点错误！未找到引用源。处的切线方程;‎ ‎(2)求函数错误！未找到引用源。的极值.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知p：函数在上单调递增；q：关于的不等式的解集为R．若为真命题，为假命题，求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆与双曲线x2－y2＝0有相同的焦点，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过点P(0，1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知：函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，‎ ‎（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；‎ ‎（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：实数k的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ 试题分析:由椭圆的半焦距为2，离心率e=，可得c=2，a=3，求出b，从而求出答案．‎ 解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，‎ ‎∴c=2，a=3，‎ ‎∴b=‎ ‎∴2b=2．‎ 故选：C．‎ 考点：椭圆的简单性质．‎ ‎2．B ‎【解析】‎ 试题分析：因为“”为假，所以“”为真，又因为“”为假，“”为假,故答案为．‎ 考点：复合命题真假的判定．‎ ‎3．B ‎【解析】‎ 试题分析：全程命题的否定为特称命题，应变为，“小于”的否定为“大于或等于”,故选B。‎ 考点：全程命题、特称命题的否定。‎ ‎4．B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意以及椭圆定义可有，所以若中有两边之和是 ，则第三边的长度为，故选B．‎ 考点：椭圆的定义．‎ ‎5．A ‎【解析】‎ 试题分析： 故选：A．‎ 考点：常见函数中三角函数的导函数．‎ ‎6．C ‎【解析】‎ 试题分析：否命题需将条件和结论分别否定，所以否命题为：若，则 考点：四种命题 ‎7．A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意某物体的运动方程为s=3t3+2，对其进行求导，然后把t=2代入求解．‎ 解：∵某物体的运动方程为s=3t3+2，‎ ‎∴s′=9t2，‎ ‎∴s′|t=2=9×4=36，‎ ‎∴物体在t=2时的瞬时速率是36，‎ 故选A．‎ 点评：此题主要考查导数与瞬时速率的关系，解题的关键是能够正确求导．‎ ‎8．C ‎【解析】‎ 试题分析：变形为，焦点为 考点：抛物线性质 ‎9．D ‎【解析】解：由于函数在已知区间上增函数，故导数恒大于等于零，即 ‎10．B ‎【解析】‎ 试题分析：直线经过焦点，所以（为两点的纵坐标），故．依题意中点的纵坐标为，即，解得，所以此抛物线的方程为，故选B．‎ 考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的方程 .‎ ‎11．B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，不妨设双曲线的方程为是的焦点，‎ 设则有：①，②， 由① -②得：‎ ‎，的中点为又的斜率是 即将代入可得双曲线标准方程是 ‎ 故选B．‎ 考点：1、待定系数法求双曲线的方程；2、“点差法”的应用．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程及“点差法”的应用，属于难题．对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解．‎ ‎12．D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；命题“”的否定是“”；“若，则”的逆命题为“若，则”的逆命题为假命题；命题p：为真命题，命题q：为假命题，所以为真命题.因此真命题的个数是3，选D.‎ 考点：命题真假判断 ‎【易错点睛】‎ 充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”，如“A是B成立的……条件”，其中A是条件；“A成立的……条件是B”，其中B是条件．弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提．注意防止把命题的否定与否命题相混淆致误．‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线即为，其中 考点：双曲线的离心率 ‎14．或 ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线定义可知抛物线上的点与焦点的距离为，由已知，可得，代入抛物线方程可得.‎ 考点：抛物线定义．‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据导数的运算法则可得答案．‎ 解：∵∴y'==‎ 故答案为：‎ 点评：本题主要考查导数的运算法则．属基础题．求导公式一定要熟练掌握．‎ ‎16．﹣．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：取得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最小值．‎ 解：f′（x）=（xlnx）′=x′•lnx+x•（lnx）′=lnx+1．‎ 由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得x＜．‎ ‎∴f（x）=xlnx在x=处取得极小值f（）=﹣，‎ ‎∴﹣就是f（x）在（0，+∞）上的最小值．‎ 故答案为：﹣．‎ 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎17．（1）x＝0,或x＝3‎ ‎（2）用m表示最小值（Ⅰ）当时， －－－ 2分 ‎ ‎（Ⅱ） ①当时，‎ ‎②当时，‎ ‎③当时，‎ ‎【解析】(1)由题意, ‎ 由，解得x＝0,或x＝3; －－－ 3分 ‎ ‎(2)设此最小值为m，‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎ 则f(x)是区间上的增函数,所以 －－－ 2分 ‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎ 当时， － 3分 ‎ 当时， －－ 3分 ‎ ‎①当，即时，‎ ‎②当，即时，‎ ‎③当时，‎ ‎17. 解：a＝＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，‎ b＝＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．‎ ‎(1)cos θ＝＝＝－，‎ 所以a与b的夹角θ的余弦值为－.‎ ‎(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，‎ 所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.‎ 即2k2＋k－10＝0，所以k＝－或k＝2.‎ ‎18．（1） （2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题已知椭圆方程；，利用条件焦距为，‎ 椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，容易求出的值，得出方程.‎ ‎（2）由题可先让直线方程与（1）中的椭圆方程联立，再设出两点坐标并表示出，结合条件=，知在线段的垂直平分线上，可再表示出的中点，从而建立关于的方程，求出直线方程。‎ 试题解析：（1）由已知，,解得，,‎ 所以，所以椭圆C的方程为。‎ ‎（2）由得，‎ 直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得。‎ 设：A（，），B（，）， 则，，，‎ 计算；，‎ 所以，A，B中点坐标E（，）,因为：=，‎ 所以，PE⊥AB，, 所以，,解得,‎ 经检验，符合题意，所以直线的方程为或。 ‎ 考点：（1）椭圆的定义及性质。（2）直线与椭圆的位置关系及几何性质和方程思想；‎ ‎19．(1) ;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)根据导数的几何意义，当时，,得出，再代入点斜式直线方程；‎ ‎（2）讨论，当和两种情况下的极值情况.‎ 试题解析：解:函数错误！未找到引用源。的定义域为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。. ‎ ‎（1）当错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。, ‎ 错误！未找到引用源。, ‎ 错误！未找到引用源。在点错误！未找到引用源。处的切线方程为错误！未找到引用源。, ‎ 即错误！未找到引用源。. ‎ ‎（2）由错误！未找到引用源。可知: ‎ ‎①当错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。,函数错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。上的增函数,函数错误！未找到引用源。无极值; ‎ ‎②当错误！未找到引用源。时,由错误！未找到引用源。,解得错误！未找到引用源。; ‎ 错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。 ‎ 错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。处取得极小值,且极小值为错误！未找到引用源。,无极大值. ‎ 综上:当错误！未找到引用源。时,函数错误！未找到引用源。无极值 ‎ 当错误！未找到引用源。时,函数错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。处取得极小值错误！未找到引用源。,无极大值.‎ 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数求极值.‎ ‎19．（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），‎ ‎，设G（0，2，h），则 ‎∴－1×0+1×（－2）+2h=0. ∴h=1，即G是AA1的中点. ……………6分 ‎ ‎（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，‎ 则 所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）‎ ‎∵ ∴，‎ ‎ 即AC1与平面EFG所成角为 ……………12分 ‎20．或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由为真命题，为假命题可知，、必定是一真一假.故先讨论“命题为真，命题”为真的情况，根据命题、一真一假，得到的取值范围．‎ 试题解析：若命题为真，因为函数的对称轴为，则 若命题为真，当时原不等式为，显然不成立 当时，则有 由题意知，命题、一真一假 故或 解得或 考点：1.简单的逻辑连接词；2.二次函数的单调性；3.一元二次不等式的解法.‎ ‎21．（1）＝1（2）‎ ‎【解析】(1)设椭圆方程为＝1，a>b>0，‎ 由c＝，＝，可得a＝2，b2＝a2－c2＝2，‎ 所以椭圆的标准方程为＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得可得x1＝－2x2.①‎ 设过点P的直线方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程，整理得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，‎ 则x1＋x2＝－，②x1x2＝，③‎ 由①②得x2＝，将x1＝－2x2代入③得＝，‎ 所以＝，解得k2＝.‎ 又△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|＝·＝.所以△AOB的面积是.‎ ‎22．（1）f（x）的单调递增区间是，，单调递减区间是，‎ 当x=﹣时，函数有极大值为5+4，当x=时，函数有极小值为5﹣4‎ ‎（2）‎ ‎（3）k≤﹣3．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求函数的导数，令导数等于0，求出极值点，再列表判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值，且在某区间导数大于0时，此区间为函数的增区间，在某区间导数小于0时，此区间为函数的减区间．‎ ‎（2）由（1）知函数f（x）的大致图象，然后将关于x的方程f（x）=a有3‎ 个不同实根，转化为y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，数形结合解决问题 ‎（3）先将f（x）≥k（x﹣1）恒成立，转化为k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，进而转化为求函数g（x）=x2+x﹣5在（1，+∞）上的值域即可 解：（1）求函数f（x）=x3﹣6x+5的导数，得f'（x）=3（x2﹣2），‎ 令f'（x）=0，即3（x2﹣2）=0，解得，‎ 列表讨论f′（x）的符号，得 x f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴f（x）的单调递增区间是，，单调递减区间是，‎ 当x=﹣时，函数有极大值为5+4，当x=时，函数有极小值为5﹣4‎ ‎（2）由（1）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图：‎ 若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，即y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，‎ 由图数形结合可得 ‎（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）．‎ ‎∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，‎ 令，则g（x）在（1，+∞）上是增函数，‎ ‎∴g（x）＞g（1）=﹣3，‎ ‎∴k≤﹣3．‎ 点评：本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法，利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法，不等式恒成立问题的解法 ‎22. (1)证明：在Rt△ABC中，‎ 因为EF∥BC，所以EF⊥AB，所以EF⊥EB，EF⊥EP，‎ 又因为EB∩EP＝E，EB，EP⊂平面PEB，所以EF⊥平面PEB.‎ 又因为PB⊂平面PEB，所以EF⊥PB.‎ ‎(2)解：在平面PEB内，过点P作PD⊥BE于点D，‎ 由(1)知EF⊥平面PEB，所以EF⊥PD，‎ 又因为BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BCFE，所以PD⊥平面BCFE.‎ 在平面PEB内过点B作直线BH∥PD，则BH⊥平面BCFE.‎ 如图所示，以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ 设PE＝x(0＜x＜4)，‎ 又因为AB＝BC＝4，‎ 所以BE＝4－x，EF＝x.‎ 在Rt△PED中，∠PED＝60°，‎ 所以PD＝x， DE＝x，所以BD＝4－x－x＝4－x，‎ 所以C(4，0，0)，F(x，4－x，0)，P.‎ 从而＝(x－4，4－x，0)，＝.‎ 设n1＝(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，‎ 所以即 所以 取y0＝1，得n1＝(1，1，)是平面PFC的一个法向量．‎ 又平面BFC的一个法向量为n2＝(0，0，1)，‎ 设二面角PFCB的平面角为α，‎ 则cos α＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.‎ 因此当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值为定值，且定值为.‎