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  • 2021-07-01 发布

数学理卷·2018届福建省莆田市第二十五中学高二上学期期末考试(2017-01)

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莆田第二十五中学2016-2017学年度上学期期末质量检测 高二 理科数学 一、 选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.一个椭圆的半焦距为2,离心率e=,则它的短轴长是( )‎ A.3 B. C.2 D.6‎ ‎2.若命题“”为假,且“”为假,则( )‎ A.“”为假 B.假 C.真 D.不能判断的真假 ‎3.命题:“x∈R,”的否定是( )‎ A.x∈R, B.x∈R,‎ C.x∈R, D.x∈R,‎ ‎4.已知是椭圆的两焦点,过点的直线交椭圆于两点.在中,若有两边之和是15,则第三边的长度为 A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎5.若( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.命题“若,则”的否命题是( )‎ A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎7.某物体的运动方程为s=3t3+2,则该物体在t=2时的瞬时速率是( )‎ A.36 B.26 C.14 D.28‎ ‎8.抛物线的焦点坐标为( )‎ A.(1,0) B.(,0) C.() D.()‎ ‎9.已知,函数上是单调函数,则的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于、两点,若线段的长是6,的中点到轴的距离是1,则此抛物线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知双曲线的中心在原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且线段中点,则的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.下列四个命题中真命题的个数是( )‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件;‎ ‎②命题“”的否定是“”;‎ ‎③“若,则”的逆命题为真命题;‎ ‎④命题p:,命题q:,则为真命题.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.双曲线的离心率 .‎ ‎14.抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 .‎ ‎15.函数的导数为 .‎ ‎16.函数f(x)=xlnx在(0,+∞)上的最小值为 .‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎3‎ ‎17.(10分)已知函数.(1)求f(x)的零点;‎ ‎(2)求函数y=f (x)在区间上的最小值.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知椭圆的焦距为,椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆交于两点,点,且=,求直线的方程.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知函数错误!未找到引用源。‎ ‎(1)当错误!未找到引用源。时,求曲线错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处的切线方程;‎ ‎(2)求函数错误!未找到引用源。的极值.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知p:函数在上单调递增;q:关于的不等式的解集为R.若为真命题,为假命题,求的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知椭圆与双曲线x2-y2=0有相同的焦点,且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB的面积.‎ ‎22.(本小题满分12分)已知:函数f(x)=x3﹣6x+5,x∈R,‎ ‎(1)求:函数f(x)的单调区间和极值;‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求:实数a的取值范围;‎ ‎(3)当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x﹣1)恒成立,求:实数k的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.C ‎【解析】‎ 试题分析:由椭圆的半焦距为2,离心率e=,可得c=2,a=3,求出b,从而求出答案.‎ 解:∵椭圆的半焦距为2,离心率e=,‎ ‎∴c=2,a=3,‎ ‎∴b=‎ ‎∴2b=2.‎ 故选:C.‎ 考点:椭圆的简单性质.‎ ‎2.B ‎【解析】‎ 试题分析:因为“”为假,所以“”为真,又因为“”为假,“”为假,故答案为.‎ 考点:复合命题真假的判定.‎ ‎3.B ‎【解析】‎ 试题分析:全程命题的否定为特称命题,应变为,“小于”的否定为“大于或等于”,故选B。‎ 考点:全程命题、特称命题的否定。‎ ‎4.B ‎【解析】‎ 试题分析:根据题意以及椭圆定义可有,所以若中有两边之和是 ,则第三边的长度为,故选B.‎ 考点:椭圆的定义.‎ ‎5.A ‎【解析】‎ 试题分析: 故选:A.‎ 考点:常见函数中三角函数的导函数.‎ ‎6.C ‎【解析】‎ 试题分析:否命题需将条件和结论分别否定,所以否命题为:若,则 考点:四种命题 ‎7.A ‎【解析】‎ 试题分析:由题意某物体的运动方程为s=3t3+2,对其进行求导,然后把t=2代入求解.‎ 解:∵某物体的运动方程为s=3t3+2,‎ ‎∴s′=9t2,‎ ‎∴s′|t=2=9×4=36,‎ ‎∴物体在t=2时的瞬时速率是36,‎ 故选A.‎ 点评:此题主要考查导数与瞬时速率的关系,解题的关键是能够正确求导.‎ ‎8.C ‎【解析】‎ 试题分析:变形为,焦点为 考点:抛物线性质 ‎9.D ‎【解析】解:由于函数在已知区间上增函数,故导数恒大于等于零,即 ‎10.B ‎【解析】‎ 试题分析:直线经过焦点,所以(为两点的纵坐标),故.依题意中点的纵坐标为,即,解得,所以此抛物线的方程为,故选B.‎ 考点:1、抛物线的定义;2、抛物线的方程 .‎ ‎11.B ‎【解析】‎ 试题分析:由题意,不妨设双曲线的方程为是的焦点,‎ 设则有:①,②, 由① -②得:‎ ‎,的中点为又的斜率是 即将代入可得双曲线标准方程是 ‎ 故选B.‎ 考点:1、待定系数法求双曲线的方程;2、“点差法”的应用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程及“点差法”的应用,属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”,其解题步骤为:①设点(即设出弦的两端点坐标);②代入(即代入圆锥曲线方程);③作差(即两式相减,再用平方差公式分解因式);④整理(即转化为斜率与中点坐标的关系式),然后求解.‎ ‎12.D ‎【解析】‎ 试题分析:因为,所以“”是“”的充分不必要条件;命题“”的否定是“”;“若,则”的逆命题为“若,则”的逆命题为假命题;命题p:为真命题,命题q:为假命题,所以为真命题.因此真命题的个数是3,选D.‎ 考点:命题真假判断 ‎【易错点睛】‎ 充分条件、必要条件是相对的概念,在进行判断时一定要注意哪个是“条件”,哪个是“结论”,如“A是B成立的……条件”,其中A是条件;“A成立的……条件是B”,其中B是条件.弄清命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题否定的前提.注意防止把命题的否定与否命题相混淆致误.‎ ‎13.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:双曲线即为,其中 考点:双曲线的离心率 ‎14.或 ‎【解析】‎ 试题分析:由抛物线定义可知抛物线上的点与焦点的距离为,由已知,可得,代入抛物线方程可得.‎ 考点:抛物线定义.‎ ‎15.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据导数的运算法则可得答案.‎ 解:∵∴y'==‎ 故答案为:‎ 点评:本题主要考查导数的运算法则.属基础题.求导公式一定要熟练掌握.‎ ‎16.﹣.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:取得函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,即可求得函数f(x)的最小值.‎ 解:f′(x)=(xlnx)′=x′•lnx+x•(lnx)′=lnx+1.‎ 由f′(x)>0,得x>;由f′(x)<0,得x<.‎ ‎∴f(x)=xlnx在x=处取得极小值f()=﹣,‎ ‎∴﹣就是f(x)在(0,+∞)上的最小值.‎ 故答案为:﹣.‎ 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎17.(1)x=0,或x=3‎ ‎(2)用m表示最小值(Ⅰ)当时, --- 2分 ‎ ‎(Ⅱ) ①当时,‎ ‎②当时,‎ ‎③当时,‎ ‎【解析】(1)由题意, ‎ 由,解得x=0,或x=3; --- 3分 ‎ ‎(2)设此最小值为m,‎ ‎(Ⅰ)当时,‎ ‎ 则f(x)是区间上的增函数,所以 --- 2分 ‎ ‎(Ⅱ)当时,‎ ‎ 当时, - 3分 ‎ 当时, -- 3分 ‎ ‎①当,即时,‎ ‎②当,即时,‎ ‎③当时,‎ ‎17. 解:a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),‎ b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).‎ ‎(1)cos θ===-,‎ 所以a与b的夹角θ的余弦值为-.‎ ‎(2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4),‎ 所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0.‎ 即2k2+k-10=0,所以k=-或k=2.‎ ‎18.(1) (2)或 ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由题已知椭圆方程;,利用条件焦距为,‎ 椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6,容易求出的值,得出方程.‎ ‎(2)由题可先让直线方程与(1)中的椭圆方程联立,再设出两点坐标并表示出,结合条件=,知在线段的垂直平分线上,可再表示出的中点,从而建立关于的方程,求出直线方程。‎ 试题解析:(1)由已知,,解得,,‎ 所以,所以椭圆C的方程为。‎ ‎(2)由得,‎ 直线与椭圆有两个不同的交点,所以,解得。‎ 设:A(,),B(,), 则,,,‎ 计算;,‎ 所以,A,B中点坐标E(,),因为:=,‎ 所以,PE⊥AB,, 所以,,解得,‎ 经检验,符合题意,所以直线的方程为或。 ‎ 考点:(1)椭圆的定义及性质。(2)直线与椭圆的位置关系及几何性质和方程思想;‎ ‎19.(1) ;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据导数的几何意义,当时,,得出,再代入点斜式直线方程;‎ ‎(2)讨论,当和两种情况下的极值情况.‎ 试题解析:解:函数错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. ‎ ‎(1)当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, ‎ 错误!未找到引用源。, ‎ 错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处的切线方程为错误!未找到引用源。, ‎ 即错误!未找到引用源。. ‎ ‎(2)由错误!未找到引用源。可知: ‎ ‎①当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,函数错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。上的增函数,函数错误!未找到引用源。无极值; ‎ ‎②当错误!未找到引用源。时,由错误!未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。; ‎ 错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ‎ 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。处取得极小值,且极小值为错误!未找到引用源。,无极大值. ‎ 综上:当错误!未找到引用源。时,函数错误!未找到引用源。无极值 ‎ 当错误!未找到引用源。时,函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。处取得极小值错误!未找到引用源。,无极大值.‎ 考点:1.导数的几何意义;2.利用导数求极值.‎ ‎19.(Ⅰ)以C为原点,分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C1(0,0,2),‎ ‎,设G(0,2,h),则 ‎∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1,即G是AA1的中点. ……………6分 ‎ ‎(Ⅱ)设是平面EFG的法向量,‎ 则 所以平面EFG的一个法向量m=(1,0,1)‎ ‎∵ ∴,‎ ‎ 即AC1与平面EFG所成角为 ……………12分 ‎20.或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由为真命题,为假命题可知,、必定是一真一假.故先讨论“命题为真,命题”为真的情况,根据命题、一真一假,得到的取值范围.‎ 试题解析:若命题为真,因为函数的对称轴为,则 若命题为真,当时原不等式为,显然不成立 当时,则有 由题意知,命题、一真一假 故或 解得或 考点:1.简单的逻辑连接词;2.二次函数的单调性;3.一元二次不等式的解法.‎ ‎21.(1)=1(2)‎ ‎【解析】(1)设椭圆方程为=1,a>b>0,‎ 由c=,=,可得a=2,b2=a2-c2=2,‎ 所以椭圆的标准方程为=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得可得x1=-2x2.①‎ 设过点P的直线方程为y=kx+1,代入椭圆方程,整理得(2k2+1)x2+4kx-2=0,‎ 则x1+x2=-,②x1x2=,③‎ 由①②得x2=,将x1=-2x2代入③得=,‎ 所以=,解得k2=.‎ 又△AOB的面积S=|OP|·|x1-x2|=·=.所以△AOB的面积是.‎ ‎22.(1)f(x)的单调递增区间是,,单调递减区间是,‎ 当x=﹣时,函数有极大值为5+4,当x=时,函数有极小值为5﹣4‎ ‎(2)‎ ‎(3)k≤﹣3.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先求函数的导数,令导数等于0,求出极值点,再列表判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值,且在某区间导数大于0时,此区间为函数的增区间,在某区间导数小于0时,此区间为函数的减区间.‎ ‎(2)由(1)知函数f(x)的大致图象,然后将关于x的方程f(x)=a有3‎ 个不同实根,转化为y=f(x)图象与直线y=a有3个不同交点,数形结合解决问题 ‎(3)先将f(x)≥k(x﹣1)恒成立,转化为k≤x2+x﹣5在(1,+∞)上恒成立,进而转化为求函数g(x)=x2+x﹣5在(1,+∞)上的值域即可 解:(1)求函数f(x)=x3﹣6x+5的导数,得f'(x)=3(x2﹣2),‎ 令f'(x)=0,即3(x2﹣2)=0,解得,‎ 列表讨论f′(x)的符号,得 x f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴f(x)的单调递增区间是,,单调递减区间是,‎ 当x=﹣时,函数有极大值为5+4,当x=时,函数有极小值为5﹣4‎ ‎(2)由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走向如图:‎ 若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,即y=f(x)图象与直线y=a有3个不同交点,‎ 由图数形结合可得 ‎(3)f(x)≥k(x﹣1)即(x﹣1)(x2+x﹣5)≥k(x﹣1).‎ ‎∵x>1,∴k≤x2+x﹣5在(1,+∞)上恒成立,‎ 令,则g(x)在(1,+∞)上是增函数,‎ ‎∴g(x)>g(1)=﹣3,‎ ‎∴k≤﹣3.‎ 点评:本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法,利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法,不等式恒成立问题的解法 ‎22. (1)证明:在Rt△ABC中,‎ 因为EF∥BC,所以EF⊥AB,所以EF⊥EB,EF⊥EP,‎ 又因为EB∩EP=E,EB,EP⊂平面PEB,所以EF⊥平面PEB.‎ 又因为PB⊂平面PEB,所以EF⊥PB.‎ ‎(2)解:在平面PEB内,过点P作PD⊥BE于点D,‎ 由(1)知EF⊥平面PEB,所以EF⊥PD,‎ 又因为BE∩EF=E,BE,EF⊂平面BCFE,所以PD⊥平面BCFE.‎ 在平面PEB内过点B作直线BH∥PD,则BH⊥平面BCFE.‎ 如图所示,以B为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ 设PE=x(0<x<4),‎ 又因为AB=BC=4,‎ 所以BE=4-x,EF=x.‎ 在Rt△PED中,∠PED=60°,‎ 所以PD=x, DE=x,所以BD=4-x-x=4-x,‎ 所以C(4,0,0),F(x,4-x,0),P.‎ 从而=(x-4,4-x,0),=.‎ 设n1=(x0,y0,z0)是平面PCF的一个法向量,‎ 所以即 所以 取y0=1,得n1=(1,1,)是平面PFC的一个法向量.‎ 又平面BFC的一个法向量为n2=(0,0,1),‎ 设二面角PFCB的平面角为α,‎ 则cos α=|cos〈n1,n2〉|==.‎ 因此当点E在线段AB上移动时,二面角PFCB的平面角的余弦值为定值,且定值为.‎