【数学】2020届一轮复习人教A版均值不等式的灵活应用（文）学案 15页

专题 32 均值不等式的灵活应用 一．【学习目标】 会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的 工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力． 二．【知识要点】 1.不等式建模应用问题 实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时 问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题⇒假设建模⇒求 解模型⇒检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型. 2.不等式综合应用类型 类型 1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题. 类型 2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题. 类型 3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等. 类型 4：探究数列的递增(递减)性，前 n 项和的最值等问题. 3．基本不等式 (1)a2＋b2≥2ab；变式： a2＋b2 2 ≥ab；当且仅当 a＝b 时等号成立； (2)如果 a≥0，b≥0，则 a＋b 2 ≥ ab；变式：ab≤(a＋b 2 )2 ，当且仅当 a＝b 时，等号成立，其中 a＋b 2 叫 做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a， b 的几何平均数． 4．(1)若 a>0，b>0，且 a＋b＝P(定值)，则由 ab≤(a＋b 2 ) 2 ＝ P2 4 可知，当 a＝b 时，ab 有最大值 P2 4 ； (2)若 a>0，b>0 且 ab＝S(定值)，则由 a＋b≥2 ab＝2 S可知，当 a＝b 时，a＋b 有最小值 2 S. 三．题型方法规律总结 1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类 是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题. 不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出 综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法. 2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调 性；利用均值不等式. 3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是 以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨 论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的 直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系. 4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤： (1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述 篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景， 确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法. (2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系. (3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号. (4)回验：回到实际问题，作出合理的结论. 四．典例分析 （一）基本不等式比较大小 例 1．若 ， ， 则下列结论：① ，② ③ ④ ，其中正确的个数是　（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 练习 1．若 m，n，a，b，c，d 均为正数， ，则 p，q 的大小关系为(　　) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不确定 【答案】B 【解析】q＝ ≥ ＝ ＋ ＝p，当且仅当 ＝ 时取等号． 练习 2．若 ， ， ， ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ ， ∴ ，且 ， ∴ ，即 ． 故选 B． 练习 3．设 f(x)＝ex,0p D．p＝r>q 【答案】C 【解析】由题意得 ， ∵ ，∴ ， 又函数 为增函数，∴ ． 故选 C． （二）利用基本不等式证明 例 2.已知 ，求证： . 【答案】证明见解析 【解析】 ， ， ， 上面三式相加，得： ， 所以， . 练习 1．设 a、 ，原命题“若 ，则 ”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结 论正确的是 A．逆命题与否命题均为真命题 B．逆命题为假命题，否命题为真命题 C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D．否命题为假命题，逆否命题为真命题 【答案】A 【解析】 原命题：“设 a、 ，原命题“若 ，则 ”，是假命题， 原命题的逆否命题是假命题； 原命题的逆命题：“若 ，则 ”，是真命题， 原命题的否命题是真命题． 故选：A． 练习 2．已知 ， ，为不全相等的正实数，且 .求证： . 【答案】见解析 练习 3．下列条件：① ，② ，③ ， ，④ ， ，其中能使 成立的条件的序 号是________． 【答案】①③④ 【解析】要使 ，只需 成立，即 ， 不为 且同号即可，故①③④能使 成立．. 故答案为：①③④. （三）由基本不等式求积的最值 例 3. 4．在 中，角 A,B,C 的对边分别为 且 . （1）若 ，且 <，求 的值． （2）求 的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由余弦定理可得 ，即 ， 解得 ，又由 ，且 ， 联立方程组 ，解得 . （2）由余弦定理 ，得 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以三角形的面积为 ，此时 练习 1．已知 ，且 ，则 的最大值是（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】由题意得， ，当且仅当 时等号成立， 所以 的最大值是 ． 故选 C． 【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 逆用就是 ； 逆用就是 等．当应用不等式的条件不满足时，要注意 运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条 件． 练习 2．已知圆 C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1 与圆 C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4 相外切，a，b 为正实数，则 ab 的最大值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知， 圆 C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1 的圆心为 C1（﹣a，2），半径 r1=1． 圆 C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4 的圆心为 C2（b，2），半径 r2=2． ∵圆 C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1 与圆 C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4 相外切， ∴|C1C2|=r1+r2．即 a+b=3． 由基本不等式，得 ． 故选：B． 练习 3．已知正实数 ， ，满足 ，则当 取得最大值时， 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正实数 ， ，满足 ，得 ，当且仅当 ，即 时 ， 取 最 大 值 ， 又 因 为 ， 所 以 此 时 ， 所 以 ，故最大值为 1 （四）基本不等式求和的最值 例 4.已知实数 ，满足 ， ，则 的最小值是 A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， ， ，当且仅当 时，取等号． 则 ， 当且仅当 时，且 ， 时， 的最小值为 9，故选 B． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌 握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为 定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时 参数是否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 练习 1．若正数 满足 ，则 的最小值为( ) A．9 B．8 C．5 D． 4 【答案】A 【解析】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy， ∴ , ∴x+y＝（x+y）（ ）＝5+ ≥5+2 ＝9，当且仅当 x＝2y 取等号，结合 x+4y＝xy， 解得 x＝6，y＝3 ∴x+y 的最小值为 9， 故答案为：A． 练习 2．已知 ，且 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，可知 ，且 ，则 ， 则 ， 当且仅当 ，即 等号成立，即 最小值是 ，故选 A. 练习 3．已知 ， 且 ，则 的最小值为______． 【答案】15 （五）条件等式求最值 例 5．若直线 过圆 的圆心，则 的最小值为( ) A．10 B． C． D． 【答案】C 【解析】圆 x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0 的圆心（﹣2，2）在直线 ax﹣by+2＝0 上， 所以﹣2a﹣2b+2＝0，即 1＝a+b， （ ）（a+b）＝5 5+2 （a＞0，b＞0 当且仅当 a b 时取等号） 故选：C． 练习 1．已知实数 ，且 ，则 的最小值为____ 【答案】 【解析】由于 a+b＝2，且 a＞b＞0，则 0＜b＜1＜a＜2， 所以， ， 令 t＝2a﹣1∈（1，3），则 2a＝t+1， 所 以 ， 当且仅当 ，即当 时，等号成立． 因此， 的最小值为 ． 故答案为： ． 练习 2．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为____. 【答案】4 【解析】∵a＞1，b＞2 满足 2a+b﹣6＝0， ∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0， 则 （ ）[2（a﹣1）+b﹣2] ， （4 ） ， 当且仅当 且 2a+b﹣6＝0 即 a ，b＝3 时取得最小值为 4． 故答案为：4． 练习 3．已知点 在圆 上运动，则 的最小值为___________． 【答案】1 【解析】∵点 在椭圆 上运动， 即 ， 则 ，当且仅当 时，取等号， 即所求的最小值为 . 练习 4．已知 ， ， ，则 的最小值为_______． 【答案】3 【解析】因为 ， ， 所以 = （六）基本不等式的恒成立问题 例 6.已知函数 . (1)求关于 的不等式 的解集； (2) ,使得 成立,求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意得 不等式 可化为 或 或 或 解得 ． 所以不等式 的解集为 ． (2) ，使得 成立，等价于 . 由(1)知 ，当 时， ， 当且仅当 ，即当 时，等号成立．所以 ，解得 ， 又 ，所以 ．故实数 的取值范围为 ． 【点睛】解绝对值不等式的常用方法 (1)平方法：两边平方去掉绝对值符号． (2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转 化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． (3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． 练习 1．已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意 ，当 等号成立.故 恒成，化简得 ，解得 ，故选 C. 练习 2．已知不等式 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 m 的最小值是　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】不等式 对任意的正实数 x，y 恒成立， 则 对任意的正实数 x，y 恒成立， 又 ， ， 解得 或 不合题意，舍去， ， 即正实数 m 的最小值是 4． 故选：B． 练习 3．（1）已知 x＞0，y＞0，x+y+xy=8，则 x+y 的最小值？ （2）已知不等式 的解集为{x|a≤x＜b}，点（a，b）在直线 mx+ny+1=0 上，其中 m，n＞0，若对任 意满足条件的 m，n，恒有 成立，则 λ 的取值范围？ 【答案】(1)4 (2)（﹣∞，9] 【解析】（1）∵x＞0，y＞0， ∴ ，当且仅当 x=y 时取等号 由 x+y+xy=8， 可得：8﹣（x+y）≤ ．令 x+y=t．（t＞0）．得 8﹣t≤ ，（t＞0）. 解得：t≥4，即 x+y≥4．故 x+y 的最小值为 4． （2）由不等式 的解集为{x|a≤x＜b}， 可得方程（x+2）（x+1）=0 的两个根 =a=﹣2， =b=﹣1． ∵点（a，b）在直线 mx+ny+1=0 上，得：﹣2m﹣n+1=0，即 2m+n=1． 对任意满足条件的 m，n，恒有 成立， 则： ．当且仅当 n=m 时取等号． ∴λ≤9． 即 λ 的取值范围是（﹣∞，9]． 练习 4．若不等式 ＞0 在满足条件 a＞b＞c 时恒成立，求实数 λ 的取值范围． 【答案】(－∞，4) 【解析】原不等式可化为 ＞ . ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0. ∴不等式 λ＜ 恒成立． ∵ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2＝4， ∴λ＜4. 故实数 λ 的取值范围是(－∞，4)． （七）对勾函数求最值 例 7．已知 。 （1）比较 ，在 的大小关系； （2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1） = ， 即 （2）∵ 在 上恒成立， ∴ 在 上恒成立， 即 ，又 在 上递增， ∴ ∴ ，即 ∴ 练习 1．已知 ，则函数 的最小值为 ______． 【答案】4 【解析】已知 ，根据均值不等式可知： ，当且仅当 时取等号。 练习 2．已知 ， ，则 的最大值是 ． 【答案】 【解析】由题得原式= ，设 ， 所以原式= ， 令 所以原式= .(函数在 上单调递减). 故答案为： . （八）均值不等式的应用 例 8．某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量） （单位： 万件）与年促销费用（ ）（单位：万元）满足 （ 为常数），如果不搞促销活动，则该产品 的年销量只能是 1 万件. 已知 2019 年生产该产品的固定投入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部 分）. （1）将该厂家 2019 年该产品的利润 万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家 2019 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 【答案】（1） ；（2）2019 年的年促销费用投入 2.5 万元时，该厂家利润最大 【解析】（1）由题意有 ，得 故 ∴ （2）由（1）知： 当且仅当 即 时， 有最大值. 答: 2019 年的年促销费用投入 2.5 万元时，该厂家利润最大. 练习 1．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为 6400 立方米，深度为 4 米．池底每平方米 的造价为 120 元，池壁每平方米的造价为 100 元．设池底长方形的长为 x 米． （Ⅰ）求底面积，并用含 x 的表达式表示池壁面积； （Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）池底设计为边长 米的正方形时，总造价最低，其值为 元. 【解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为 S2， 则有 (平方米)．池底长方形宽为 米，则 S2＝8x＋8× ＝8(x＋ )． （Ⅱ）设总造价为 y，则 y＝120×1 600＋100×8 ≥192000＋64000＝256000．当且仅当 x＝ ，即 x＝40 时取等 号． 所以 x＝40 时，总造价最低为 256000 元． 答：当池底设计为边长 40 米的正方形时，总造价最低，其值为 256000 元． 练习 2．某投资公司计划投资 ， 两种金融产品，根据市场调查与预测， 产品的利润 与投资金额 的函 数关系为 ， 产品的利润 与投资金额 的函数关系为 .（注：利润与投资金额单位： 万元）学_科网 （1）该公司已有 100 万元资金，并全部投入 ， 两种产品中，其中 万元资金投入 产品，试把 ， 两种 产品利润总和表示为 的函数，并写出定义域； （2）试问：怎样分配这 100 万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 【答案】（1） ；（2）20，28. 练习 3．已知某公司生产某款手机的年固定成本为 400 万元，每生产 1 万部还需另投入 160 万元设公司一年 内共生产该款手机 万部且并全部销售完，每万部的收入为 万元，且 ． 写出年利润 万元关于年产量 （万部）的函数关系式； 当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） ， ;（2）当 时，y 取得最大值 57600 万元． 【解析】（1）由题意，可得利润 关于年产量 的函数关系式为 ， . 由 可得 ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以当 时，y 取得最大值 57600 万元．