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- 2021-07-01 发布
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课时规范练64 不等式选讲
基础巩固组
1.(2017山西吕梁二模)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.
〚导学号21500789〛
2.(2017辽宁鞍山一模)设函数f(x)=x-52+|x-a|,x∈R.
(1)当a=-12时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值.
3.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
〚导学号21500790〛
4.已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
5.(2017山西临汾三模)已知函数f(x)=|x+2|-m,m∈R,且f(x)≤0的解集为[-3,-1].
(1)求m的值;
(2)设a,b,c为正数,且a+b+c=m,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.
〚导学号21500791〛
综合提升组
6.(2017辽宁沈阳一模)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M,
(1)证明:13a+16b<14;
(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.
7.已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
8.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.
证明:(1)ab+bc+ac≤13;
(2)a2b+b2c+c2a≥1.
〚导学号21500792〛
创新应用组
9.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
10.(2017河北邯郸二模)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.
(1)若关于x的不等式f(x)f(x)min,
由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,
当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,
则|a-1|<2,即-252.
由f(x)≥4得x<-12,-2x+2≥4或x>52,2x-2≥4.
解得x≤-1或x≥3,
所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}.
(2)由绝对值的性质得f(x)=x-52+|x-a|≥x-52-(x-a)=a-52,
所以f(x)的最小值为a-52,从而a-52≥a,解得a≤54,因此a的最大值为54.
3.解(1)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x≤2,1,21时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
5.解(1)由题意,|x+2|≤m⇔m≥0,-m-2≤x≤m-2',
由f(x)≤0的解集为[-3,-1],得-m-2=-3,m-2=-1,解得m=1.
(2)由(1)可得a+b+c=1,
由柯西不等式可得(3a+1+3b+1+3c+1)(12+12+12)≥(3a+1+3b+1+3c+1)2,
∴3a+1+3b+1+3c+1≤32,
当且仅当3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13时等号成立,
∴3a+1+3b+1+3c+1的最大值为32.
6.(1)证明记f(x)=|x-1|-|x+2|=3,x≤-2,-2x-1,-20,
所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|.
7.(1)解 f(x)=-2x,x≤-12,1,-12-1;
当-121化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得230,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为x23a.
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),
△ABC的面积为23(a+1)2.
由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).
10.解(1)当x=2时,g(x)=a-|x-2|取最大值为a,
∵f(x)=|x+1|+|x-3|≥4,当且仅当-1≤x≤3,f(x)取最小值4,
又关于x的不等式f(x)4,即实数a的取值范围是(4,+∞).
(2)当x=72时,f(x)=5,
则g72=-32+a=5,解得a=132,
∴当x<2时,g(x)=x+92,
令g(x)=x+92=4,得x=-12∈(-1,3),
∴b=-12,则a+b=6.