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  • 2021-07-01 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版第49课抛物线的标准方程和几何性质学案(江苏专用)

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第49课 抛物线的标准方程和几何性质 ‎1. 了解抛物线的定义和几何图形.‎ ‎2. 熟悉抛物线的标准方程,会求抛物线的标准方程;理解抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.‎ ‎1. 阅读:选修11第47~49页(理科阅读选修21相应内容).‎ ‎2. 解悟:①抛物线的定义及方程的形成过程是什么?②掌握抛物线方程的结构及形式,会根据条件求出抛物线方程,会由方程求出焦点坐标及准线方程;③要确定抛物线的方程需具备几个条件?方程中的p的几何意义是什么?‎ ‎3. 践习:在教材空白处,完成选修11第49页练习4、5,第50页练习1,3(理科完成选修21相应任务).‎ ‎ 基础诊断 ‎ ‎1. 平面内到定点(1,1)和到定直线x+y-2=0的距离相等的点的轨迹是 直线y=x .‎ 解析:因为点(1,1)位于直线x+y-2=0上,所以动点的轨迹为过点(1,1)且与直线x+y-2=0垂直的直线,即直线y=x.‎ ‎2. 抛物线y=-8x2的焦点坐标是  .‎ 解析:由题意得x2=-y,焦点在y轴上,所以焦点坐标为.‎ ‎3. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线方程为x2=2py(p>0).若直线x-y-2=0与该抛物线相切,则实数p= 4 .‎ 解析:联立消去y得x2-2px+4p=0.因为直线x-y-2=0与该抛物线相切,则Δ=4p2-16p=0,所以p=4或p=0(舍去),故实数p=4.‎ ‎4. 抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是  .‎ 解析:因为抛物线的标准方程为x2=y,所以焦点F,准线方程为y=-.设M(x0,y0),则由抛物线的定义得1=y0+,即y0=,故点M的纵坐标为.‎ ‎5. 设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||= 6 .‎ 解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).因为抛物线焦点坐标F(1,0),准线方程为x=-1,++=0,所以点F是△ABC的重心,则x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.又因为||=x1+1,||=x2+1,||=x3+1,所以||+||+||=x1+1+x2+1+x3+1=6.‎ ‎ 范例导航 ‎ 考向❶ 求抛物线的标准方程 例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程:‎ ‎(1) 过点(-3,2);‎ ‎(2) 焦点在直线x-2y-4=0上.‎ 解析:(1) 因为点(-3,2)在第二象限,‎ 所以抛物线的标准方程可设为y2=-2p1x(p1>0)或x2=2p2y(p2>0). 把点(-3,2)的坐标分别代入得4=-2p1·(-3)或9=2p2·2,‎ 则2p1=或2p2=,‎ 所以抛物线的标准方程为y2=-x或x2=y.‎ ‎(2) 令x=0,得y=-2;令y=0,得x=4,‎ 所以抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).‎ 当焦点为(4,0)时,=4,‎ 所以2p=16,此时抛物线方程为y2=16x;‎ 当焦点为(0,-2)时,=2,‎ 所以2p=8,此时抛物线方程为x2=-8y.‎ 故抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.‎ 已知抛物线焦点到准线的距离为,则该抛物线的标准方程为 y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y .‎ 考向❷ 抛物线焦点弦问题 例2 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若AF=3,求△AOB的面积.‎ 解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),(y1>0,y2<0),‎ 如图所示.点A在抛物线上,故有AF=AC=x1+1=3,所以x1=2, 从而y1=2. ‎ 设直线AB的方程为x-1=ty,‎ 由方程组消去x得y2-4ty-4=0,‎ 所以y1y2=-4,所以y2=-,x2=, ‎ 所以S△AOB=×1×|y1-y2|=. ‎ 已知F为抛物线y2=4x的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5,求直线AF的斜率.‎ ‎  解析:由题意得F(1,0),准线方程x=-1.由第一象限的点A到其准线的距离为5,则A(4,4),则直线AF的斜率为.‎ 考向❸ 最值问题 例3 已知抛物线y2=2x的焦点是F,P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求PA+PF的最小值,并求出取最小值时点P的坐标.‎ 解析:将x=3代入抛物线方程得y=>2,‎ 所以点A在抛物线内部,如图.‎ 设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为PC=d,‎ 由抛物线定义知PA+PF=PA+d,‎ 当PA⊥l,即A,P,C在同一直线上时,‎ PA+d最小,最小值为3-=,‎ 所以PA+PF的最小值为. ‎ 此时,点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,‎ 所以取得最小值时点P的坐标为(2,2). ‎ ‎ 自测反馈 ‎ ‎1. 设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是 6 .‎ 解析:因为抛物线的方程为y2=8x.设其焦点为F,所以其准线l的方程为x=-2.设点P(x0,y0)到其准线的距离为d,则d=PF,即PF=x0+2.因为点P到y轴的距离为4,所以x0=4,所以PF=4+2=6.‎ ‎2. 已知抛物线形拱桥的顶点距水面2m,测量得水面宽度为8m,当水面上升1m后,水面宽度为 4 m.‎ 解析:由题意,建立如图所示的坐标系,抛物线的开口向下,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0).因为顶点距水面2米时,量得水面宽8米,所以点(4,-2)在抛物线上,代入方程得p=4,所以x2=-8y.当水面升高1米后,y=-1,代入方程得x=±2,所以水面宽度是4m.‎ ‎3. 已知M是抛物线y2=4x上的一点,F为抛物线的焦点,点A在圆C:(x-4)2+(y-‎ ‎1)2=1上,则MA+MF的最小值为 4 W.‎ 解析:抛物线y2=4x的准线l方程为x=-1,过点M作MN⊥l,垂足为N.因为M是抛物线上的点,F为抛物线的焦点,所以MN=MF,所以MA+MF=MA+MN.因为点A在圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上,圆心C(4,1),半径r=1,所以当N,M,C三点共线时,MA+MF最小,所以MA+MF最小值为CN-r=5-1=4.‎ ‎4. 已知抛物线y2=2x的焦点弦为AB,O为坐标原点,则·的值为 - .‎ 解析:由题意得抛物线的焦点为.当直线AB斜率不存在时,直线AB的方程为x=,则A,B,所以·=×-1=-;当直线AB的斜率存在时,设直线AB:x-=ty,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x得y2-2ty-1=0,则y1y2=-1,y1+y2=2t,所以·=x1x2+y1y2=+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+=-.综上,·=-.‎ ‎1. 抛物线中涉及焦点问题很多离不开使用定义解题,即抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等.‎ ‎2. 抛物线y2=ax(a≠0)上一动点一般可设为,抛物线x2=ay(a≠0)上一动点一般可设为.‎ ‎3. 你还有哪些体悟,写下来:‎ ‎                                    ‎ ‎                                    ‎

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