【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-9函数模型及其应用教案 7页

第九节　函数模型及其应用 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．‎ ‎(对应学生用书第27页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．常见的几种函数模型 ‎ (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．‎ ‎ (2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．‎ ‎ (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．‎ ‎ (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．‎ ‎ (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．‎ ‎ (6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．‎ ‎2．三种函数模型之间增长速度的比较 ‎　　函数 性质　　‎ y＝ax(a＞1)‎ y＝logax(a＞1)‎ y＝xn(n＞0)‎ 在(0，＋∞)‎ 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax ‎3. 解函数应用问题的步骤(四步八字)‎ ‎ (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；‎ ‎ ‎ ‎(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；‎ ‎ (3)解模：求解数学模型，得出数学结论；‎ ‎ (4)还原：将数学问题还原为实际问题．‎ ‎ 以上过程用框图表示如下：‎ ‎[知识拓展]‎ ‎ “对勾”函数 ‎ 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：‎ ‎ (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．‎ ‎ (2)当x＞0时，x＝时取最小值2，‎ ‎ 当x＜0时，x＝－时取最大值－2.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)‎ ‎ (2)幂函数增长比直线增长更快．(　　)‎ ‎ (3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　)‎ ‎ (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　)‎ ‎ A．100只　　 B．200只　　‎ ‎ C．300只　　 D．400只 ‎ B　[由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log3 9＝200.]‎ ‎3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)‎ x ‎1.95‎ ‎3.00‎ ‎3.94‎ ‎5.10‎ ‎6.12‎ y ‎0.97‎ ‎1.59‎ ‎1.98‎ ‎2.35‎ ‎2.61‎ ‎ A．y＝2x B．y＝log2x ‎ C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos x ‎ B　[由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)，C中y＝(32－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选B．]‎ ‎4．一根蜡烛长‎20 cm，点燃后每小时燃烧‎5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(　　)‎ ‎ B　[由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B．]‎ ‎5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________. 【导学号：79170054】‎ ‎ －1　[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)·(1＋q)，∴x＝－1.]‎ ‎(对应学生用书第28页)‎ 用函数图象刻画变化过程 ‎　(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　)‎ A　　 　B　　 　C　　 　D ‎ (2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)‎ A　　　　B　　 　C　　 　 D ‎ (1)A　(2)D　[(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A．‎ ‎ (2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当40)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)‎ ‎ D　[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”‎ 而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D．]‎ 应用所给函数模型解决实际问题 ‎　某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图291①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291②.(注：利润和投资单位：万元)‎ ‎①　　　　　　　　　②‎ 图291‎ ‎ (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；‎ ‎ (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．‎ ‎ ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？‎ ‎ ②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？‎ ‎ 【导学号：79170055】‎ ‎ [解]　(1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0). 3分 ‎ (2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6，‎ ‎ 所以总利润y＝8.25万元. 5分 ‎ ②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．‎ ‎ 则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18. 7分 ‎ 令＝t，t∈[0,3]，‎ ‎ 则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.‎ ‎ 所以当t＝4时，ymax＝＝8.5， 9分 ‎ 此时x＝16,18－x＝2.‎ ‎ 所以当A，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 12分 ‎ [规律方法]　　求解所给函数模型解决实际问题的关注点：‎ ‎ (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．‎ ‎ (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．‎ ‎ (3)利用该模型求解实际问题．‎ ‎ 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．‎ ‎[变式训练2]　(2018·德州模拟)某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，约1小时后培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　)‎ ‎ A．640　　　　　　 B．1 280‎ ‎ C．2 560 D．5 120‎ ‎ C　[原来的细菌数为10，‎ ‎ 由题意可得，在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，‎ ‎ ∴20＝10eλ，即eλ＝2，y＝10eλt＝10·2t.‎ ‎ 若t＝8，则可得此时的细菌数为y＝10×28＝2 560，故选C．]‎ 构建函数模型解决实际问题 ‎　(1)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)‎ ‎ A．2018年 B．2019年 ‎ C．2020年 D．2021年 ‎ (2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为‎3 km(不超过‎3 km按起步价收费)；超过‎3 km但不超过‎8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过‎8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.‎ ‎ (1)B　(2)9　[(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈ ‎＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．‎ ‎ (2)设出租车行驶了x km，付费y元，‎ ‎ 由题意得 ‎ y＝ ‎ 当x＝8时，y＝19.75＜22.6，‎ ‎ 因此由8＋2.15×5＋2.85×(x－8)＋1＝22.6，‎ ‎ 得x＝9.]‎ ‎ [规律方法]　　构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：‎ ‎ (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．‎ ‎ (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．‎ ‎ (3)构建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．‎ ‎ 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．‎ ‎[变式训练3]　(2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元 ‎ 2 500　[L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000‎ ‎ ＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.‎ ‎ 当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．]‎