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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-9函数模型及其应用教案

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第九节 函数模型及其应用 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.‎ ‎(对应学生用书第27页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1.常见的几种函数模型 ‎ (1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0).‎ ‎ (2)反比例函数模型:y=+b(k,b为常数且k≠0).‎ ‎ (3)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).‎ ‎ (4)指数函数模型:y=a·bx+c(a,b,c为常数,b>0,b≠1,a≠0).‎ ‎ (5)对数函数模型:y=mlogax+n(m,n,a为常数,a>0,a≠1,m≠0).‎ ‎ (6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0).‎ ‎2.三种函数模型之间增长速度的比较 ‎  函数 性质  ‎ y=ax(a>1)‎ y=logax(a>1)‎ y=xn(n>0)‎ 在(0,+∞)‎ 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax ‎3. 解函数应用问题的步骤(四步八字)‎ ‎ (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;‎ ‎ ‎ ‎(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;‎ ‎ (3)解模:求解数学模型,得出数学结论;‎ ‎ (4)还原:将数学问题还原为实际问题.‎ ‎ 以上过程用框图表示如下:‎ ‎[知识拓展]‎ ‎ “对勾”函数 ‎ 形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:‎ ‎ (1)该函数在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减.‎ ‎ (2)当x>0时,x=时取最小值2,‎ ‎ 当x<0时,x=-时取最大值-2.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎ (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(  )‎ ‎ (2)幂函数增长比直线增长更快.(  )‎ ‎ (3)不存在x0,使ax0<x<logax0.(  )‎ ‎ (4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).(  )‎ ‎ [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到(  )‎ ‎ A.100只   B.200只  ‎ ‎ C.300只   D.400只 ‎ B [由题意知100=alog3(2+1),∴a=100,∴y=100log3(x+1),当x=8时,y=100log3 9=200.]‎ ‎3.(教材改编)在某种新型材料的研制中,试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(  )‎ x ‎1.95‎ ‎3.00‎ ‎3.94‎ ‎5.10‎ ‎6.12‎ y ‎0.97‎ ‎1.59‎ ‎1.98‎ ‎2.35‎ ‎2.61‎ ‎ A.y=2x B.y=log2x ‎ C.y=(x2-1) D.y=2.61cos x ‎ B [由表格知当x=3时,y=1.59,而A中y=23=8,不合要求,B中y=log23∈(1,2),C中y=(32-1)=4,不合要求,D中y=2.61cos 3<0,不合要求,故选B.]‎ ‎4.一根蜡烛长‎20 cm,点燃后每小时燃烧‎5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(  )‎ ‎ B [由题意h=20-5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.]‎ ‎5.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为________. 【导学号:79170054】‎ ‎ -1 [设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)·(1+q),∴x=-1.]‎ ‎(对应学生用书第28页)‎ 用函数图象刻画变化过程 ‎ (1)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(  )‎ A    B    C    D ‎ (2)已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是(  )‎ A    B    C     D ‎ (1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C图象符合要求,而后3年年产量保持不变,产品的总产量应呈直线上升,故选A.‎ ‎ (2)依题意知当0≤x≤4时,f(x)=2x;当40),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(  )‎ ‎ D [y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”‎ 而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B,故选D.]‎ 应用所给函数模型解决实际问题 ‎ 某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图291①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图291②.(注:利润和投资单位:万元)‎ ‎①         ②‎ 图291‎ ‎ (1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;‎ ‎ (2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.‎ ‎ ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?‎ ‎ ②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?‎ ‎ 【导学号:79170055】‎ ‎ [解] (1)f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0). 3分 ‎ (2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,‎ ‎ 所以总利润y=8.25万元. 5分 ‎ ②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.‎ ‎ 则y=(18-x)+2,0≤x≤18. 7分 ‎ 令=t,t∈[0,3],‎ ‎ 则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.‎ ‎ 所以当t=4时,ymax==8.5, 9分 ‎ 此时x=16,18-x=2.‎ ‎ 所以当A,B 两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元. 12分 ‎ [规律方法]  求解所给函数模型解决实际问题的关注点:‎ ‎ (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.‎ ‎ (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.‎ ‎ (3)利用该模型求解实际问题.‎ ‎ 易错警示:解决实际问题时要注意自变量的取值范围.‎ ‎[变式训练2] (2018·德州模拟)某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液,约1小时后培养真菌数目繁殖为原来的2倍.经测量知该真菌的繁殖规律为y=10eλt,其中λ为常数,t表示时间(单位:小时),y表示真菌个数.经过8小时培养,真菌能达到的个数为(  )‎ ‎ A.640       B.1 280‎ ‎ C.2 560 D.5 120‎ ‎ C [原来的细菌数为10,‎ ‎ 由题意可得,在函数y=10eλt中,当t=1时,y=20,‎ ‎ ∴20=10eλ,即eλ=2,y=10eλt=10·2t.‎ ‎ 若t=8,则可得此时的细菌数为y=10×28=2 560,故选C.]‎ 构建函数模型解决实际问题 ‎ (1)(2016·四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)(  )‎ ‎ A.2018年 B.2019年 ‎ C.2020年 D.2021年 ‎ (2)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为‎3 km(不超过‎3 km按起步价收费);超过‎3 km但不超过‎8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过‎8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另外每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km.‎ ‎ (1)B (2)9 [(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元.由130(1+12%)n>200,得1.12n>,两边取常用对数,得n>≈ ‎=,∴n≥4,∴从2019年开始,该公司投入的研发资金开始超过200万元.‎ ‎ (2)设出租车行驶了x km,付费y元,‎ ‎ 由题意得 ‎ y= ‎ 当x=8时,y=19.75<22.6,‎ ‎ 因此由8+2.15×5+2.85×(x-8)+1=22.6,‎ ‎ 得x=9.]‎ ‎ [规律方法]  构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法:‎ ‎ (1)构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.‎ ‎ (2)构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法.‎ ‎ (3)构建f(x)=x+(a>0)模型,常用基本不等式、导数等知识求解.‎ ‎ 易错警示:求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.‎ ‎[变式训练3] (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是________万元 ‎ 2 500 [L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000‎ ‎ =-Q2+30Q-2 000=-(Q-300)2+2 500.‎ ‎ 当Q=300时,L(Q)的最大值为2 500万元.]‎

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