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- 2021-07-01 发布
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2019-2020学年山东省聊城市高二上学期期末数学试题
一、单选题
1.命题:,的否定是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可选出答案.
【详解】
全称命题:,的否定是特称命题,.
故选:D
【点睛】
本题考查全称命题的否定,属于基础题.
2.已知向量,,,则( )
A.-3 B.3 C.9 D.0
【答案】B
【解析】先求出的坐标,然后进行向量的数量积运算即可.
【详解】
,
故选:B
【点睛】
本题考查向量的基本运算与数量积运算,属于基础题.
3.已知数列为等差数列,是其前项和,若,,则( )
A.96 B.72 C.48 D.60
【答案】C
【解析】根据题意列出方程组,求解得,代入等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】
,求得 ,
所以.
故选:C
【点睛】
本题考查等差数列基本量的求解,等差数列前n项和,属于基础题.
4.点为椭圆上位于第一象限内的一点,过点作轴的垂线,垂足为,为坐标原点,则的面积的最大值为( )
A. B. C.3 D.
【答案】A
【解析】设,由均值不等式可得,代入面积公式即可求出最大值.
【详解】
设,因为,即,
所以(当且仅当时取等号),面积的最大值为.
故选:A
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,均值不等式,属于基础题.
5.已知数列满足,则“”是“为等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.充分必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】如果,满足,但不是等比数列;反之根据等比数列的性质可判断“”是“为等比数列”的必要不充分条件.
【详解】
如果,满足,但不是等比数列;反之若“
为等比数列”,根据等比数列的性质可知,所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件.
故选:C
【点睛】
本题考查等比数列的判定和性质,充分条件、必要条件的判断,充分条件因为涉及知识面广,因而要求同学知识储备量比较大,明确充分条件的定义正确应用即可解答,属于基础题.
6.已知椭圆:与双曲线:有共同的焦点,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先求出椭圆E的焦点坐标,由双曲线与椭圆共焦点可知,再求出,即可求出双曲线的渐近线.
【详解】
椭圆的焦点为,所以双曲线C的焦点为,
则在双曲线C中:,,
所以双曲线的渐近线方程为:.
故选:B
【点睛】
本题考查双曲线与椭圆的简单性质,双曲线的渐近线方程,属于基础题.
7.按照下列图形中的规律排下去,第6个图形中包含的点的个数为( )
A.108 B.128 C.148 D.168
【答案】A
【解析】观察图形找出第n图形中所包含点的个数为,令代入公式即可得解.
【详解】
观察图形可知第1个图形中包含点的个数为:,
第2个图形中包含点的个数为:,
第3个图形中包含点的个数为:,
第4个图形中包含点的个数为:,
第6个图形中包含点的个数为:
故选:A
【点睛】
本题考查归纳推理,考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力,属于基础题.
8.已知直线与双曲线:的左、右两支分别交于、两点,为双曲线的右焦点,其中,,则双曲线的离心率( )
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】取左焦点为,连接,可得四边形是矩形,由及双曲线的性质可求得,再分别求出,由勾股定理列出方程求出,即可求出离心率.
【详解】
取左焦点为,连接,如图所示,
由题意知,且四边形是矩形,
易知,由双曲线的定义知,两式联立可得,
则,由双曲线的对称性知,
在中,
,即,,所以
故选:D
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质,直线与双曲线的位置关系,双曲线离心率的求法,属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,c从而求出e;②构造、c的齐次式,求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.
二、多选题
9.已知、、、是实数,则下列一定正确的有( )
A. B.
C.若,则 D.若,,则
【答案】AD
【解析】通过作差比较A选项中两个数的大小,反证法分别比较B、C两个选项中数的大小,作商比较D选项中两个数的大小.
【详解】
因为,所以A正确;
当时,,故B错误;
当时,,但,故C错误;
若,,则,且,
所以,又,所以,故D正确.
故选:AD
【点睛】
本题考查不等关系和不等式,属于基础题.
10.若“”是“”的充分不必要条件,则实数可以是( )
A.-8 B.-5 C.1 D.4
【答案】ACD
【解析】分别求出两个不等式的解集,根据题意知,从而求得k的取值范围.
【详解】
,解得,
即,解得或,
由题意知,所以或,
即.
故选:ACD
【点睛】
本题考查一元二次不等式,根据集合的包含关系求参数,属于基础题.
11.已知方程,其中,则( )
A.时,方程表示椭圆
B.时,方程表示双曲线
C.时,方程表示抛物线
D.时,方程表示焦点在轴上的椭圆
【答案】BD
【解析】当时,表示双曲线,时表示焦点在x
轴上的双曲线,表示焦点在y轴上的双曲线;当时表示焦点在y轴上的椭圆,当时表示焦点在x轴上的椭圆.
【详解】
若,则不表示椭圆,故A错误;
若,则表示焦点在x轴上的双曲线,若,则表示焦点在y轴上的双曲线,故B正确;
当时,若,则方程表示两条垂直于x轴的直线,若则不表示任何图形,故C错误;
时,,表示焦点在x轴上的椭圆,D正确.
故选:BD
【点睛】
本题考查圆锥曲线的标准方程,由标准方程判断焦点的位置,属于基础题.
12.已知数列满足,,则下列结论正确的有( )
A.为等比数列
B.的通项公式为
C.为递增数列
D.的前项和
【答案】ABD
【解析】原等式变形为,因为,所以是以4为首项,2为公比的等比数列,求出通项公式即可求出及
的通项公式,再利用分部求和法及等比数列的前n项和即可求出的前n项和.
【详解】
因为,所以,又,
所以是以4为首项,2位公比的等比数列,即,为递减数列,
的前项和
.
故选:ABD
【点睛】
本题考查由递推公式判断数列为等比数列,等比数列的通项公式及前n项和,分组求和法,属于中档题.
三、填空题
13.各项互不相等的等比数列满足,则的最小值为______.
【答案】
【解析】根据等比数列的性质知,则,利用整体代入法可得,由均值不等式可求得最小值.
【详解】
由题意知,即,
则,当且仅当时等号成立,所以的最小值为
故答案为:
【点睛】
本题考查等比数列的性质,均值不等式,属于基础题.
14.直线与焦点在轴上的椭圆恒有两个公共点,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】求出直线定点,数形结合将题意转化为定点需在椭圆内求出,又因为椭圆的焦点在轴上,所以,取交集即可得解.
【详解】
直线恒过定点,要保证直线与椭圆有两个公共点则定点需在椭圆内,所以,解得,又因为椭圆的焦点在轴上,所以,即.
故答案为:
【点睛】
本题考查直线、点与椭圆的位置关系,标准方程与椭圆的焦点位置,判断出点在椭圆内是解题的关键,属于基础题.
15.在二面角中,直线,分别在两个半平面内,且都垂直于,已知,,若,则向量与所成的角为______.
【答案】
【解析】连接BC,根据已知条件求出BC,计算出,代入公式即可求得,从而求得向量与所成的角.
【详解】
连接BC,由, 知,
在等腰中:,,所以,
因为,所以
,
因为,所以,则向量与所成的角为.
故答案为:
【点睛】
本题考查向量数量积,两向量夹角的计算,考查空间想象能力,属于中档题.
16.已知抛物线的方程为,过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于、两点,,则______,为抛物线弧上的动点,面积的最大值是______.
【答案】2
【解析】(1) 设点,直线方程为:,与抛物线联立求出,再代入焦点弦公式即可得解; (2) 求出抛物线方程与直线方程,设点,求出点M到直线AB的距离,代入,由二次函数的单调性可求出最大值.
【详解】
(1)抛物线焦点为,设点,直线方程为:,
代入抛物线方程得,则,
因为,所以;
(2)抛物线方程为:,直线方程为:,联立得,
解得
设点,(),
点M到直线AB的距离为,
,当时,面积取得最大值.
故答案为:2;
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,点到直线的距离,属于基础题.
四、解答题
17.已知,解关于的不等式.
【答案】见解析
【解析】当时求解一次不等式,当时,求出对应方程的根,,从而对、、、分类讨论一元二次不等式的解集.
【详解】
当时,,∴,则的解集为.
当时,解,得,.
①当时,,则的解集为.
②当时,,则的解集为.
③当时,,则的解集为.
④当时,,则的解集为.
综上:(1)时,解集为;
(2)当时,解集为;
(3)当时,解集为;
(4)当时,解集为;
(5)当时,解集为.
【点睛】
本题考查含参不等式的求解,涉及一元一次不等式,含参数的一元二次不等式分类讨论,属于基础题.
18.已知等差数列,,前项和为,各项为正数的等比数列满足:,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)在空间直角坐标系中,为坐标原点,存在一系列的点,,若,求数列的前项和.
【答案】(1).(2)
【解析】(1)由列出方程求出q,即可求得的通项公式,由,利用等差数列的性质可求出,从而求得d,最后得到等差数列的通项公式;(2)由可得,将和的通项公式代入上式求出的通项公式,用错位相减法即可求出.
【详解】
(1)设数列的公差为,的公比为,
∵,∴,得,(舍),
因为,所以 .
∵,∴,解得,
又,∴,
∴.
(2)由(1)得,.
∵,∴,∴.
,①
①式等号两边同乘以,得,②
①-②得
.
∴.
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的基本量的求解与通项公式,垂直向量的数量积关系,错位相减法求和,属于中档题.
19.某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召,积极进行生态文明建设,投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后,第一年需支出各项费用11万元,以后每年支出费用增加2万元.从第一年起,每年收入都为36万元.设表示前年的纯利润总和(前年的总收入-前年的总支出费用-投资额)
(1)求的表达式,计算前多少年的纯利润总和最大,并求出最大值;
(2)计算前多少年的年平均纯利润最大,并求出最大值.
【答案】(1),.前13年的纯利润总和最大,最大值为105万元.(2)前8年的年平均纯利润最大,最大值为10万元.
【解析】(1)根据题意知每年的支出费用构成等差数列,求出通项公式,从而求出前年的纯利润总和,利用一元二次函数的单调性求得最值;(2)求出前
年的年平均纯利润的表达式,利用均值不等式可求得最值.
【详解】
(1)由题意,每年的支出费用组成首项为11,公差为2的等差数列,
故前年的总支出费用为,
∴,.
,
∴时,取得最大值105,
即前13年的纯利润总和最大,且最大值为105万元.
(2)由(1)知,前年的年平均纯利润为
,
∵,当且仅当,即时等号成立,
∴,
即前8年的年平均纯利润最大,且最大值为10万元.
【点睛】
本题考查等差数列前n项和,一元二次函数,均值不等式,属于基础题.
20.已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)斜率为的直线与抛物线交于、两点,点是线段的中点,求直线的方程,并求线段的长.
【答案】(1)(2)直线的方程为:,线段的长为.
【解析】(1)点的坐标代入抛物线方程即可求得p,从而得到抛物线方程;(2)设出直线方程且与抛物线方程联立求出,的表达式,根据为的中点列出方程求出k,即可求得直线方程及、的值,代入弦长公式
即可得解.
【详解】
(1)由题意知,抛物线开口向右,设方程为.
∵在抛物线上,∴,,∴抛物线的方程为.
(2)由题意,设直线的方程为:,
联立,消得.
由已知,,. ①
设,,则,.
∵为的中点,∴,
解得,代入①式检验,得,符合题意.
∴直线的方程为:.
此时,,,
∵,
∴.
∴直线的方程为:,线段的长为.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的交点、弦长公式,属于中档题.
21.如图(1),在直角梯形中,为的中点,四边形为正方形,将沿折起,使点到达点,如图(2),为的中点,且,点为线段上的一点.
(1)证明:;
(2)当与夹角最小时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)首先证明、从而建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,设 ,逐步求出向量、、、的坐标,由推出;(2)求出、的坐标,求出当 值最大时 的取值,从而求出平面与平面的法向量,最后求出两平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】
解:由为正方形,得,,
∵为的中点,,
∴,即.
设,建立以为坐标原点的空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,.
(1)∵点在线段上,∴设,
又,∴,
又,∴,
又,∴,
又,∴,
∴,即.
(2)由(1)知,,
∴,
∴当时,最大,最小,此时.
由题知,平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量,
∴,即,
取,得,则,
∴.
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算,向量垂直的数量积关系,平面法向量的求法与利用法向量求两平面所成的二面角,属于中档题.
22.在以为圆心,6为半径的圆内有一点,点为圆上的任意一点,线段的垂直平分线和半径交于点.
(1)判断点的轨迹是什么曲线,并求其方程;
(2)记点的轨迹为曲线,过点的直线与曲线交于,两点,求的最大值;
(3)在圆上的任取一点,作曲线的两条切线,切点分别为、,试判断与是否垂直,并给出证明过程.
【答案】(1)点的轨迹是以、为焦点的椭圆. (2)(3)垂直.见解析
【解析】(1)根据题意知,,所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆,求出a、b、c即可写出椭圆的方程;(2)当直线斜率不存在时可求得,当直线斜率存在时设出直线方程与椭圆方程联立可表示出、,代入中即可求得的最大值;(3)当有一条切线斜率不存在时求出切线易证两切线垂直;当斜率存在时设出直线方程与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程,由直线与椭圆相切知即可求出,证明两条切线垂直.
【详解】
解:(1)由题知:, ,
∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆.
由,得,又,∴,
∴椭圆的标准方程为.
(2)当直线斜率不存在时,直线方程为,则,,
∴.
当斜率存在时,设为,直线方程为,
与联立,消得,
则,
设,,,,
则
.
综上,的最大值为.
(3)垂直.证明如下:设点,则.
①当两切线中有一条切线斜率不存在时,即与轴垂直时,切线方程为,
即,得,∴另一条切线方程为,即与轴平行,∴两切线垂直.
②当斜率存在时,,设切线方程为,
联立,消得.
由于直线与椭圆相切,得
.
化简得.
∵,∴,即两条切线相互垂直.
综上,过点作的两条切线与垂直.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与几何性质,直线、圆与椭圆的综合,向量数量积的坐标运算,证明两条直线垂直,属于难题.