【数学】2020届一轮复习人教B版三角恒等变换与解三角形学案 11页

‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎ (1)已知α∈，tan α＝2，则cos＝__________．‎ ‎(2)若tan(α－)＝，则tan α＝________．‎ ‎(3)(2019·洛阳第一次统考)若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝________．‎ ‎【答案】　(1)　(2)　(3)－ ‎【解析】　(1)因为α∈(0，)，tan α＝2，所以sin α＝，cos α＝，所以cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×(＋)＝.‎ ‎(2)因为tan(α－)＝， ‎ 所以tan α＝tan[(α－)＋]＝＝＝.‎ ‎(3)依题意得cos(＋2α)＝－cos[π－(＋2α)]＝－cos [2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝2×()2－1＝－.‎ 三角恒等变换的“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；‎ ‎(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；‎ ‎(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；‎ ‎(4)弦、切互化：一般是切化弦．　 ‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．计算＝________(用数字作答)．‎ ‎【答案】： ‎【解析】：＝＝＝＝.‎ ‎2．(2019·合肥模拟)若α∈(0，)，cos(－α)＝2cos 2α，则sin 2α＝________．‎ ‎【答案】： 正、余弦定理在解三角形中的应用 考向1　求解三角形中的角 ‎1．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． ‎ ‎(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.‎ ‎【解析】：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，故 sin B＝4(1－cos B)．‎ 上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，‎ 解得cos B＝1(舍去)，cos B＝.‎ ‎(2)由cos B＝得sin B＝，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.‎ 由余弦定理及a＋c＝6得 b2＝a2＋c2－2accos B ‎＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)‎ ‎＝36－2×× ‎＝4.‎ 所以b＝2.‎ 解三角形的创新交汇问题 以三角恒等变换、正、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、不等式等交汇命题，且三种题型均可能出现．‎ ‎ (2019洛阳第一次统考)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.‎ ‎(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；‎ ‎(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．‎ ‎【解析】　(1)由已知，易得∠ACB＝45°， ‎ 在△ABC中，＝⇒BC＝5.‎ 因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.‎ 在△BCD中，CD＝＝5.‎ ‎(2)AC＋AB>BC＝10，‎ cos 60°＝⇒(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，‎ 而AB·AC≤()2，‎ 所以≤()2，‎ 解得AB＋AC≤20，‎ 故AB＋AC的取值范围为(10，20]．‎ 与解三角形有关的交汇问题的关注点 ‎(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．‎ ‎(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．　 ‎ ‎【对点训练】‎ ‎(2017·高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，·＝－6，S△ABC＝3，求A和a.‎ ‎【解析】：因为·＝－6，‎ 所以bccos A＝－6，‎ 又S△ABC＝3，‎ 所以bcsin A＝6，‎ 因此tan A＝－1，又0