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- 2021-07-01 发布
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2018-2019学年吉林省实验中学高一下学期期末考试数学(文)试题
一、单选题
1.若直线经过两点,则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用斜率公式求出直线,根据斜率值求出直线的倾斜角.
【详解】
直线的斜率为,因此,直线的倾斜角为,故选:C.
【点睛】
本题考查直线的倾斜角的求解,考查直线斜率公式的应用,考查计算能力,属于基础题。
2.在等差数列中,,则( )
A.5 B.8 C.10 D.14
【答案】B
【解析】试题分析:设等差数列的公差为,由题设知,,所以,
所以,
故选B.
【考点】等差数列通项公式.
3.圆和圆的公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】判断两圆的位置关系,根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数.
【详解】
圆的标准方程为,圆心坐标为,半径长为.
圆的标准方程为,圆心坐标为,半径长为
.
圆心距为,由于,即,
所以,两圆相交,公切线的条数为,故选:B.
【点睛】
本题考查两圆公切线的条数,本质上就是判断两圆的位置关系,公切线条数与两圆位置的关系如下:
①两圆相离条公切线;②两圆外切条公切线;③两圆相交条公切线;
④两圆内切条公切线;⑤两圆内含没有公切线.
4.若圆锥的高扩大为原来的3倍,底面半径缩短为原来的,则圆锥的体积( )
A.缩小为原来的 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的2倍 D.不变
【答案】A
【解析】设原来的圆锥底面半径为,高为,可得出变化后的圆锥的底面半径为,高为,利用圆锥的体积公式可得出结果.
【详解】
设原来的圆锥底面半径为,高为,该圆锥的体积为,
变化后的圆锥底面半径为,高为,
该圆锥的体积为,变化后的圆锥的体积缩小到原来的,
故选:A.
【点睛】
本题考查圆锥体积的计算,考查变化后的圆锥体积的变化,解题关键就是圆锥体积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.
5.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm2)为( )
A.48 B.64
C.80 D.120
【答案】C
【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥,根据三视图的数据,求出几何体的侧面积即可.
【详解】
解:三视图复原的几何体是正四棱锥,它的底面边长为:8cm,斜高为:5cm,
所以正三棱柱的侧面积为:80 cm2
故选:C.
【点睛】
本题是基础题,考查三视图复原几何体的形状的判断,几何体的侧面积的求法,考查计算能力,空间想象能力.
6.若函数在处取最小值,则等于( )
A.3 B. C. D.4
【答案】A
【解析】将函数的解析式配凑为,再利用基本不等式求出该函数的最小值,利用等号成立得出相应的值,可得出的值.
【详解】
当时,,则
,
当且仅当时,即当时,等号成立,因此,,故选:A.
【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件,利用基本不等式要对代数式进行配凑,注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用,考查计算能力,属于中等题.
7.下列命题中, 表示两条不同的直线, 、、表示三个不同的平面.
①若, ,则; ②若, ,则;
③若, ,则; ④若, , ,则.
正确的命题是( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【答案】C
【解析】对于①,由线面垂直的判定定理知,直线m与平面内的任意一条直线垂直,由知,存在直线内,使,所以,故①正确;对于②,平面与平面可能相交,比如墙角的三个平面,故②错误;对于③,直线m与n可能相交,可能平行,可能异面,故错误;对于④,由面面平行的性质定理有 ,正确。故正确命题为①④,选C.
8.在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用,得出异面直线与所成的角为,然后在中利用锐角三角函数求出.
【详解】
如下图所示,设正方体的棱长为,
四边形为正方形,所以,,
所以,异面直线与所成的角为,
在正方体中,平面,平面,,
,,,
在中,,,
因此,异面直线与所成角的余弦值为,故选:D.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的计算,一般利用平移直线,选择合适的三角形,利用锐角三角函数或余弦定理求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题。
9.在公比为整数的等比数列中,是数列的前项和,若,,则下列说法错误的是( )
A. B.数列是等比数列
C. D.数列是公差为2的等差数列
【答案】D
【解析】由等比数列的公比为整数,得到,再由等比数列的性质得出,可求出、的值,于此得出和的值,进而可对四个选项进行验证.
【详解】
由等比数列的公比为整数,得到,
由等比数列的性质得出,解得,即,解得,
,则,数列是等比数列.
,,
所以,数列是以为公差的等差数列,A、B、C选项正确,D选项错误,
故选:D.
【点睛】
本题考查等比数列基本性质的应用,考查等比数列求和以及等比数列的定义,充分利用等比数列下标相关的性质,将项的积进行转化,能起到简化计算的作用,考查计算能力,属于中等题。
10.若,且,恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将代数式与相乘,展开式利用基本不等式求出的最小值,将问题转化为解不等式,解出即可.
【详解】
由基本不等式得,
当且仅当,即当时,等号成立,所以,的最小值为.
由题意可得,即,解得或.
因此,实数的取值范围是,故选:B.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用,考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法,对于不等式恒成立问题,常转化为最值来处理,考查计算能力,属于中等题。
11.已知点,点是圆上任意一点,则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】求出直线的方程,计算出圆心到直线的距离,可知的最大高度为,并计算出,最后利用三角形的面积公式可得出结果.
【详解】
直线的方程,且,
圆的圆心坐标为,半径长为,
圆心到直线的距离为,
所以,点到直线的距离的最大值为,
因此,面积的最大值为,故选:B.
【点睛】
本题考查三角形面积的最值问题,考查圆的几何性质,当直线与圆相离时,若圆的半径为,圆心到直线的距离为,则圆上一点到直线距离的最大值为,距离的最小值为,要熟悉相关结论的应用.
12.在直角坐标平面上,点的坐标满足方程,点的坐标满足方程则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由点的坐标满足方程,可得在圆上,由坐标满足方程,可得在圆上,则求出两圆内公切线的斜率,利用数形结合可得结果.
【详解】
点的坐标满足方程,
在圆上,
在坐标满足方程,
在圆上,
则作出两圆的图象如图,
设两圆内公切线为与,
由图可知,
设两圆内公切线方程为,
则,
圆心在内公切线两侧,,
可得,,
化为,,
即,
,
的取值范围,故选B.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用,属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.
二、填空题
13.已知满足约束条件,则的最大值为__________.
【答案】57
【解析】作出不等式组所表示的可行域,平移直线,观察直线在轴的截距取最大值时的最优解,再将最优解代入目标函数可得出目标函数的最大值.
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示:
平移直线,当直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距取最大值,此时,取最大值,即,故答案为:.
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,一般利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值时,找最优解求解,考查数形结合数学思想,属于中等题。
14.圆的一条经过点的切线方程为______.
【答案】
【解析】根据题意,设为,设过点圆的切线为,分析可得在圆上,求出直线的斜率,分析可得直线的斜率,由直线的点斜式方程计算可得答案.
【详解】
根据题意,设为,设过点圆的切线为,
圆的方程为,则点在圆上,
则,
则直线的斜率,则直线的方程为,变形可得,
故答案为:.
【点睛】
本题考查圆的切线方程,注意分析点与圆的位置关系.
15.已知数列的前项和为,,,则__________.
【答案】
【解析】先利用时,求出的值,再令,由得出,两式相减可求出数列的通项公式,再将的表达式代入,可得出.
【详解】
当时,则有,;
当时,由得出,
上述两式相减得,,得且,
所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,则,,
那么,因此,,故答案为:.
【点睛】
本题考查等比数列前项和与通项之间的关系,同时也考查了等比数列求和,一般在涉及与的递推关系求通项时,常用作差法来求解,考查计算能力,属于中等题.
16.在三棱锥中,平面,是边长为2的正三角形,,则三棱锥的外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】设三棱锥的外接球半径为,利用正弦定理求出的外接圆半径,再利用公式可计算出外接球半径,最后利用球体的表面积公式可计算出结果.
【详解】
由正弦定理可得,的外接圆直径为,,
设三棱锥的外接球半径为,平面,,
因此,三棱锥的外接球表面积为,故答案为:.
【点睛】
本题考查多面体的外接球,考查球体表面积的计算,在求解直棱柱后直棱锥的外接球,若底面外接圆半径为,高为,可利用公式得出外接球的半径,解题时要熟悉这些结论的应用.
三、解答题
17.已知直线和.
(1)若,求实数的值;
(2)若,求实数的值.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)借助两直线垂直的充要条件建立方程求解;(2)借助两直线平行充要条件建立方程求解.
试题解析:
(1)若,则.
(2)若,则或2.
经检验,时,与重合,时,符合条件,∴.
【考点】两直线平行和垂直的充要条件及运用.
【易错点晴】解析几何是运用代数的方法和知识解决几何问题一门学科,是数形结合的典范,也是高中数学的重要内容和高考的热点内容.解答本题时充分运用和借助题设条件中的垂直和平行条件,建立了含参数的直线的方程,然后再运用已知条件进行分析求解,从而将问题进行转化和化归,进而使问题获解.如本题的第一问中求参数的值时,是直接运用垂直的充要条件建立方程,这是方程思想的运用;再如第二问中求参数的值时也是运用了两直线平行的条件,但要注意的是这个条件不是两直线平行的充要条件,所以一定代回进行检验,这也是学生经常会出现错误的地方.
18.(1)已知圆经过和两点,若圆心在直线上,求圆的方程;
(2)求过点、和的圆的方程.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由直线AB的斜率,中点坐标,写出线段AB中垂线的直线方程,与直线x-2y-3=0联立即可求出交点的坐标即为圆心的坐标,再根据两点间的距离公式求出圆心到点A的距离即为圆的半径,根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可;
(2)设圆的方程为,代入题中三点坐标,列方程组求解即可
试题解析:
(1)由点和点可得,线段的中垂线方程为.
∵ 圆经过和两点,圆心在直线上,
∴,解得,即所求圆的圆心,
∴ 半径,所求圆的方程为;
(2)设圆的方程为,
∵ 圆过点、和,
∴ 列方程组得 解得,
∴ 圆的方程为.
19.如图,在四棱锥中,平面,底面是棱长为的菱形,,,是的中点.
(1)求证://平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)连接交于点,则为的中点,由中位线的性质得出,再利用直线与平面平行的判定定理得出平面;
(2)取的中点,连接,由中位线的性质得到,且,可得出平面,于此得出直线与平面所成的角为,然后在中计算即可.
【详解】
(1) 连接,交于点,连接,由底面是菱形,知是的中点,又是的中点,∴ .
又∵平面,平面,∴平面;
(2)取中点,连接,
∵分别为的中点,∴,
∵平面,∴平面,
∴直线与平面所成角为,
∵,,∴.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定,考查直线与平面所成角的计算,在计算直线与平面所成角时,要注意过点作平面的垂线,构造出直线与平面所成的角,再选择合适的直角三角形求解,考查逻辑推理能力与计算能力,属于中等题。
20.设正项等比数列且的等差中项为.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前n项为,数列满足,为数列的前项和,求.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)设等比数列的公比为,
由题意,得,解得,
所以.
(2)由(1)得,
∴,
∴,
∴.
【思路点拨】(1)根据等比数列的公式得到求得基本量,进而得到通项;
(2)根据第一问得到,,从而得到,再裂项求和即可.
21.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x(x≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3 000+50x(单位:元).
(1)求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.
(2)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用最小值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)
【答案】(1);(2)该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用最小值为5 000元.
【解析】【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用函数,再应基本不等式求其最小值及取得极小值时:
解:设楼房每平方米的平均综合费用,,当且仅当时,等号取到.所以,当时,最小值为5000元.
22.在平面直角坐标系中,已知,,动点满足,设动点的轨迹为曲线.
(1)求动点的轨迹方程,并说明曲线是什么图形;
(2)过点的直线与曲线交于两点,若,求直线的方程;
(3)设是直线上的点,过点作曲线的切线,切点为
,设,求证:过三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
【答案】(1)动点的轨迹方程为,曲线是以为圆心,2为半径的圆(2)的方程为或.(3)证明见解析,所有定点的坐标为,
【解析】(1)利用两点间的距离公式并结合条件,化简得出曲线的方程,根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状;
(2)根据几何法计算出圆心到直线的距离,对直线分两种情况讨论,一是斜率不存在,一是斜率存在,结合圆心到直线的距离求出直线的斜率,于此得出直线的方程;
(3)设点的坐标为,根据切线的性质得出,从而可得出过、、三点的圆的方程,整理得出,然后利用
,解出方程组可得出所过定点的坐标.
【详解】
(1)由题意得,化简可得:,
所以动点的轨迹方程为.
曲线是以为圆心,为半径的圆;
(2)①当直线斜率不存在时,,不成立;
②当直线的斜率存在时,设,即,
圆心到的距离为 ∵
∴, 即,解得或,
∴的方程为或;
(3)证明:∵在直线上,则设
∵为曲线的圆心,由圆的切线的性质可得,
∴经过的三点的圆是以为直径的圆,
则方程为,
整理可得,
令,且,
解得或
则有经过三点的圆必过定点,所有定点的坐标为,.
【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求法,考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题,解决圆所过定点问题,关键是要将圆的方程求出来,对带参数的部分提公因式,转化为方程组求公共解问题。